الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
مجموعات النقط في المستوي المركب
الجواب في جملة واحدة: لكلّ نقطة من المستوي لاحقة وحيدة، و لكلّ عدد مركّب صورة وحيدة. فالشرط المفروض على z ليس إلّا شرطا مقنّعا على الإحداثيّين x و y؛ و ما إن نكشف القناع بتعويض z بـ x + iy حتّى تصير المسألة معادلة عاديّة نعرف قراءتها. هذا الدرس يعطي هذه الحركة الواحدة، ثمّ يطبّقها على الأنواع الثلاثة من الشروط.
- ترجمة شرط على عدد مركّب z إلى معادلة بين الفاصلة x و الترتيب y
- تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الجزء الحقيقي أو على الجزء التخيلي
- تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الطويلة، و التعرّف على الدائرة
- استعمال الدستور الذي يعطي المسافة بين نقطتين بدلالة لاحقتيهما
- تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الإحداثيّتين القطبيّتين
- الشكل الجبري لعدد مركّب، و الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي
- أنّ النقطة ذات الفاصلة و الترتيب المعلومين هي صورة العدد الذي هما جزآه
- حساب طويلة عدد مركّب
- المعادلة الديكارتيّة لدائرة معلوم مركزها و نصف قطرها، و إتمام المربّع
- المعادلة الديكارتيّة لقطع مكافئ رأسه المبدأ
1. المبدأ: شرط على z هو معادلة في x و y
المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نُرفق بكلّ عدد مركّب النقطة التي فاصلتها الجزء الحقيقي و ترتيبها الجزء التخيلي، و نسمّي هذه النقطة صورة العدد، و نسمّي العدد لاحقة النقطة. و هذا الترافق تقابل: نقطة واحدة لكلّ عدد، و عدد واحد لكلّ نقطة.
و من هذا التقابل يخرج محوران لهما اسمان خاصّان: محور الفواصل يسمّى المحور الحقيقي، لأنّ نقطه هي بالضبط صور الأعداد الحقيقيّة؛ و محور التراتيب يسمّى المحور التخيلي، لأنّ صور الأعداد التخيليّة الصّرفة تقع عليه.
و هذان أوّل مثالين على درسنا: شرط على z (أن يكون حقيقيّا، أن يكون تخيليّا صرفا) يعطي مجموعة نقط هي مستقيم.
- 🔎 اقرأ الشرط: هل هو على الجزء الحقيقي أو التخيلي؟ على طويلة؟ على عمدة؟ النوع يقرّر الأداة.
- ✍️ عوّض z بـ x + iy، ثمّ اختزل حتّى تفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي فصلا تامّا.
- 🧮 ترجم الشرط إلى معادلة في x و y: انعدام جزء، أو مساواة طويلة بعدد.
- 📐 تعرّف على المعادلة: من الدرجة الأولى في x و y فهي مستقيم؛ مجموع مربّعين يساوي ثابتا موجبا فهي دائرة؛ الترتيب بدلالة مربّع الفاصلة فهي قطع مكافئ.
- ✅ تحقّق: خذ نقطة واحدة من الشكل الذي وجدتَ، و أعد إدخالها في الشرط الأصلي.
2. شرط على الجزء الحقيقي أو على الجزء التخيلي
العدد المركّب حقيقي إذا و فقط إذا انعدم جزؤه التخيلي، و تخيلي صرف إذا و فقط إذا انعدم جزؤه الحقيقي. فإذا كان z مقدارا يتعلّق بـ x و y، صار كلّ من الشرطين معادلة.
⛔ و انتبه إلى ترتيب العمل: لا يمكن قراءة الجزء الحقيقي و لا الجزء التخيلي قبل أن تُختزل الكتابة اختزالا تامّا و يُوضع الحرف i عاملا مشتركا. قراءة قبل الاختزال هي أوّل مصدر للخطأ في هذا الباب.
x و y عددان حقيقيّان، و M النقطة ذات الفاصلة x و الترتيب y في المستوي المركّب.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي من أجلها يكون العدد z حقيقيّا.
ننشر أوّلا: نضرب y في القوس، فيظهر حدّان.
ثمّ نجمع الحدود الحقيقيّة معا، و نضع i عاملا مشتركا في الحدّين الآخرين.
العدد حقيقي إذا و فقط إذا انعدم هذا الجزء.
العدد z هو نفسه عدد المثال 1، مأخوذا في كتابته المفصولة.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي من أجلها يكون العدد z تخيليّا صرفا.
