تطور جملة ميكانيكية
شعاع الموضع و السرعة و التسارع، و القوانين الثلاثة لنيوتن
- أن تكتب شعاع الموضع في معلم ديكارتي وتحسب طويلته
- أن تعيّن سرعة لحظية من تسجيل أو من المعادلات الزمنية
- أن تعيّن شعاع التسارع وتفصله إلى مركّبتيه المماسية والناظمية
- أن تنصّ قوانين نيوتن الثلاثة وتطبّق الثاني منها لحساب تسارع أو قوّة
- المرجع العطالي ومبدأ العطالة كما رأيتهما في الدرس السابق
- الاشتقاق: مشتقّ دالّة كثير حدود، ومعنى ميل المماس عند نقطة
- جمع الأشعّة وإسقاطها على محاور معلم متعامد ومتجانس
❓إشكالية: وصف الحركة يحتاج إلى ثلاث كمّيات تُبنى إحداها على الأخرى: أين هو الجسم، وكيف يتغيّر موضعه، وكيف تتغيّر سرعته. ثمّ يبقى السؤال الأهمّ: ما الذي يفرض هذا التغيّر ؟
- أيّ نقطة من الجسم نتابع، ما دام الجسم ليس نقطة ؟
- كيف نحسب سرعة لحظية ونحن لا نملك إلّا مواضع مسجّلة في لحظات متباعدة ؟
- لماذا يكون لجسم تسارع وسرعته ثابتة الشدّة ؟
النقطة المادية و مركز العطالة
نشاط 1: أيّ نقطة من الجسم نتابع ؟
📌التجربة:
- نقذف ممحاة في الهواء ونصوّرها بتصوير متعاقب في مجالات زمنية متساوية.
- نتابع على الصور مسار نقطة من طرف الممحاة ونرسمه.
- نتابع مسار نقطة أخرى قريبة من وسطها ونرسمه بدوره.
- نقارن المسارين، ثمّ نبحث عن النقطة التي يكون مسارها أبسط ما يمكن.
🔍الملاحظة: مسارات نقاط الطرف معقّدة ومتشابكة، لأنّ الممحاة تدور على نفسها وهي تتقدّم. أمّا نقطة واحدة منها، هي مركز عطالتها، فترسم منحنى بسيطا ومنتظما، وهو نفسه المنحنى الذي ترسمه كرة صغيرة تُقذف بالكيفية نفسها.
شعاع الموضع
نشاط 2: كيف نحدّد موضع نقطة في الفضاء ؟
📌التجربة:
- نختار معلما ديكارتيا مبدؤه نقطة ثابتة، وأشعّة وحدته الثلاثة متعامدة مثنى مثنى.
- نسقط مركز العطالة عموديا على المحاور الثلاثة، ونقرأ الإحداثيات الثلاث.
- نبني متوازي المستطيلات الذي أحد رؤوسه المبدأ ورأسه المقابل مركز العطالة.
- نصل المبدأ بمركز العطالة، ونكتب الشعاع المحصّل عليه بدلالة الإسقاطات الثلاثة.
🔍الملاحظة: الشعاع الواصل بين المبدأ ومركز العطالة هو القطر الكبير لمتوازي المستطيلات، وأحرفه الثلاثة هي بالضبط إسقاطات النقطة على المحاور. فثلاثية واحدة من الأعداد تحدّد موضعا واحدا لا غير، والعكس صحيح.
والإحداثيات الثلاث دوالّ للزمن: تسمّى المعادلات الزمنية للحركة، ومنها وحدها تُستنتج السرعة والتسارع فيما بعد. أمّا بُعد المتحرّك عن المبدأ فهو طويلة شعاع الموضع.
جسم متحرّك في مستوٍ، ومعادلاته الزمنية معطاة بالوحدات الدولية.
🎯المطلوب: حدّد شعاع موضع المتحرّك عند اللحظة الموافقة لثانيتين، ثمّ احسب بُعده عن المبدأ
لأنّ كلّ إحداثية دالّة للزمن، فتعيينها عند لحظة معيّنة يكون بتعويض الزمن بقيمته في عبارتها
لأنّ الترتيبة تتعلّق بمربّع الزمن، فنربّع القيمة أوّلا ثمّ نضرب، لا العكس
لأنّ الإحداثية الثالثة معدومة دائما، فالحركة تجري في مستوٍ ويُكتب شعاع الموضع بمركّبتين فقط
لأنّ البُعد عن المبدأ هو طويلة شعاع الموضع، وتُحسب بمبرهنة فيثاغورس على المركّبتين
شعاع السرعة
نشاط 3: قياس السرعة على تسجيل
📌التجربة:
- نسجّل مواضع مركز عطالة متحرّك على شريط، في مجالات زمنية متساوية.
- نرقّم المواضع المحصّل عليها بالترتيب، ونصل المبدأ بكلّ موضع بشعاع الموضع الموافق له.
- نرسم الشعاع الواصل بين موضعين متتاليين، وهو شعاع الانتقال.
- لتعيين السرعة عند موضع، نقيس المسافة بين الموضعين المحيطين به ونقسمها على المدّة اللازمة لقطعها.
