الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التشابه المباشر: تعريف، النسبة، الزاوية و الكتابة المركبة
التحويل المطلوب اسمه التشابه المباشر. و الجواب المختصر: عددان اثنان يكفيان لوصفه، عدد موجب تماما يضرب كل المسافات، و زاوية واحدة تدور بها كل الأشكال. و في المستوي المركب يجتمع هذان العددان في معامل واحد.
- تعريف التشابه المباشر بما يحافظ عليه، لا بشكله
- تعيين نسبة تشابه مباشر انطلاقا من نقطتين و صورتيهما
- تعيين زاوية تشابه مباشر و إدراك أنها لا تتعلّق باختيار النقطتين
- كتابة تشابه مباشر بالأعداد المركّبة على شكل موحّد
- الزوايا الموجهة و علاقة شال في الزوايا
- طويلة عدد مركب و عمدته
- لاحقة نقطة و لاحقة شعاع في المستوي المركب
التعريف: ما الذي يحافظ عليه التشابه المباشر
لا نعرّف التشابه المباشر بشكله و لا بكتابته، بل بما يبقى ثابتا تحت تأثيره. و الثابتان اثنان: نسب المسافات من جهة، و الزوايا الموجهة من جهة أخرى. نأخذ أربع نقط من المستوي و نتابع صورها.
| ما يحافظ عليه التحويل | ترجمته على أربع نقط و صورها |
|---|---|
| نسب المسافات | P'Q'M'N' = PQMN |
| الزوايا الموجهة | (M'N' ; P'Q') = (MN ; PQ) |
النسبة: عدد موجب تماما يضرب كل المسافات
التعريف يتكلّم عن نسب المسافات، لا عن المسافات نفسها. لكن هذا يكفي لاستخراج عدد ثابت. نأخذ في المساواة الأولى النقطتين P و Q كنقطتين ثابتتين مرة واحدة، و ندع M و N تتغيّران.
نعيد ترتيب المساواة التي يعطيها التعريف: بدل مقارنة قطعتين في الشكل الواحد، نقارن كل قطعة بصورتها.
الطرف الأيسر لا يتعلّق بالنقطتين M و N ، إذن الطرف الأيمن كذلك: النسبة بين طول الصورة و طول القطعة عدد ثابت لا يتغيّر مهما اخترنا النقطتين. نسمّي هذا العدد نسبة التشابه.
و لمّا تساوي النسبة الواحد، تُحفظ كل المسافات: نقول عندئذ إن التشابه المباشر تقايس موجب، أو إزاحة، و هو عندئذ انسحاب أو دوران و لا شيء غيرهما.
الزاوية: زاوية واحدة تكفي الشكل كله
نفعل مع الزوايا ما فعلناه مع المسافات. الزاوية الموجهة بين شعاع و شعاع صورته لا تتعلّق باختيار النقطتين اللتين حملتاه: هي أيضا ثابتة، و هي التي نسمّيها زاوية التشابه المباشر.
الكتابة المركّبة لتشابه مباشر
العددان اللذان يصفان التشابه، النسبة و الزاوية، يجتمعان في عدد مركّب واحد: عدد طويلته النسبة و عمدته الزاوية. هذا ما يجعل الأعداد المركّبة الأداة الطبيعية لهذا الدرس.
البرهان يقوم على ثلاث نقط فقط: المبدأ O الذي لاحقته معدومة، و النقطة I التي لاحقتها الوحدة، و نقطة M كيفية لاحقتها z. نسمّي صورها على الترتيب، و لواحقها كذلك.
نطبّق حفظ نسب المسافات على الثلاثية التي مبدؤها O و طرفاها I و M: طول القطعة التي طرفاها O و I يساوي الوحدة، فتبقى الطويلة وحدها.
و نطبّق حفظ الزوايا الموجهة على الشعاعين أنفسهما.
عددان مركّبان لهما الطويلة نفسها و العمدة نفسها هما عدد واحد. إذن الحاصل بين القوسين يساوي اللاحقة z تماما، و يكفي أن نضرب في المقام و ننقل.
