مدرستي
Mathématiques

الأشعة والانسحاب والمعلم المعالم

قراءة إحداثيتي شعاع

🔊 La maîtresse lit pour toi
في الدرس السابق قرأت إحداثيتي شعاع مبدؤه هو المبدأ O. لكنّ أغلب الأشعة في التمارين مرسومة بعيدا عن المبدأ، ولا يمرّ أيّ منها به. فكيف نقرأ إحداثيتي شعاع مرسوم في معلم مهما كان موضع مبدئه؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • قراءة إحداثيتي شعاع بالإزاحتين المتتاليتين اللتين تنقلان من مبدئه إلى نهايته
  • تحديد إشارة كلّ إحداثية حسب جهة الإزاحة الموافقة لها
  • التعرّف على شعاع يوازي أحد المحورين من خلال إحداثية معدومة
  • كتابة إحداثيتي الشعاع المعاكس انطلاقا من إحداثيتي الشعاع الأوّل
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • قراءة إحداثيتي نقطة في معلم متعامد مدرّج
  • معنى الشعاع المعدوم ومعنى شعاعين متعاكسين
  • جمع الأعداد النسبية وطرحها
لا تقس بالمسطرة في هذا الدرس: عدّ المربّعات. الإحداثيتان تُقرآن بالعدّ، والقياس بالسنتيمتر يعطي طول الشعاع لا إحداثيتيه.

معارف — القراءة بإزاحتين متتاليتين

لقراءة إحداثيتي شعاع، ننتقل من مبدئه إلى نهايته في إزاحتين متتاليتين، لا في خطّ واحد مائل. الإزاحة الأولى تكون بموازاة محور الفواصل، والإزاحة الثانية بموازاة محور التراتيب.

إحداثيتا شعاع

العدد الأوّل يقيس ما قطعناه أفقيّا، والعدد الثاني ما قطعناه عموديّا: معا يصفان الانتقال كلّه.

u(x ; y)
uالشعاع المدروسxالإزاحة الأولى، بموازاة محور الفواصلyالإزاحة الثانية، بموازاة محور التراتيب
الطريق المتقطّع والسهم ينتهيان في النقطة نفسها: هذا هو معنى الإحداثيتين.

معارف — إشارة كلّ إحداثية

العدد وحده لا يكفي: لا بدّ من إشارته. الإحداثية الأولى تكون موجبة عندما ننتقل نحو اليمين وسالبة عندما ننتقل نحو اليسار، والإحداثية الثانية تكون موجبة عندما نصعد وسالبة عندما ننزل.

قاعدة الإشارات
جهة الإزاحةالإحداثية الموافقة
نحو اليمين، بموازاة محور الفواصلالإحداثية الأولى موجبة
نحو اليسار، بموازاة محور الفواصلالإحداثية الأولى سالبة
نحو الأعلى، بموازاة محور التراتيبالإحداثية الثانية موجبة
نحو الأسفل، بموازاة محور التراتيبالإحداثية الثانية سالبة
الجهة تعطي الإشارة، والعدّ يعطي القيمة: لا تفصل بينهما أبدا.
اكتب الإشارة قبل أن تعدّ المربّعات: إن نظرت إلى الجهة أوّلا لم تنس السالب، وهو أكثر ما يضيع من العلامات في هذا الدرس.

معارف — شعاع يوازي أحد المحورين

قد تنعدم إحدى الإزاحتين. فإذا كان مبدأ الشعاع ونهايته على نفس الارتفاع، فلا صعود ولا نزول: الإحداثية الثانية معدومة والشعاع يوازي محور الفواصل. وإذا كانا على نفس الفاصلة، فالإحداثية الأولى معدومة والشعاع يوازي محور التراتيب.

شعاع يوازي محور الفواصل
u(x ; 0)
شعاع يوازي محور التراتيب
u(0 ; y)
الشعاع المعدوم

لا إزاحة أفقية ولا إزاحة عمودية: المبدأ والنهاية نقطة واحدة.

0(0 ; 0)
الصفر في الإحداثيتين يخبرك بشيء عن الاتجاه قبل أن ترسم: صفر في المرتبة الثانية يعني شعاعا أفقيّا، وصفر في المرتبة الأولى يعني شعاعا عموديّا.
الإحداثية المعدومة تُكتب صراحة ولا تُحذف: للشعاع إحداثيتان دائما، ولو كانت إحداهما 0. فكتابة ⁦u(5)⁩ ليست كتابة شعاع، والصواب ⁦u(5 ; 0)⁩.

معارف — إحداثيتا الشعاع المعاكس

إذا عدنا من النهاية إلى المبدأ، سلكنا الطريق نفسه في الجهة المقابلة: الإزاحة الأفقية تصير نحو الجهة الأخرى، وكذلك الإزاحة العمودية. القيمتان لا تتغيّران، وإنّما تتغيّر الإشارتان.

