الدوال العددية › الدوال كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة
الدوال كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة على الأكثر و نقطة الانعطاف
بطريقة واحدة، و هي ستّ خطوات لا تتغيّر أبدا: النهايات، ثمّ المشتقّة، ثمّ إشارتها، ثمّ جدول التغيّرات، ثمّ التمثيل البياني، ثمّ التقاطع مع المحورين. ما يتغيّر هو الحساب داخل كلّ خطوة، لا الترتيب.
- دراسة دالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة على الأكثر في ستّ خطوات
- حساب نهايات كثيرة حدود عند اللانهايتين بالحدّ الأعلى درجة
- تعيين نقطة انعطاف منحنى بالمشتقّة الثانية
- حساب مشتقة كثيرة حدود
- دراسة إشارة عبارة من الدرجة الأولى أو الثانية
1. النهايات: الحدّ الأعلى درجة يحكم وحده
عند اللانهايتين، كثيرة الحدود تتصرّف تماما مثل حدّها ذي الدرجة الأعلى. الحدود الأخرى توجد، لكنّها تصبح مهملة أمامه.
- من الدرجة الأولى: إذا كان a موجبا فالنهاية −∞ ثمّ +∞، و إذا كان سالبا فالعكس.
- من الدرجة الثانية: إذا كان a موجبا فالنهايتان +∞ معا، و إذا كان سالبا فـ −∞ معا. الأس زوجي، فالطرفان يتّجهان إلى نفس الجهة.
- من الدرجة الثالثة: إذا كان a موجبا فالنهاية −∞ ثمّ +∞، و إذا كان سالبا فالعكس. الأس فردي، فالطرفان يتعاكسان.
2. نقطة الانعطاف
منحنى دالة من الدرجة الثالثة يقبل نقطة تنقلب فيها من التقعّر إلى التحدّب: يمرّ مماسه من جهة إلى الجهة الأخرى. هذه النقطة تُعيَّن بالمشتقّة الثانية.
🎯المطلوب: أدرس الدالة f من الدرجة الأولى في ستّ خطوات، حتّى تقاطعها مع المحورين.
الحدّ الأعلى درجة هو 3x، و معامله موجب.
مشتق 3x هو 3، و مشتق الثابت 0.
المشتقّة عدد موجب ثابت، فالإشارة موجبة على ℝ كلّها.
نحلّ f(x) = 0 لنجد التقاطع مع محور الفواصل.
نحسب f(0) لنجد التقاطع مع محور التراتيب.
المنحنى هنا يسمّى قطعا مكافئا. الشكل أسفله يبيّنه مع جدول تغيّراته.
🎯المطلوب: أدرس الدالة f من الدرجة الثانية ثمّ عيّن قيمتها الحدّية الدنيا.
الحدّ الأعلى درجة هو 2x²، أسّه زوجي و معامله موجب: الطرفان معا نحو +∞.
مشتق 2x² هو 4x، و مشتق −4x هو −4.
العامل 4 موجب، فإشارة المشتقّة هي إشارة (x - 1).
القيمة الحدّية الدنيا هي صورة الجذر.
نحلّ المعادلة للتقاطع مع محور الفواصل: المميّز ثمّ الجذران.
🎯المطلوب: أدرس الدالة f من الدرجة الثالثة ثمّ عيّن إحداثيي نقطة انعطاف منحناها.
الحدّ الأعلى درجة هو x³، أسّه فردي و معامله موجب: الطرفان متعاكسان.
مشتق x³ هو 3x²، و مشتق x هو 1.
مربّع موجب دائما، مضاف إليه 1: المشتقّة لا تنعدم أبدا و تبقى موجبة.
للانعطاف نشتقّ مرّة ثانية: مشتق 3x² هو 6x، و مشتق 1 هو 0.
تنعدم في قيمة واحدة، و تتغيّر إشارتها حولها: سالبة قبل الصفر، موجبة بعده.
في المثال 3 لا تنعدم المشتقّة أبدا. لكنّ مشتقّة دالة من الدرجة الثالثة هي من الدرجة الثانية، و قد يكون لها جذران: عندئذ تتغيّر إشارتها مرّتين، فيتغيّر اتّجاه الدالة مرّتين، و تقبل الدالة قيمتين حدّيتين محلّيتين.
🎯المطلوب: أدرس الدالة f من الدرجة الثالثة ثمّ عيّن قيمتيها الحدّيتين المحلّيتين.
الحدّ الأعلى درجة هو x³، أسّه فردي و معامله موجب: الطرفان متعاكسان.
مشتق x³ هو 3x²، و مشتق −3x هو −3، و مشتق الثابت 0.
المشتقّة من الدرجة الثانية و معاملها 3 موجب: موجبة خارج الجذرين، سالبة بينهما.
f تتزايد قبل −1 و تتناقص بعده: صورته قيمة حدّية عظمى محلّية.
f تتناقص قبل 1 و تتزايد بعده: صورته قيمة حدّية دنيا محلّية.
Page 1/7
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net