مدرستي
Mathématiques

الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور الحساب على الجذور

الجذر التربيعي لعدد موجب

🔊 La maîtresse lit pour toi
تعرف أن تحسب مربع عدد: مربع 5 هو 25. لكن الحساب يسير في الاتجاهين، وقد تُعطى لك المساحة 25 ويُطلب منك العدد الذي مربعه 25. فما هو هذا العدد، وهل هو وحيد؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • معرفة أن لكل عدد موجب عددين متعاكسين مربع كل منهما هو ذلك العدد
  • تعريف الجذر التربيعي لعدد موجب وكتابته بالرمز المناسب
  • حساب الجذر التربيعي لمربع كامل، وتوظيف المساواة التي تعرّفه
  • تعليل عدم وجود جذر تربيعي لعدد سالب
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب مربع عدد ناطق، موجبا كان أو سالبا
  • قاعدة الإشارات في الجداء: جداء عددين لهما الإشارة نفسها موجب
  • حساب مساحة مربع انطلاقا من طول ضلعه
احتفظ قرب ورقتك بجدول مربعات الأعداد من 1 إلى 20: هو الأداة الأسرع في هذا الدرس، ويوفّر عليك البحث عن كل جذر تربيعي بالمحاولة.

معارف — لكل عدد موجب عددان متعاكسان مربعهما هو ذلك العدد

خذ عددا موجبا، وابحث عن الأعداد التي مربعها يساوي هذا العدد: ستجد دائما عددين اثنين، متعاكسين، أي لهما القيمة نفسها والإشارتان مختلفتان. فمربع 5 يساوي 25، ومربع العدد المعاكس له، أي 5 السالب، يساوي 25 كذلك.

العدد 25 مربع لعددين متعاكسين
5² = 25 , (−5)² = 25

والسبب بسيط: عند حساب المربع نضرب العدد في نفسه، والعددان المتعاكسان يعطيان الجداء نفسه لأن الإشارتين السالبتين تلغي إحداهما الأخرى.

معارف — مربع أي عدد يكون دائما موجبا

مهما كان العدد موجبا أو سالبا فإن مربعه يكون دائما موجبا، لأن العدد يُضرب في نفسه، والعاملان لهما الإشارة نفسها. ويترتّب على ذلك أمر مهم: لا يوجد أي عدد مربعه سالب.

مربع أي عدد ناطق موجب

العاملان في الجداء متساويان، فإشارتهما واحدة، والجداء موجب.

a² ≥ 0
aعدد ناطق كيفما كانت إشارته
لهذا السبب لا نكتب أبدا الجذر التربيعي لعدد سالب: لو كان لعدد سالب جذر تربيعي، لكان مربع هذا الجذر مساويا لذلك العدد السالب، أي لكان مربع عدد ما سالبا، وهذا مستحيل.

معارف — تعريف الجذر التربيعي

من بين العددين المتعاكسين اللذين مربع كل منهما هو العدد الموجب المعطى، نختار الموجب منهما وحده ونسمّيه الجذر التربيعي لهذا العدد. فالجذر التربيعي عدد موجب دائما، بحكم التعريف نفسه.

التعريف: الجذر التربيعي للعدد الموجب

هذه المساواة هي التعريف نفسه مكتوبا بالرموز: مربع الجذر يعيد العدد.

(√a)² = a
aعدد موجب√aالجذر التربيعي للعدد، وهو العدد الموجب الذي مربعه هو ذلك العدد
الجذر التربيعي عدد موجب

اخترنا الموجب من بين العددين المتعاكسين، فلا يكون الجذر سالبا أبدا.

√a ≥ 0
aعدد موجب
من هنا جاء الاسم: 7 هو ضلع المربع الذي مساحته 49، فهو جذره التربيعي.
اقرأ الرمز هكذا: الجذر التربيعي للعدد 25 هو 5. ولا تقل «جذر 25 هو 5 و 5 السالب»: العددان مربعهما 25، لكن الجذر التربيعي هو الموجب وحده.

معارف — الجذر التربيعي لمربع كامل

عندما يكون العدد المعطى مربعا لعدد موجب، يكون جذره التربيعي هو ذلك العدد الموجب مباشرة، بلا أي حساب تقريبي. وهذه هي الحالة التي تلتقيها أكثر من غيرها في التمارين.

جذر مربع عدد موجب

مربع العدد ثم جذره التربيعي عمليتان تلغي إحداهما الأخرى على الأعداد الموجبة.

