Mathematics🎓 baccalaureate goal

الإحصاء والاحتمالات الإحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

الأمل الرياضياتي و التباين و الانحراف المعياري

🔊 The teacher reads for you

لاعبان أمام حجري نرد. الأوّل يريد أن يكون ربحه مجموع الرقمين الظاهرين، و الثاني يريد أن يكون ربحه جداءهما. كلاهما يرى في طريقته الأفضل. فبأيّ عدد نحسم بينهما دون أن نلعب ألف مرّة؟

هذا العدد موجود، و اسمه الأمل الرياضياتي: إنّه المعدّل الذي تؤول إليه الأرباح لو كرّرنا اللعبة عددا كبيرا من المرّات. و إلى جانبه عدد ثان، التباين، يقيس لا الربح بل المخاطرة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب الأمل الرياضياتي لقانون احتمال
حساب التباين و الانحراف المعياري
الحكم على عدالة لعبة انطلاقا من أملها الرياضياتي

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

قانون الاحتمال و شرط مجموع احتمالاته
حساب الوسط الحسابي لسلسلة إحصائية

1. التعاريف الثلاثة

ليكن قانون احتمال يعطي للنتائج x₁ ، … ، xₙ الاحتمالات p₁ ، … ، pₙ.

الأمل الرياضياتي

m=p₁ x₁ + p₂ x₂ + ... + p_n x_n

mالأمل الرياضياتي، أي معدّل النتائج على المدى الطويل

التباين

V=p₁ (x₁ - m)² + ... + p_n (x_n - m)²

Vالتباين، و هو يقيس تشتّت القيم حول المعدّل

الانحراف المعياري

s = √V

sالانحراف المعياري، جذر التباين

لحساب التباين، الدستور المختصر أسرع دائما: ⁦V = p₁x₁² + … + pₙxₙ² − m²⁩. فهو يوفّر عليك طرح المعدّل من كلّ قيمة على حدة، و يقلّل فرص الخطأ في الإشارات.

و للأمل الرياضياتي خاصية تختصر كثيرا من العمل: إذا أضفنا عددا ثابتا a إلى كلّ القيم xᵢ، أُضيف a إلى الأمل الرياضياتي. لا حاجة إلى إعادة الحساب من البداية.

2. الوضعية المرجعية

نرمي حجري نرد متوازنين، لكلّ منهما أربعة أوجه مرقّمة من 1 إلى 4، و ننظر إلى مجموع الرقمين الظاهرين. يدفع اللاعب A ستّة دنانير للمنظّم، و يدفع اللاعب B عشرة دنانير، ثمّ يقبض كلّ منهما ضعف المجموع.

مثال 1: قانون احتمال ربح اللاعب A

🎯المطلوب: عيّن قيم ربح اللاعب A ثمّ قانون احتماله.

🔹الخطوة 1: عدد المخارج

لكلّ حجر أربعة أوجه، فالمخارج المرتّبة أربعة في أربعة.

4 × 4 = 16

🔹الخطوة 2: تكرار كلّ مجموع

نعدّ في جدول المجاميع كم مخرجا يعطي كلّ مجموع: مجموع 2 لا يأتي إلاّ من ⁦(1;1)⁩، و مجموع 3 من ⁦(1;2)⁩ و ⁦(2;1)⁩، و هكذا حتّى 8.

n(2) = 1 ; n(3) = 2 ; n(4) = 3 ; n(5) = 4 ; n(6) = 3 ; n(7) = 2 ; n(8) = 1

🔹الخطوة 3: التحقّق

نتحقّق أنّ مجموع التكرارات يساوي عدد المخارج.

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1=16

🔹الخطوة 4: الربح بدلالة المجموع

اللاعب A دفع 6 و يقبض ضعف المجموع: ربحه هو الفرق.

g = 2s - 6

🔹الخطوة 5: طرفا المدى

نطبّق الدستور على أصغر مجموع و أكبره لنعرف مدى الربح.

