الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
حساب المسافة بين نقطة و مستوٍ
الجواب في كلمتين: أصغر المسافات، و هي تُحقَّق عند نقطة واحدة هي المسقط العمودي. و سنرى أنّ حسابها لا يحتاج إلى تعيين هذه النقطة أصلا: دستور واحد، معاملاته هي معاملات معادلة المستوي، يعطي الجواب في سطر.
- فهم أنّ بعد نقطة عن مستو هو أصغر المسافات، و أنّه يُحقّق عند المسقط العمودي
- البرهان على أنّ المسقط العمودي هو فعلا أقرب نقطة، بمبرهنة فيثاغورس
- تطبيق دستور بعد نقطة عن مستو انطلاقا من معادلة ديكارتية له
- تفسير انعدام البعد بانتماء النقطة إلى المستوي
- التحقّق من نتيجة بحساب المسقط العمودي و المسافة بين نقطتين
- حساب المسافة بين مستويين متوازيين انطلاقا من نقطة من أحدهما
- الجداء السلّمي في الفضاء و معيار التعامد
- المعادلة الديكارتية لمستو و قراءة شعاعه الناظمي عليها
- المسافة بين نقطتين بدلالة الإحداثيات
- دراسة اتّجاه تغيّر دالة من الدرجة الثانية و قيمتها الحدّية
1. تمرين تمهيدي: نفس السؤال، في المستوي
قبل الفضاء، نعالج السؤال في المستوي، حيث يمكن رؤية كلّ شيء. نأخذ نقطة و مستقيما، و نبحث عن أقرب نقطة من المستقيم إليها — لا بالرسم، بل بدراسة دالة.
نبقى هنا في المستوي، بمعلم متعامد و متجانس، لأنّ الفكرة تُرى فيه أحسن.
🎯المطلوب: احسب بعد النقطة A عن المستقيم المعطى بمعادلته.
نقطة كيفية من المستقيم ترتيبها محسوب من فاصلتها: هذا يجعل كلّ شيء تابعا لمتغيّر واحد.
العبارة من الدرجة الثانية و معاملها الأوّل موجب: تقبل قيمة حدّية صغرى عند فاصلة الرأس.
نأخذ الجذر، ثمّ ننطّق المقام بضرب البسط و المقام في جذر خمسة.
و لأنّ النتيجة تستحقّ تحقّقا، نعيّن النقطة الأقرب نفسها و نتأكّد من أنّها على المستقيم، و من أنّ الشعاع الواصل إليها عمودي عليه.
نعوّض فاصلة الرأس في معادلة المستقيم: العدد −3 × (−7/5) + 1 يساوي 26/5، إذن النقطة على المستقيم فعلا.
الشعاع الواصل من النقطة إلى مسقطها محمول على الشعاع (3 ; 1)، و هو الشعاع الناظمي للمستقيم ذي المعادلة 3x + y − 1 = 0. التعامد محقّق.
2. في الفضاء: لماذا المسقط العمودي هو الأقرب
ننتقل إلى الفضاء. المستوي معطى بمعادلة ديكارتية، و النقطة بإحداثياتها. نبرهن أوّلا على أنّ المسقط العمودي هو أقرب نقطة، ثمّ نعطي الدستور.
الشعاع الأوّل عمودي على المستوي، و الشعاع الثاني مرسوم داخله: جداؤهما منعدم بحكم تعريف المسقط.
مربّع المسافة الثانية موجب أو معدوم، فالمسافة إلى أيّ نقطة أخرى أكبر من المسافة إلى المسقط أو تساويها، و لا تساويها إلّا إذا انطبقت النقطتان.
و الآن الدستور. المستوي معطى بمعادلته، و النقطة بإحداثياتها. لا نحتاج إلى تعيين المسقط: يكفي التعويض.
⭐ البسط هو الطرف الأيسر من معادلة المستوي، معوّضا بإحداثيات النقطة، بين قيمتين مطلقتين. و المقام هو طويلة الشعاع الناظمي. لا شيء آخر يدخل في الحساب.
و لكي ترى من أين يأتي الدستور، إليك الخطوات الثلاث التي تصنعه: نكتب المسقط انطلاقا من النقطة و الشعاع الناظمي، نفرض انتماءه إلى المستوي فنجد المعامل، ثمّ نحسب المسافة.
نأخذ الجذر فنجد الدستور المعلن، و القيمة المطلقة تظهر تلقائيا لأنّ جذر مربّع عدد هو قيمته المطلقة.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و المستوي معطى بمعادلة ديكارتية.
🎯المطلوب: عيّن بعد النقطة A عن المستوي المعطى بمعادلته.
نعوّض إحداثيات النقطة في الطرف الأيسر من المعادلة.
المقام هو طويلة الشعاع الناظمي، و معاملات المعادلة هي إحداثياته.
العدد 38 يساوي جداء جذره في نفسه، فيبقى جذر واحد بعد الاختزال.
و لأنّ هذا النوع من النتائج يُتحقّق منه بسهولة، نعيّن المسقط العمودي و نحسب المسافة بطريق ثان، مستقلّ تماما عن الدستور.
المعامل الذي يضرب الشعاع الناظمي هنا يساوي ناقص واحد، لأنّ البسط و المقام المربّع متساويان: كلاهما 38.
نفس العدد 38 يظهر من طريق آخر تماما: الطريقان يتّفقان، و الجواب مؤكّد.
نغيّر النقطة و نبقي على المستوي، لنرى ما الذي يقوله الدستور في الحالة الحدّية.
🎯المطلوب: عيّن بعد النقطة B عن المستوي، ثمّ استنتج وضعها بالنسبة إليه.
المقام لا يتغيّر: هو طويلة الشعاع الناظمي نفسه.
بعد منعدم يعني أنّ النقطة و مسقطها منطبقان، أي أنّ النقطة من المستوي.
نعود إلى مستو تعرفه: هو المستوي الذي يشمل النقط A و B و C من درس المعادلة الديكارتية.
🎯المطلوب: احسب بعد مبدأ المعلم عن هذا المستوي.
نأخذ المستوي الذي وجدنا معادلته في درس المعادلة الديكارتية.
إحداثيات المبدأ كلّها معدومة، فلا يبقى في البسط إلّا الحدّ الثابت.
العدد 250 يساوي 25 × 10، و جذر 25 يخرج من الجذر.
ننطّق المقام بضرب الطرفين في جذر عشرة.
نأخذ المستوي الذي يشمل النقط الوحدوية الثلاث، و المستوي الذي يوازيه و يشمل المبدأ.
🎯المطلوب: احسب المسافة بين المستويين المتوازيين المعطيين بمعادلتيهما.
المستويان لهما نفس الشعاع الناظمي، و قد رأينا أنّ الثاني يشمل المبدأ.
ما دام المستويان متوازيين، فبعد أيّ نقطة من أحدهما عن الآخر ثابت: نختار أسهل نقطة، و هي المبدأ.
ننطّق المقام بضرب الطرفين في جذر ثلاثة.
نطبّق الدستور على أبسط مستو ممكن، للتأكّد من أنّه يعطي ما يقوله الحدس.
🎯المطلوب: احسب بعد النقطة A عن المستوي الأفقي ذي المعادلة المعطاة.
معادلة المستوي الأفقي هي انعدام الارتفاع، و شعاعه الناظمي هو الشعاع الثالث من أشعّة الأساس.
Page 1/8
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net