√(a²) = a
aعدد موجب

وهكذا نقرأ مباشرة الجذر التربيعي لكل عدد نعرف أنه مربع كامل، مثل 49 الذي هو مربع 7، أو 361 الذي هو مربع 19.

أمثلة على مربعات كاملة
√49 = 7 , √361 = 19
المربعات الكاملة ليست الأعداد الطبيعية وحدها: 0,01 هو مربع 0,1، و 2,25 هو مربع 1,5. ابحث عن المربع في الأعداد العشرية أيضا قبل أن تلجأ إلى الآلة.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نتحقّق أن عددا هو الجذر التربيعي لعدد آخر؟

شرطان لا ثالث لهما: أن يكون العدد المقترح موجبا، وأن يكون مربعه هو العدد المعطى. تحقّق من الشرطين معا، فإسقاط الأول يقبل جوابا سالبا خاطئا.

مثال 1: التحقّق من جذر تربيعي

نعتبر العددين 7 و 49.

🎯المطلوب: بيّن أنّ العدد 7 هو الجذر التربيعي للعدد 49.

🔹الخطوة 1: التحقّق من الإشارة

الشرط الأول: العدد المقترح موجب، وهذا محقّق لأن 7 أكبر من 0.

7 > 0
🔹الخطوة 2: حساب المربع

الشرط الثاني: مربع العدد المقترح يساوي العدد المعطى.

7² = 49
✅النتيجة: الجذر التربيعي للعدد 49

الشرطان محقّقان معا، فالعدد 7 هو الجذر التربيعي للعدد 49.

√49 = 7
العدد 7 السالب مربعه 49 أيضا، لكنه ليس الجذر التربيعي للعدد 49 لأنه سالب. الشرط الأول هو الذي يفصل بين العددين.

طريقة 2: كيف نحسب الجذر التربيعي لمربع كامل؟

ابحث عن العدد الموجب الذي مربعه هو العدد المعطى: إن وجدته فهو الجواب المضبوط. ابدأ بجدول المربعات للأعداد الطبيعية، ثم جرّب الأعداد العشرية إن لزم الأمر.

مثال 2: حساب جذور تربيعية مضبوطة

نعتبر الأعداد الموجبة 361 و 0,01 و 2,25.

🎯المطلوب: احسب الجذر التربيعي لكل عدد من الأعداد 361 و 0,01 و 2,25.

🔹الخطوة 1: العدد 361

نبحث عن عدد موجب مربعه 361: نجرّب 19، ومربعه يساوي 361 فعلا.

19² = 361 , √361 = 19
🔹الخطوة 2: العدد 0,01

ونبحث عن عدد موجب مربعه 0,01: العدد 0,1 مربعه 0,01.

0,1² = 0,01 , √0,01 = 0,1
🔹الخطوة 3: العدد 2,25

وأخيرا العدد 2,25: مربع 1,5 يساوي 2,25.

1,5² = 2,25 , √2,25 = 1,5
✅النتيجة: الجذور الثلاثة

الأعداد الثلاثة مربعات كاملة، فجذورها مضبوطة بلا تقريب.

√361 = 19 , √0,01 = 0,1 , √2,25 = 1,5
عند العدد العشري عُدّ الأرقام بعد الفاصلة: مربع عدد له رقم واحد بعد الفاصلة يحمل رقمين، ومربع عدد له رقمان يحمل أربعة. هذا يوجّه محاولاتك.

طريقة 3: كيف نجد العددين اللذين مربع كل منهما عدد موجب معطى؟

احسب أولا الجذر التربيعي للعدد المعطى: تحصل على العدد الموجب. ثم خذ معاكسه: هما العددان المطلوبان، ولا ثالث لهما.

مثال 3: العددان المتعاكسان، وحالة العدد السالب

نعتبر العدد الموجب 144 والعدد السالب المعاكس له.

🎯المطلوب: أوجد العددين اللذين مربع كل منهما 144، ثم بيّن أنه لا يوجد عدد مربعه يساوي 144 السالب.

🔹الخطوة 1: الجذر التربيعي للعدد 144

نبحث عن العدد الموجب الذي مربعه 144: إنه 12.

√144 = 12
🔹الخطوة 2: العدد المعاكس

ونتحقّق أن معاكسه يعطي المربع نفسه.

