خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
انشاء هندسيا زاوية علمت القيمة المضبوطة لاحدى نسبها المثلثية
- كتابة نسبة مثلّثية معطاة على شكل كسر مختزل صالح للإنشاء
- إنشاء زاوية علم جيبها أو جيب تمامها، بالمسطرة والمدور
- إنشاء زاوية علم ظلّها دون الحاجة إلى المدور
- التحقّق من صحّة الإنشاء بالحاسبة ثمّ بالمنقلة
- إنشاء زاوية قائمة، وحمل طول معلوم على نصف مستقيم
- رسم دائرة معلومة المركز ونصف القطر بالمدور
- اختزال كسر، وكتابة عدد عشري على شكل كسر
معارف — أوّل خطوة: النسبة على شكل كسر
النسبة المثلّثية عدد، وكلّ عدد يمكن كتابته على شكل كسر. وهذا الكسر هو مفتاح الإنشاء: بسطه ومقامه هما الطولان اللذان سترسمهما، بعد اختيار وحدة للطول، والسنتيمتر أنسبها.
واختزال الكسر ليس زينة: كلّما صغر العددان صغر الرسم وسهل على الورقة. أمّا إن كانت النسبة عددا عشريا فنكتبه أوّلا على شكل كسر مقامه 10 أو 100، ثمّ نختزل.
معارف — الإنشاء انطلاقا من الجيب أو من جيب التمام
في الجيب وفي جيب التمام، المقام هو الوتر. والوتر لا يمكن حمله على ضلع من ضلعي الزاوية القائمة، لأنّه يصلهما. فنحمل البسط على أحد الضلعين، ثمّ نرسم بالمدور دائرة نصف قطرها المقام، مركزها طرف الطول الذي رسمناه، فتقطع الضلع الثاني في النقطة الناقصة.
معارف — الإنشاء انطلاقا من الظلّ
في الظلّ لا يدخل الوتر أصلا: البسط والمقام هما ضلعا الزاوية القائمة. فنحمل المقام على أحد الضلعين والبسط على الآخر، ثمّ نصل بين الطرفين بالمسطرة. ولا حاجة هنا إلى المدور.
| النسبة المعلومة | ما يمثّله بسط الكسر | ما يمثّله مقام الكسر | الأداة اللازمة |
|---|---|---|---|
| الجيب | طول الضلع المقابل للزاوية | طول الوتر | المسطرة والمدور |
| جيب التمام | طول الضلع المجاور للزاوية | طول الوتر | المسطرة والمدور |
| الظلّ | طول الضلع المقابل للزاوية | طول الضلع المجاور لها | المسطرة وحدها |
معارف — التحقّق من الإنشاء
الإنشاء لا ينتهي بالرسم: نتحقّق منه مرّتين. أوّلا بالحاسبة، فنعيّن قيس الزاوية التي نسبتها هي الكسر المعطى. ثمّ بالمنقلة على الرسم نفسه، فنقيس الزاوية المنشأة ونقارن. وإذا تقارب القيسان فالإنشاء سليم.
وبعض الزوايا يُعرف قيسها دون حاسبة، فتصلح مراقبة سريعة. فالزاوية التي ظلّها يساوي 1 يتساوى فيها الضلع المقابل والضلع المجاور، فيكون المثلّث قائما ومتقايس الساقين، وزاويتاه الحادّتان متساويتان، فقيس كلّ واحدة 45 درجة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحوّل النسبة إلى كسر صالح للإنشاء؟
اكتب العدد على شكل كسر مقامه 10 أو 100 حسب عدد أرقامه بعد الفاصلة، ثمّ اختزل. وأخيرا قارن البسط بالمقام: هذه المقارنة تقول لك هل الكسر يصلح جيبا وجيب تمام، أم لا يصلح إلا ظلّا.
نسبتان معطاتان بعددين عشريّين: جيب تمام يساوي 0,6، وظلّ يساوي 2,5.
🎯المطلوب: اكتب كلّ نسبة على شكل كسر مختزل، ثمّ قل أيّ طولين ترسم في كلّ حالة.
في العدد 0,6 رقم واحد بعد الفاصلة، فنكتبه كسرا مقامه 10.
ثمّ نختزل بقسمة البسط والمقام على 2.
البسط أصغر من المقام، وهذا شرط لازم لكلّ جيب وجيب تمام: فالكسر صالح.
وفي العدد 2,5 رقم واحد بعد الفاصلة كذلك، فنكتبه كسرا مقامه 10 ثمّ نختزل على 5.