🔍الملاحظة: شعاع الموضع ينطلق دائما من المبدأ إلى المتحرّك، بينما ينطلق شعاع الانتقال من موضع إلى الموضع الموالي: هما شعاعان مختلفان تماما ولا يجوز الخلط بينهما. والشعاع الواصل بين الموضعين المحيطين بموضع ما يكون قريبا جدّا من مماس المسار عنده، وكلّما صغرت المدّة بين تسجيلين ازداد قربا منه.
- شعاع السرعة مماسي للمسار عند النقطة المعتبرة.
- شعاع السرعة موجّه دائما في اتجاه الحركة.
- شدّة السرعة تُحسب من مركّباتها الثلاث.
🔍التحليل: تعيين السرعة من البيانات لا يحتاج إلى أيّ حساب جبري. ميل المماس عند لحظة معيّنة هو بالضبط قيمة المركّبة الموافقة للسرعة عند تلك اللحظة. وإذا كان البيان مستقيما فالمماس هو المستقيم نفسه، وميله ثابت، فتكون المركّبة ثابتة ويكفي حساب نسبة التغيّرين لتعيينها.
تسجيل لحركة متحرّك في مجالات زمنية متساوية. قِسنا على الشريط المسافة بين الموضعين المحيطين بالموضع الثاني، والمدّة بين تسجيلين متتاليين معلومة.
🎯المطلوب: احسب شدّة السرعة اللحظية للمتحرّك عند الموضع الثاني
لأنّ السرعة تُطلب بالمتر على الثانية، فيجب أن تُعبّر المسافة بالمتر قبل أيّ تعويض
لأنّ المسافة المقيسة تخصّ تسجيلين متتاليين لا تسجيلا واحدا، فالمجال الزمني الموافق لها هو ضعف المدّة بين تسجيلين
لأنّ السرعة اللحظية عند موضع تُقدَّر بالسرعة المتوسّطة بين الموضعين المحيطين به
لأنّ قسمة المسافة بالمتر على المدّة بالثانية تعطي السرعة بالمتر على الثانية مباشرة
شعاع التسارع
السرعة نفسها تتغيّر، وتغيّرها هو ما يقيسه التسارع. والطريقة هي الطريقة نفسها التي استعملناها لتعيين السرعة انطلاقا من الموضع، مطبّقة مرّة ثانية.
🔍التحليل: الحركة نفسها تُقرأ مرّتين بالطريقة نفسها. أوّلا من بيان الموضع فنحصل على السرعة، ثمّ من بيان السرعة فنحصل على التسارع. والجديد هنا أنّ الميل يُحسب على بيان السرعة، وأنّ المركّبة التي بيانها مستقيم يكفي فيها حساب نسبة تغيّر السرعة إلى المدّة، لأنّ ميلها لا يتغيّر.
ولشعاع التسارع مركّبتان لهما معنى فيزيائي مختلف، ولا يمكن الاستغناء عن أيّ منهما في الحركات المنحنية.
- إذا كانت شدّة السرعة ثابتة كان التسارع المماسي معدوما، ولم يبق إلّا التسارع الناظمي.
- إذا كانت الحركة مستقيمة كان نصف قطر الانحناء لا نهائيا، فيكون التسارع الناظمي معدوما.
جسم يتحرّك على مسار مستقيم. قِسنا شدّة سرعته عند لحظتين مختلفتين.
🎯المطلوب: احسب شدّة التسارع المتوسّط للمتحرّك بين اللحظتين
لأنّ التسارع المتوسّط هو نسبة تغيّر السرعة إلى المدّة التي حدث فيها هذا التغيّر، فنحسب التغيّرين كلاًّ على حدة
لأنّ المدّة هي الفرق بين اللحظتين، لا اللحظة الثانية وحدها
لأنّ الحركة مستقيمة، فشعاعا السرعة على حامل واحد ويكفي العمل بالشدّتين
القوانين الثلاثة لنيوتن
نشاط 4: هل يكون التأثير في اتجاه واحد ؟
📌التجربة:
- نربط دينامومترين أحدهما بالآخر من خطّافيهما، ونمسك كلّ واحد بيد.
- نشدّ في اتجاهين متعاكسين على استقامة واحدة، ونقرأ ما يشير إليه كلّ دينامومتر.
- نغيّر شدّة الشدّ ونعيد القراءتين.
- نستبدل أحد الدينامومترين بجسم ساكن على الطاولة، ونعيد التجربة.
🔍الملاحظة: القراءتان متساويتان دائما مهما كانت شدّة الشدّ، والقوّتان محمولتان على المستقيم نفسه ومتعاكستان في الاتجاه. وأيّ تغيير في إحداهما يظهر في الأخرى في اللحظة نفسها، دون أيّ تأخّر.
جملة مادية كتلتها معلومة، وحصيلة القوى الخارجية المطبّقة عليها معلومة الشدّة وثابتة الجهة.
🎯المطلوب: احسب شدّة تسارع مركز عطالة الجملة
لأنّ القانون الثاني هو وحده الذي يربط حصيلة القوى الخارجية بتسارع مركز العطالة
لأنّ حصيلة القوى ثابتة الجهة، فشعاع التسارع يوازيها ويكفي العمل بالشدّتين ثمّ عزل التسارع بالقسمة على الكتلة
لأنّ النيوتن الواحد مقسوما على الكيلوغرام يعطي مترا على ثانية مربّعة، فالوحدة صحيحة دون أيّ تحويل
Page 1/11
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net