إحداثيتا معاكس الشعاع AB

الشعاعان AB و BA متعاكسان، ومجموع إحداثيتيهما يعطي الزوج ⁦(0 ; 0)⁩، أي إحداثيتي الشعاع المعدوم.

BA(−x ; −y)
xالإحداثية الأولى للشعاع AByالإحداثية الثانية للشعاع AB

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نقرأ إحداثيتي شعاع مرسوم؟

ضع إصبعك على مبدأ الشعاع. تحرّك أفقيّا حتّى تصير تحت نهايته أو فوقها مباشرة، وعدّ المربّعات: تلك هي الإحداثية الأولى. ثمّ تحرّك عموديّا حتّى تصل إلى النهاية، وعدّ: تلك هي الإحداثية الثانية.

مثال 1: قراءة شعاع يصعد نحو اليمين

في معلم متعامد مدرّج، رسم الشعاع AB كما في الشكل المقابل.

🎯المطلوب: اقرأ إحداثيتي الشعاع AB باستعمال الإزاحتين المتتاليتين.

السهم وحده معطى: أمّا الإزاحتان فنحن من يرسمهما لقراءة الإحداثيتين.
🔹الخطوة 1: الإزاحة الأولى

ننطلق من A ونمشي بموازاة محور الفواصل حتّى نصير تحت B مباشرة: من الفاصلة ⁦−2⁩ إلى الفاصلة 3، أي 5 وحدات نحو اليمين، واليمين يعطي إشارة موجبة.

x = 5
Aمبدأ الشعاعBنهاية الشعاع
🔹الخطوة 2: الإزاحة الثانية

ثمّ نصعد بموازاة محور التراتيب حتّى نصل إلى B: من الترتيب 1 إلى الترتيب 3، أي 2 وحدتان نحو الأعلى، والصعود يعطي إشارة موجبة.

y = 2
✅النتيجة: إحداثيتا الشعاع AB

نكتب العددين بين قوسين: الإزاحة الأفقية أوّلا ثمّ الإزاحة العمودية.

AB(5 ; 2)
تحقّق من جوابك بالطريق المعكوس: انطلق من A، تقدّم بالإحداثية الأولى ثمّ بالثانية، فإن لم تصل إلى B تماما فأحد العددين خاطئ.

طريقة 2: كيف نتعامل مع شعاع ينزل أو يتّجه نحو اليسار؟

لا تتغيّر الطريقة، وإنّما تتغيّر الإشارتان. اقرأ الجهة أوّلا فتكتب الإشارة، ثمّ عدّ المربّعات فتكتب العدد. ولا تكتب أبدا عددا بلا إشارة عندما تكون الجهة نحو اليسار أو نحو الأسفل.

مثال 2: قراءة شعاع ينزل نحو اليسار

في معلم متعامد مدرّج، رسم الشعاع CD كما في الشكل المقابل.

🎯المطلوب: اكتب إحداثيتي الشعاع CD، وبيّن إشارة كلّ واحدة منهما.

السهم يتّجه نحو الأسفل واليسار: الإشارتان تُقرآن قبل العدّ.
🔹الخطوة 1: الإزاحة الأولى

ننطلق من C نحو اليسار حتّى نصير فوق D مباشرة: من الفاصلة 4 إلى الفاصلة 1، أي 3 وحدات، واليسار يعطي إشارة سالبة.

x = −3
Cمبدأ الشعاع الثانيDنهاية الشعاع الثاني
🔹الخطوة 2: الإزاحة الثانية

ثمّ ننزل حتّى نصل إلى D: من الترتيب 2 إلى الترتيب ⁦−2⁩، أي 4 وحدات، والنزول يعطي إشارة سالبة.

y = −4
✅النتيجة: إحداثيتا الشعاع CD

الإحداثيتان سالبتان معا، وهذا يوافق سهما يتّجه نحو الأسفل واليسار.

CD(−3 ; −4)
الإشارتان معا تصفان جهة السهم: (سالب ; سالب) يعني أسفل اليسار، و(موجب ; سالب) يعني أسفل اليمين. تعوّد على هذه القراءة السريعة، فهي تكشف الخطأ فورا.

طريقة 3: كيف نتعرّف على شعاع يوازي أحد المحورين؟

قارن إحداثيتي المبدأ والنهاية قبل أن ترسم أيّ شيء: إن تساوى الترتيبان فالإزاحة الثانية معدومة، وإن تساوت الفاصلتان فالإزاحة الأولى معدومة.

