خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
العلاقات المثلثية
- معرفة العلاقتين اللتين تربطان جيب زاوية حادّة بجيب تمامها وبظلّها
- حساب ظلّ زاوية إذا علم جيبها وجيب تمامها، دون العودة إلى المثلّث
- حساب النسب الثلاث كلّها انطلاقا من نسبة واحدة معلومة
- التحقّق من صحّة حساب بمجموع مربّعي الجيب وجيب التمام
- معرفة تعاريف الجيب وجيب التمام والظلّ في مثلّث قائم
- تطبيق خاصّية فيثاغورس، وحساب مربّع كسر
- حساب الجذر التربيعي لعدد موجب هو مربّع كامل
معارف — العلاقة الأولى: الظلّ بدلالة الجيب وجيب التمام
في مثلّث قائم، النسب الثلاث لزاوية حادّة ليست مستقلّة بعضها عن بعض. فظلّ الزاوية يساوي حاصل قسمة جيبها على جيب تمامها، مهما كانت الزاوية ومهما كان المثلّث.
وهذه العلاقة تغنيك عن العودة إلى أطوال الأضلاع: متى عرفت النسبتين الأوليين، كتبت الثالثة في سطر واحد.
معارف — العلاقة الثانية: مجموع مربّعي الجيب وجيب التمام
والعلاقة الثانية أقوى من الأولى: مجموع مربّع جيب الزاوية ومربّع جيب تمامها يساوي 1 دائما، لأيّ زاوية حادّة كانت. عدد واحد، لا يتغيّر أبدا.
والكتابة المختصرة قد توهم القارئ، فلننصّ عليها: المربّع واقع على النسبة كلّها، لا على الزاوية. فما نربّعه هو العدد الذي يمثّله الجيب، لا قيس الزاوية.
معارف — لماذا تصحّ العلاقتان؟
العلاقتان ليستا قاعدتين تُحفظان دون سبب: كلتاهما تُقرأ مباشرة على مثلّث قائم. لنأخذ مثلّثا قائما في A، ولنسمّ الزاوية الحادّة عند B.
للنسبتين المقام نفسه، وهو الوتر. فإذا قسمنا الأولى على الثانية حُذف الوتر، ولم يبق إلا الضلع المقابل على الضلع المجاور، وهو الظلّ بعينه: تلك هي العلاقة الأولى.
أمّا العلاقة الثانية فتأتي من خاصّية فيثاغورس. فمجموع مربّعي ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربّع الوتر. وإذا قسمنا طرفي هذه المساواة على مربّع الوتر صار الطرف الثاني 1، وصار الطرف الأوّل مربّع الجيب مضافا إليه مربّع جيب التمام.
معارف — من نسبة واحدة إلى النسب الثلاث
وهذا ما تسمح به العلاقتان معا: إذا علمت الجيب أو جيب التمام، استخرجت الآخر بالعلاقة الثانية، ثمّ الظلّ بالعلاقة الأولى. ولا تحتاج في ذلك إلى رسم ولا إلى طول.
ويبقى أن تختار بين جذرين، موجب وسالب. والاختيار ليس اجتهادا: النسب المثلّثية لزاوية حادّة أعداد موجبة، لأنّها نسب بين أطوال. فنأخذ الجذر الموجب وحده.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحسب الظلّ إذا علم الجيب وجيب التمام؟
اكتب العلاقة الأولى، ثمّ عوّض، ثمّ بسّط. وإذا كانت النسبتان كسرين، فقسمة كسر على كسر هي ضربه في مقلوب الثاني.
في المثلّث القائم الذي أطوال أضلاعه 1 و √3 و 2، الزاوية التي قيسها 60 درجة جيب تمامها يساوي 1/2 وجيبها يساوي √3/2.
🎯المطلوب: احسب القيمة المضبوطة لظلّ الزاوية 60 درجة، ثمّ أعط له قيمة مقرّبة إلى الجزء من 100.
العلاقة الأولى تعطي الظلّ انطلاقا من النسبتين الأخريين.
