Mathematics🎓 baccalaureate goal

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

الطويلة، العمدة و الشكل المثلثي

🔊 The teacher reads for you

طائرة تنطلق من المطار في اتجاه ثابت، وبعد ساعة نريد تحديد موقعها. يمكن أن نعطي إحداثييها ⁦(x , y)⁩، ويمكن أن نعطي بعدها عن المطار والزاوية التي يصنعها مسارها مع اتجاه الشرق. الكتابتان تصفان الموقع نفسه، فمتى تكون الثانية أنفع من الأولى؟

العدد المركب ⁦z = a + ib⁩ يُمثَّل بالنقطة ⁦M(a , b)⁩ في المستوي المركب. الكتابة ⁦(a , b)⁩ تجيب عن السؤال « أين M بالنسبة إلى المحورين؟ ». أما الكتابة المثلثية فتجيب عن سؤال آخر: « كم يبعد M عن المبدأ، وفي أي اتجاه؟ ».

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف طويلة عدد مركّب و عمدته، و تمثيلهما في المستوي المركّب
حساب الطويلة انطلاقا من الشكل الجبريّ بالعلاقة ⁦|z| = √(a² + b²)⁩
تعيين العمدة بتحديد الرّبع من إشارتَي الجزأين الحقيقيّ و التّخيليّ
كتابة عدد مركّب غير معدوم في الشّكل المثلثيّ، و الانتقال من الشّكل الجبريّ إليه

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الشّكل الجبريّ لعدد مركّب، و جزآه الحقيقيّ و التّخيليّ
تمثيل نقطة بإحداثيّيها في المستوي المركّب
الدّائرة المثلثيّة، و قيم ⁦cos⁩ و ⁦sin⁩ للزّوايا المرجعيّة

النقطة M في المستوي المركّب، و طويلتها r التي هي بعدها عن المبدأ، و العمدة θ التي يصنعها ⁦[OM]⁩ مع محور الأعداد الحقيقية؛ و تظهر a و b مسقطَي M على المحورين. — الطويلة r والعمدة θ تحدّدان النقطة M تماما، مثلما تفعل الإحداثيتان a و b.

الطويلة والعمدة

طويلة العدد المركب z هي المسافة OM، ونرمز لها بـ ⁦|z|⁩. وعمدته هي الزاوية الموجهة التي يصنعها الشعاع OM مع محور الفواصل، ونرمز لها بـ ⁦arg(z)⁩. الطويلة عدد موجب، والعمدة معرّفة بترديد 2π.

نقطتان في المستوي المركّب، لكلّ منهما قوس موجّه من محور الأعداد الحقيقية: الأوّل في الاتجاه المباشر، و الثاني في الاتجاه المعاكس. — العمدة زاوية موجّهة تُقاس من محور الأعداد الحقيقية، و قد تكون سالبة، كعمدة ⁦−2i⁩ في المثال 2؛ و هي معرّفة بترديد ⁦2π⁩.

الطويلة

|z| = √(a² + b²)

aالجزء الحقيقي لـ zbالجزء التخيلي لـ z

الجزء الحقيقي بدلالة r و θ

a = r cos θ

الجزء التخيلي بدلالة r و θ

b = r sin θ

بتعويض a و b في ⁦z = a + ib⁩ نحصل على الشكل المثلثي: ⁦z = r(cos θ + i sin θ)⁩.

العمدة غير معرّفة عندما يكون ⁦z = 0⁩: النقطة M تنطبق على المبدأ، فلا يوجد اتجاه نتكلم عنه. لهذا نشترط دائما ⁦z ≠ 0⁩ قبل الكلام عن العمدة.

مثال 1: الشكل المثلثي للعدد ⁦1 + i⁩

📌المعطى

z = 1 + i

نحسب الطويلة أولا لأنها هي التي تظهر في المعامل.

🔹الخطوة 1: الطويلة

|z|=√(1² + 1²)=√2

نقسم الجزأين على الطويلة للحصول على جيب التمام والجيب.

🔹الخطوة 2: العمدة

cos θ = 1√2 , sin θ = 1√2

✅النّتيجة

z=√2(cos(π4) + i sin(π4))

عندما يتساوى الجزءان الحقيقي والتخيلي ويكونان موجبين، العمدة هي ⁦π/4⁩ مباشرة.

مثال 2: الشكل المثلثي للعدد ⁦−2i⁩

📌المعطى

z = −2i

الجزء الحقيقي معدوم، فالنقطة على محور التراتيب.

🔹الخطوة 1: الطويلة

|z|=√(0² + (−2)²)=2

🔹الخطوة 2: العمدة

cos θ = 0 , sin θ = −1

✅النّتيجة

z=2(cos(−π2) + i sin(−π2))

عدد تخيلي صرف عمدته ⁦π/2⁩ أو ⁦−π/2⁩ حسب إشارة الجزء التخيلي؛ لا حاجة إلى حساب.

مثال 3: الشكل المثلثي للعدد ⁦−√3 + i⁩

📌المعطى

z = −√3 + i

🔹الخطوة 1: الطويلة

|z|=√(3 + 1)=2

الجزء الحقيقي سالب والتخيلي موجب: النقطة في الربع الثاني.

🔹الخطوة 2: العمدة

cos θ = −√32 , sin θ = 12

✅النّتيجة

z=2(cos(5π6) + i sin(5π6))

حدّد الربع من إشارتي a و b قبل اختيار الزاوية: هذا يمنع الخلط بين ⁦5π/6⁩ و ⁦−5π/6⁩.

في البكالوريا، السؤال نادرا ما يطلب الشكل المثلثي لذاته: يطلبه لأنه يمهّد لحساب zⁿ أو لتعيين تحويل نقطي. اكتب دائما الطويلة والعمدة في سطرين منفصلين وواضحين — إن أخطأت في العمدة، تحتفظ بنقطة الطويلة. وتحقّق من الربع قبل أن تكتب الزاوية: هذا هو الخطأ الأكثر تكرارا في التصحيح.

الخلاصة: كل عدد مركب غير معدوم يُكتب ⁦z = r(cos θ + i sin θ)⁩ حيث ⁦r = |z|⁩ هي البعد عن المبدأ و ⁦θ = arg(z)⁩ هي الاتجاه. الكتابة الجبرية تجيب عن « أين »، والمثلثية عن « كم يبعد وفي أي اتجاه ».

Page 1/5