كتابة كسر على الشكل غير القابل للاختزال

تذكّر أوّلا ما رأيته في الدروس السابقة: عددان طبيعيان a و b أوليان فيما بينهما معناه أنّ قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1، أي أنّه ليس لهما أيّ قاسم مشترك سوى 1. هذا التذكير هو مفتاح الدرس كلّه.

والآن التعريف: نأخذ عددين طبيعيين a و b مع b غير معدوم. نقول إنّ الكسر ⁦a/b⁩ غير قابل للاختزال إذا كان العددان a و b أوليين فيما بينهما. بعبارة أخرى: لا يوجد أيّ عدد أكبر من 1 يقسم البسط والمقام معا، فلا سبيل إلى تبسيط الكتابة أكثر ممّا هي عليه.

وفي الحالة المقابلة، إذا لم يكن القاسم المشترك الأكبر يساوي 1، أي إذا كان أكبر من 1، فالعددان ليسا أوليين فيما بينهما والكسر يقبل الاختزال: هناك إذن كتابة أبسط لم نصل إليها بعد.

إذا كان الكسر قابلا للاختزال، فإنّ قسمة بسطه ومقامه معا على قاسمهما المشترك الأكبر تعطي كسرا يساوي الكسر الأوّل تماما، لكن بكتابة أبسط: العدد لم يتغيّر، وحدها الكتابة تغيّرت. ولهذا نقول إنّنا اختزلنا الكسر، ولا نقول إنّنا صغّرناه.

انظر الرسم أسفله: الشريطان لهما الطول نفسه، والجزء الملوّن منهما واحد؛ غير أنّ الأوّل مقسّم إلى 8 أجزاء والثاني إلى 4 أجزاء فقط. القسمة على القاسم المشترك الأكبر لم تنقص شيئا من المقدار، إنّما أنقصت عدد الأجزاء.

Agrandir l'image

الملاحظة التي تقوم عليها كلّ الطريقة هي هذه: عندما نقسم كلّا من بسط كسر ومقامه على قاسمهما المشترك الأكبر، نحصل على كسر غير قابل للاختزال. أي أنّ القسمة الواحدة تكفي، ولا نحتاج إلى إعادة العملية مرّة ثانية.

احسب القاسم المشترك الأكبر لبسط الكسر ومقامه، ثمّ قارنه بالعدد 1: إن وجدته يساوي 1 فالكسر غير قابل للاختزال ولا شيء عليك أن تفعله؛ وإن وجدته أكبر من 1 فالكسر قابل للاختزال، وعندئذ تنتقل إلى الطريقة الموالية.

الطريقة سطر واحد: نقسم كلّا من بسط الكسر ومقامه على القاسم المشترك الأكبر لهما. فنحصل مباشرة على الشكل غير القابل للاختزال، ولا نحتاج إلى إعادة العملية.

في الوضعيات تُعطى النسبة على شكل كسر: عدد الأشياء المعنيّة على العدد الكلّي. الطريقة لا تتغيّر، وإنّما تسبقها خطوة واحدة: كتابة النسبة كسرا قبل اختزاله. والشكل غير القابل للاختزال هو أسهل صورة للقراءة وللمقارنة.