و بوضع المعامل يساوي الفرق بين لاحقتي صورتي I و O ، و الحد الثابت يساوي لاحقة صورة المبدأ، نحصل على الشكل المعلن. و المعامل غير معدوم لأن النقطتين O و I مختلفتان، فصورتاهما مختلفتان.
يبقى أن نربط المعامل بالنسبة، و هو ربط في سطر واحد: إذا كانت z₁ و z₂ لاحقتي نقطتين، فإنّ الفرق بين صورتيهما يساوي المعامل مضروبا في الفرق بينهما، لأن الحدّين الثابتين يتلاشيان بالطرح. و الطويلة تضرب الأطوال، فتظهر النسبة.
التشابه المباشر S يرفق بكل نقطة M لاحقتها z النقطة M′ لاحقتها z' وفق الكتابة أدناه، و النقطة A فاصلتها 1 و ترتيبتها ناقص واحد.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة النقطة A′ صورة النقطة A بالتشابه S.
لاحقة النقطة A هي فاصلتها زائد ترتيبتها مضروبة في الوحدة التخيلية.
نعوّض في الكتابة المركّبة.
الجداء جداء مرافقين، و هو مجموع مربّعي الجزأين.
النقطة B فاصلتها معدومة و ترتيبتها 1.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة النقطة B′ صورة النقطة B بالتشابه نفسه.
نعوّض في الكتابة المركّبة نفسها.
ننشر الجداء.
نعوّض مربّع الوحدة التخيلية بناقص واحد.
| النقطة | صورتها |
|---|---|
| A (1 ; -1) | A' (2 ; -2) |
| B (0 ; 1) | B' (-1 ; -1) |
🎯المطلوب: احسب نسبة التشابه المباشر S.
النسبة هي طول القطعة الصورة على طول القطعة الأصلية، و اللاحقة تعطي الطول بطويلة الفرق.
نحسب الفرق في الصورة.
نحسب الفرق في المنطلق.
نعمل على مربّعات الطويلات لنتخلّص من الجذور.
مربّع النسبة هو حاصل قسمة المربّعين.
النسبة موجبة تماما، فهي الجذر الموجب.
حسبنا النسبة من نقطتين و صورتيهما؛ نحسبها الآن من المعامل وحده، و ننتظر القيمة نفسها.
🎯المطلوب: تحقّق من أن طويلة المعامل تعطي النسبة نفسها.
النسبة هي طويلة المعامل، فنحسب مربّع هذه الطويلة.
🎯المطلوب: عيّن مركز التشابه المباشر S و زاويته.
المركز نقطة صامدة: صورتها هي هي.
ننقل كل ما فيه z إلى طرف واحد.
نقسم الطرفين على المعامل، و هو غير معدوم.
الزاوية هي عمدة المعامل، و المعامل جزؤه الحقيقي و جزؤه التخيلي متساويان و موجبان.
بناء صورة نقطة دون حساب
النسبة و الزاوية لا تُستعملان للحساب فقط: بهما وحدهما نبني صورة أي نقطة بالمسطرة و المدوّر. القطعة الصورة طولها النسبة مضروبة في طول القطعة، و اتجاهها يصنع مع اتجاه القطعة زاوية التشابه.
المربّع ذو الرؤوس الأربعة مباشر، و التشابه المباشر نسبته 2 و قيس زاويته ثلثا نصف الدورة، و صورة الرأس الأول هي الرأس الثاني.
🎯المطلوب: عيّن طول القطعة التي طرفاها الرأس الثاني و صورته.
النقطة B هي صورة النقطة A ، و النقطة الجديدة هي صورة B ، فالقطعة التي طرفاها B و هذه النقطة هي صورة القطعة التي طرفاها A و B.
نعوّض النسبة.
🎯المطلوب: احسب الزاوية الموجهة التي تحدّد نصف المستقيم الحامل للصورة.
زاوية التشابه هي الزاوية بين القطعة و صورتها، فنكتبها أولا كما هي.
للبناء نحتاج إلى الزاوية عند الرأس الثاني، لا عند الرأس الأول؛ فندخل علاقة شال.
الشعاعان الأولان متقابلان، فالزاوية بينهما نصف دورة.
نطرح دورة كاملة للحصول على القيس الرئيسي.
Page 1/12
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net