2 × 2 - 6 = -2 ; 2 × 8 - 6 = 10

✅النّتيجة: قيم الربح

-2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10

✅النّتيجة: الاحتمالات

لكلّ قيمة ربح احتمال هو تكرار مجموعها على 16.

116 ; 216 ; 316 ; 416 ; 316 ; 216 ; 116

لا تحسب أبدا احتمالات الربح مباشرة: احسب أوّلا قانون المجموع، ثمّ ترجم كلّ مجموع إلى ربح. الترجمة لا تغيّر الاحتمالات، إنّما تغيّر الأسماء.

مثال 2: الأمل الرياضياتي و التباين لهذا القانون

🎯المطلوب: احسب الأمل الرياضياتي و التباين و الانحراف المعياري لهذا القانون.

🔹الخطوة 1: بسط الأمل

نضرب كلّ قيمة ربح في احتمالها ثمّ نجمع.

1 × (-2) + 2 × 0 + 3 × 2 + 4 × 4 + 3 × 6 + 2 × 8 + 1 × 10=64

🔹الخطوة 2: الأمل

نقسم على 16، فكلّ الاحتمالات مقامها 16.

m=6416=4

🔹الخطوة 3: بسط مجموع المربّعات

للتباين نستعمل الدستور المختصر، فنبدأ بمجموع مربّعات القيم مرجّحة.

1 × 4 + 2 × 0 + 3 × 4 + 4 × 16 + 3 × 36 + 2 × 64 + 1 × 100=416

🔹الخطوة 4: مجموع المربّعات

41616 = 26

🔹الخطوة 5: التباين

نطرح مربّع المعدّل.

V=26 - 4²=26 - 16=10

✅النّتيجة: الانحراف المعياري

s = √10

الأمل 4 دنانير و الانحراف قرابة 3,16: هذا يعني أنّ الربح الفعلي يتأرجح عادة بين دينار و سبعة. الأمل يقول أين المركز، و الانحراف يقول كم نبتعد عنه.

مثال 3: و اللاعب B، دون إعادة أيّ حساب

لا داعي لإعادة الجدول كلّه: يكفي أن نلاحظ أنّ ربح B هو ربح A ناقص أربعة.

🎯المطلوب: احسب أمل ربح اللاعب B دون إعادة الجدول، ثمّ احكم على عدالة اللعبة بالنسبة إليه.

🔹الخطوة 1: العلاقة بين الربحين

اللاعب B يدفع 10 بدل 6، أي أربعة دنانير زيادة، و يقبض نفس المبلغ.

g' = g - 4

🔹الخطوة 2: الأمل الجديد

نطبّق خاصية الأمل: إضافة ثابت إلى كلّ القيم تضيفه إلى الأمل. و هنا الثابت سالب.

m' = m - 4

🔹الخطوة 3: الحساب

m'=4 - 4=0

✅النّتيجة

m' = 0

أمل معدوم يعني لعبة عادلة: لا للاعب و لا عليه على المدى الطويل. أمل موجب يعني لعبة في صالح اللاعب، و أمل سالب لعبة في صالح المنظّم.

التباين لا يتغيّر عند إضافة ثابت. اللاعبان A و B يواجهان نفس التذبذب تماما: ما يفرّق بينهما هو المركز، لا المخاطرة.

سؤال « هل اللعبة عادلة؟ » لا يُجاب عنه بالإحساس. احسب الأمل الرياضياتي، ثمّ اكتب صراحة: عادلة إذا كان معدوما، في صالح اللاعب إذا كان موجبا، في صالح المنظّم إذا كان سالبا. الجملة الأخيرة هي التي تُنقّط، لا الحساب وحده.

الخلاصة: الأمل الرياضياتي m هو معدّل النتائج على المدى الطويل، و التباين V يقيس تشتّتها حوله، و الانحراف المعياري هو جذره. و لعبة تكون عادلة إذا و فقط إذا كان أملها معدوما.

Page 1/5