البسط هنا أكبر من المقام، فالكسر لا يصلح جيبا ولا جيب تمام، لكنّه يصلح ظلّا.
طريقة 2: كيف ننشئ زاوية علم جيب تمامها؟
ابدأ بزاوية قائمة، لأنّ النسب المثلّثية لا تُقرأ إلا في مثلّث قائم. ثمّ احمل البسط على أحد ضلعيها، وارسم بالمدور دائرة نصف قطرها المقام مركزها طرف هذا الطول: الزاوية المطلوبة هي التي عند هذا الطرف.
نريد زاوية حادّة جيب تمامها يساوي 4/5، ووحدة الطول هي السنتيمتر.
🎯المطلوب: أنشئ هذه الزاوية بالمسطرة والمدور دون منقلة، ثمّ تحقّق من إنشائك.
النسب المثلّثية لا تُعرَّف إلا في مثلّث قائم، فالخطوة الأولى هي رسم الزاوية القائمة.
البسط 4 هو طول الضلع المجاور للزاوية المطلوبة، فنحمله على أحد ضلعي الزاوية القائمة انطلاقا من A، ونسمّي طرفه B.
والمقام 5 هو طول الوتر، والوتر ينطلق من B. فنرسم بالمدور دائرة مركزها B ونصف قطرها 5 سم، فتقطع الضلع الثاني في نقطة نسمّيها C.
وفي المثلّث القائم في A، الضلع المجاور للزاوية عند B هو الطول الأوّل، والوتر هو الطول الثاني: فالنسبة هي المطلوبة بالضبط.
وللتحقّق نعود بالحاسبة من النسبة إلى الزاوية، فنجد 36,87 درجة. ثمّ نضع المنقلة على الرسم فنقرأ قيسا قريبا من 37 درجة.
طريقة 3: كيف ننشئ زاوية علم جيبها؟
الطريق هو نفسه، ولا يتغيّر إلا موضع البسط: في جيب التمام كان البسط ضلعا مجاورا للزاوية المطلوبة، وفي الجيب يصير ضلعا مقابلا لها. فالزاوية المنشأة ليست عند نفس الرأس.
نريد زاوية حادّة جيبها يساوي 2/5، ووحدة الطول هي السنتيمتر.
🎯المطلوب: أنشئ هذه الزاوية دون منقلة، ثمّ تحقّق بالحاسبة من قيسها.
نبدأ كالعادة بزاوية قائمة، ونسمّي رأسها O.
البسط 2 هو هنا طول الضلع المقابل للزاوية المطلوبة، فنحمله على أحد ضلعي الزاوية القائمة انطلاقا من O، ونسمّي طرفه A.
والمقام 5 هو طول الوتر، والوتر ينطلق من A. فنرسم بالمدور دائرة مركزها A ونصف قطرها 5 سم، فتقطع الضلع الثاني في نقطة نسمّيها B.
وفي المثلّث القائم في O، الضلع المقابل للزاوية عند B هو الطول الأوّل، والوتر هو الطول الثاني.
وبالحاسبة نعود من النسبة إلى الزاوية فنجد 23,58 درجة، أي 24 درجة بالتدوير إلى الوحدة. ثمّ نراقب بالمنقلة على الرسم.
طريقة 4: كيف ننشئ زاوية علم ظلّها؟
هنا لا وتر في النسبة، فلا حاجة إلى المدور. احمل المقام على أحد ضلعي الزاوية القائمة والبسط على الضلع الآخر، ثمّ صل بين الطرفين بالمسطرة: المثلّث يتمّ من نفسه.
نريد زاوية حادّة ظلّها يساوي 5/2، ووحدة الطول هي السنتيمتر.
🎯المطلوب: أنشئ هذه الزاوية، ثمّ بيّن لماذا لم تحتج المدور في هذا الإنشاء.
نبدأ بزاوية قائمة، ونسمّي رأسها R.
المقام 2 هو طول الضلع المجاور للزاوية المطلوبة، فنحمله على أحد الضلعين انطلاقا من R، ونسمّي طرفه S.
والبسط 5 هو طول الضلع المقابل لها، فنحمله على الضلع الثاني انطلاقا من R، ونسمّي طرفه T.
ثمّ نصل بين S و T بالمسطرة، فيتمّ المثلّث القائم في R، والزاوية المطلوبة عند S.
وبالحاسبة نجد أنّ قيسها يقارب 68,20 درجة، أي 68 درجة بالتدوير إلى الوحدة. وهي أكبر من 45 درجة، وهذا منتظر لأنّ ظلّها أكبر من 1.
Page 1/9
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net