نأخذ الكتابة المفصولة نفسها التي وجدناها في المثال 1، و نقرأ الجزء الحقيقي.
العدد تخيلي صرف إذا و فقط إذا انعدم هذا الجزء.
نعزل y في طرف.
3. شرط على الطويلة: الدائرة
الأداة التي تجعل هذا النوع طبيعيّا هي الدستور الذي يربط طويلة فرق لاحقتين بالمسافة بين النقطتين. و هو دستور واحد يُقرأ في الاتّجاهين: من الحساب إلى الهندسة، و من الهندسة إلى الحساب.
⭐ هذا هو مفتاح الباب كلّه. فالكتابة « طويلة الفرق تساوي عددا موجبا ثابتا » تقول بلغة الهندسة « المسافة بين النقطة المتحرّكة و نقطة ثابتة تساوي ثابتا »، و هذا هو تعريف الدائرة نفسه.
فالمجموعة هي الدائرة التي مركزها A و نصف قطرها R. و إذا كان R معدوما اختزلت المجموعة إلى النقطة A وحدها.
و في الحالات التي لا يظهر فيها فرق اللاحقتين جاهزا نعوّض العدد بشكله الجبري، و نحسب الطويلة، و نربّع الطرفين — و التربيع مسموح هنا لأنّ الطرفين موجبان — ثمّ نتمّ المربّعات.
z عدد مركّب لاحقة للنقطة M في المستوي المركّب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي تحقّق هذه المساواة، ثمّ حدّد مركزها و نصف قطرها.
نعوّض z بالشكل الجبري و ننشر الجداء.
نعوّض i² بـ −1، فيصير الحدّ −i² y مساويا لـ +y.
نحسب الطويلة: جذر مجموع مربّعي الجزأين.
ننشر المربّعين؛ الحدّان اللذان يحملان الجداء x y متقابلان فيتلاشيان.
نربّع الطرفين، و هذا مسموح لأنّهما موجبان معا.
نطرح 4 من الطرفين.
ثمّ نقسم الطرفين على 2، فيصير معامل كلّ مربّع مساويا لـ 1.
نتمّ المربّع في x و في y: نضيف و نطرح 1 في كلّ مرّة.
ننقل الحدّين الثابتين إلى الطرف الآخر.
4. شرط على الطويلة أو على العمدة مباشرة
حين تُعطى النقطة بإحداثيّتيها القطبيّتين — أي بطويلة لاحقتها و بعمدة لها — تصير بعض المجموعات أبسط ممّا هي على الشكل الجبري: شرط على الطويلة وحدها يعطي دائرة مركزها المبدأ، و شرط على العمدة وحدها يعطي مستقيما يمرّ بالمبدأ.
لأنّ الطويلة هي المسافة OM: فالشرط يقول إنّ النقطة تبعد عن المبدأ بـ 3 وحدات بالضبط، لا أقلّ و لا أكثر.
⛔ لاحظ الترديد: هو π و ليس 2π. الترديد 2π يعطي نصف مستقيم مفتوحا، لأنّه يثبّت الاتّجاه و الجهة معا؛ أمّا الترديد π فيسمح بالزاوية و بالزاوية المزادة بـ π، أي بالجهتين معا، فيعطي المستقيم كاملا.
M نقطة من المستوي تختلف عن المبدأ O، إحداثيّتاها القطبيّتان هما r و θ.
🎯المطلوب: عيّن شرطا على r كي تنتمي النقطة M إلى الدائرة التي مركزها O و نصف قطرها 3.
المسافة من المبدأ إلى النقطة هي طويلة لاحقتها؛ هذا هو التفسير الهندسي للطويلة.
و الإحداثيّة القطبيّة الأولى ليست شيئا آخر: هي الطويلة نفسها.
و لو أردنا المعادلة الديكارتيّة لكتبنا الطويلة بدلالة الفاصلة و الترتيب.
نربّع الطرفين، و هذا مسموح لأنّهما موجبان معا.
M نقطة من المستوي تختلف عن المبدأ O، إحداثيّتاها القطبيّتان هما r و θ.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي عمدة لاحقتها تساوي π/4 بترديد π.
نكتب فاصلة النقطة بدلالة الإحداثيّتين القطبيّتين.
ثمّ نكتب ترتيبها.
نحسب النسبة بين الترتيب و الفاصلة من أجل الزاوية π/4، و جيبها و جيب تمامها متساويان.
و من أجل الزاوية المزادة بـ π: الجيب و جيب التمام يتغيّر كلّ منهما إلى مقابله، فتبقى النسبة على حالها.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net