(−12)² = 144
🔹الخطوة 3: لا وجود لعدد مربعه سالب

أما 144 السالب فلا عدد مربعه يساويه: مربع أي عدد موجب، فلا يمكن أن يكون سالبا مهما كانت إشارة العدد.

a² ≥ 0
aعدد ناطق كيفما كانت إشارته
✅النتيجة: العددان اللذان مربعهما 144

العددان المطلوبان هما 12 ومعاكسه، ولا ثالث لهما.

12² = 144 , (−12)² = 144
ميّز بين سؤالين: «ما العددان اللذان مربعهما 144؟» جوابه عددان، أما «ما الجذر التربيعي للعدد 144؟» فجوابه عدد واحد موجب.

طريقة 4: كيف نستعمل الجذر التربيعي في وضعية هندسية؟

مساحة المربع هي مربع طول ضلعه. فإذا أُعطيت المساحة وطُلب الضلع، كان الضلع هو الجذر التربيعي للمساحة — ونحتفظ بالحل الموجب وحده لأن الطول لا يكون سالبا.

مثال 4: حساب ضلع مربع من مساحته

بلاطة على شكل مربع، مساحتها 2,25 مترا مربعا.

🎯المطلوب: احسب طول ضلع هذه البلاطة.

المعطى هو المساحة وحدها؛ الضلع هو ما نبحث عنه.
🔹الخطوة 1: دستور مساحة المربع

نكتب الدستور أولا: المساحة هي جداء الضلع في نفسه، أي مربع الضلع.

S = c²
Sمساحة المربع(m²)cطول ضلع المربع(m)
🔹الخطوة 2: التعويض بالمساحة المعطاة

نعوّض المساحة بقيمتها، فنبحث الآن عن العدد الذي مربعه 2,25.

c² = 2,25
cطول ضلع المربع(m)
🔹الخطوة 3: العودة إلى الجذر التربيعي

طول الضلع عدد موجب، فهو الجذر التربيعي للمساحة: من بين العددين المتعاكسين اللذين مربعهما 2,25 نحتفظ بالموجب، لأن الطول لا يكون سالبا.

c = √2,25
cطول ضلع المربع(m)
✅النتيجة: طول ضلع البلاطة

العدد الموجب الذي مربعه 2,25 هو 1,5. ونتحقّق بالمربع: 1,5 مضروبا في نفسه يعطي 2,25، وهي المساحة المعطاة.

c = 1,5
cطول ضلع المربع(m)
تحقّق دائما من الوحدة: المساحة بالمتر المربع، والضلع بالمتر. إن خرج لك الضلع بالمتر المربع فقد نسيت أنك أخذت جذرا تربيعيا.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في سؤال حساب: «احسب ⁦√49⁩ و ⁦√361⁩»، أو في وضعية هندسية: «مربّع مساحته 25، احسب طول ضلعه». ثلاثة عناصر جاهزة: ① التعريف: الجذر التربيعي لعدد موجب a هو العدد الموجب الذي مربّعه ⁦a: (√a)² = a⁩ و ⁦√a ≥ 0⁩ ② العددان المتعاكسان: لكلّ عدد موجب عددان مربّع كلّ منهما هو ذلك العدد (⁦5² = 25⁩ و ⁦(−5)² = 25⁩)، والجذر التربيعي هو الموجب منهما وحده ③ المربّعات الكاملة: جذرها مضبوط يُقرأ مباشرة (⁦√49 = 7⁩، ⁦√2,25 = 1,5⁩)، وفي الهندسة الطول موجب فنأخذ الجذر. ⛔ والخطأ الشائع: كتابة جذر تربيعي لعدد سالب ؛ لو وُجد لكان مربّع عدد ما سالبا، ومربّع أيّ عدد موجب. وخطأ ثانٍ: كتابة ⁦√25 = −5⁩ أو ⁦±5⁩ ؛ الجذر التربيعي موجب دائما، و ⁦−5⁩ عدد مربّعه 25 وليس جذره.
خلاصة: لكل عدد موجب عددان متعاكسان مربع كل منهما هو ذلك العدد، ونسمّي الموجب منهما الجذر التربيعي للعدد ونرمز له بعلامة الجذر. الجذر التربيعي موجب دائما، ومربعه يعيد العدد نفسه. ولا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب، لأن مربع أي عدد موجب. وإذا كان العدد مربعا كاملا فجذره مضبوط ويُقرأ مباشرة، مثل جذر 49 الذي هو 7، وجذر 2,25 الذي هو 1,5.

Page 1/9

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net