نعوّض كلّ نسبة بقيمتها المضبوطة، دون أيّ تدوير.
قسمة كسر على كسر: نضرب في مقلوب الثاني، فيُحذف المقام 2 من الكسرين.
والقيمة المضبوطة هي هذا الجذر. أمّا الحاسبة فتعطي قيمة مقرّبة له.
طريقة 2: كيف نتحقّق من أنّ عددين يصلحان جيبا وجيب تمام لزاوية واحدة؟
العلاقة الثانية هي المحكّ: ربّع العددين واجمع. إن وجدت 1 بالضبط فالزوج ممكن، وإن وجدت غير ذلك فلا توجد أيّ زاوية حادّة تحقّقهما معا، مهما بحثت.
زوجان من الأعداد الموجبة: الأوّل 1/2 و √3/2، والثاني 0,6 و 0,7.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الزوج الأوّل يصلح جيب تمام وجيبا لزاوية حادّة واحدة، ثمّ بيّن أنّ الزوج الثاني لا يصلح لذلك.
المحكّ هو العلاقة الثانية، ولا شيء غيرها.
نربّع عددي الزوج الأوّل: مربّع الكسر هو مربّع بسطه على مربّع مقامه.
للكسرين المقام نفسه، فنجمع البسطين، والمجموع يساوي 1 بالضبط: الزوج ممكن.
ثمّ نعيد العملية نفسها على الزوج الثاني.
المجموع 0,85، وهو يخالف 1: فلا توجد زاوية حادّة جيبها 0,6 وجيب تمامها 0,7 في آن واحد.
طريقة 3: كيف نجد الجيب إذا علم جيب التمام؟
اعزل مربّع الجيب في العلاقة الثانية، عوّض، ثمّ خذ الجذر الموجب. وبعدها تعطيك العلاقة الأولى الظلّ في سطر واحد.
زاوية حادّة x جيب تمامها يساوي 0,6.
🎯المطلوب: احسب القيمة المضبوطة لجيب هذه الزاوية، ثمّ استنتج القيمة المضبوطة لظلّها، وأعط له قيمة مقرّبة إلى الجزء من 100.
نبدأ من العلاقة الثانية ونعزل فيها مربّع الجيب.
نعوّض جيب التمام بقيمته، ومربّعه هو 0,36.
للعدد 0,64 جذران، لكنّ جيب زاوية حادّة عدد موجب، فنأخذ الجذر الموجب وحده.
ثمّ نستعمل العلاقة الأولى: نقسم الجيب على جيب التمام ونختزل.
وبإجراء القسمة نجد 1,3333… ثمّ ندوّر إلى الجزء من 100.
طريقة 4: كيف نملأ النسب الثلاث انطلاقا من الجيب؟
الطريق هو نفسه معكوسا: اعزل هذه المرّة مربّع جيب التمام، وعوّض، وخذ الجذر الموجب. وإذا كانت النسبة المعطاة كسرا، فاحتفظ بالكسور إلى النهاية: هي أدقّ من الأعداد العشرية.
زاوية حادّة x جيبها يساوي 8/17.
🎯المطلوب: احسب القيمة المضبوطة لجيب تمام هذه الزاوية ولظلّها، ثمّ أعط للظلّ قيمة مقرّبة إلى الجزء من 100.
نعزل هذه المرّة مربّع جيب التمام في العلاقة الثانية.
نعوّض، ومربّع الكسر هو مربّع بسطه على مربّع مقامه.
والعدد 225 مربّع 15، والعدد 289 مربّع 17، وجيب التمام موجب.
ثمّ العلاقة الأولى: نقسم الكسرين، فيُحذف المقام 17 من الاثنين.
وأخيرا نجري القسمة على الحاسبة ثمّ ندوّر إلى الجزء من 100.
ونراقب بالعلاقة الثانية: مجموع مربّعي البسطين هو 64 زائد 225، أي 289، وهو مربّع المقام بالضبط، فالمجموع يساوي 1.
Page 1/9
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net