مثال 3: شعاع إحداثيته الثانية معدومة

في معلم متعامد، لدينا النقطتان ⁦E(−3 ; −1)⁩ و ⁦F(2 ; −1)⁩.

🎯المطلوب: اكتب إحداثيتي الشعاع EF، ثمّ استنتج وضعيته بالنسبة إلى محور الفواصل.

🔹الخطوة 1: الإزاحة الأولى

ننتقل أفقيّا من الفاصلة ⁦−3⁩ إلى الفاصلة 2: 5 وحدات نحو اليمين، فالإحداثية الأولى موجبة.

x = 5
Eمبدأ الشعاعFنهايته، ولها نفس الترتيب
🔹الخطوة 2: الإزاحة الثانية

للنقطتين نفس الترتيب ⁦−1⁩، فلا نصعد ولا ننزل: الإزاحة الثانية معدومة.

y = 0
✅النتيجة: إحداثيتا الشعاع EF

الإحداثية الثانية معدومة، فالشعاع أفقيّ: يوازي محور الفواصل.

EF(5 ; 0)
قبل أن ترسم، انظر إلى الترتيبين: إن تساويا فالشعاع أفقيّ، وقد وفّرت على نفسك نصف العمل.

طريقة 4: كيف نكتب إحداثيتي الشعاع المعاكس؟

ارجع من النهاية إلى المبدأ: الطريق هو نفسه، والجهتان معكوستان. فتحتفظ كلّ إحداثية بقيمتها وتغيّر إشارتها.

مثال 4: إحداثيتا الشعاع المعاكس

لدينا الشعاع ⁦u(−3 ; −4)⁩ في معلم متعامد.

🎯المطلوب: اكتب إحداثيتي الشعاع المعاكس ⁦−u⁩، ثمّ تحقّق من جوابك بالمجموع.

🔹الخطوة 1: الإحداثية الأولى للمعاكس

الإزاحة الأولى كانت 3 وحدات نحو اليسار، فتصير في الطريق المعكوس 3 وحدات نحو اليمين: تتغيّر الإشارة وحدها.

−(−3) = 3
🔹الخطوة 2: الإحداثية الثانية للمعاكس

وكذلك الإزاحة الثانية: 4 وحدات نحو الأسفل تصير 4 وحدات نحو الأعلى.

−(−4) = 4
🔹الخطوة 3: التحقّق بالمجموع

نجمع الشعاع ومعاكسه إحداثية بإحداثية، فنجد الشعاع المعدوم: هذا هو التحقّق.

−3 + 3 = 0 , −4 + 4 = 0
✅النتيجة: إحداثيتا المعاكس
−u(3 ; 4)
إذا كان u هو الشعاع CD، فمعاكسه هو DC: قلب الحرفين في الكتابة يوافق قلب الإشارتين في الإحداثيتين. الفكرة واحدة، والكتابتان اثنتان.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في سؤال على معلم مرسوم: «اقرأ إحداثيتي الشعاع u»، أو «استنتج إحداثيتي الشعاع المعاكس». ثلاثة عناصر جاهزة: ① القراءة بإزاحتين: من مبدأ الشعاع إلى نهايته، أوّلا بموازاة محور الفواصل ثمّ بموازاة محور التراتيب ② الإشارة من الجهة: موجبة نحو اليمين ونحو الأعلى، وسالبة نحو اليسار ونحو الأسفل ③ الحالات الخاصّة: ⁦u(x ; 0)⁩ يوازي محور الفواصل، و ⁦u(0 ; y)⁩ يوازي محور التراتيب، و ⁦0(0 ; 0)⁩ هو الشعاع المعدوم ؛ والمعاكس يحتفظ بالقيمتين ويقلب الإشارتين: ⁦BA(−x ; −y)⁩. ⛔ والخطأ الشائع: حذف الإحداثية المعدومة ؛ للشعاع إحداثيتان دائما، فكتابة ⁦u(5)⁩ ليست كتابة شعاع، والصواب ⁦u(5 ; 0)⁩. وخطأ ثانٍ: نسيان الإشارة السالبة لشعاع ينزل أو يتّجه نحو اليسار.
خلاصة: تُقرأ إحداثيتا شعاع بإزاحتين متتاليتين تنقلان من مبدئه إلى نهايته: الأولى بموازاة محور الفواصل والثانية بموازاة محور التراتيب. والإشارة تأتي من الجهة: موجب نحو اليمين وموجب نحو الأعلى، سالب نحو اليسار وسالب نحو الأسفل. وإذا انعدمت الإحداثية الثانية كان الشعاع موازيا لمحور الفواصل، وإذا انعدمت الأولى كان موازيا لمحور التراتيب، وإذا انعدمتا معا فهو الشعاع المعدوم. وأمّا الشعاع المعاكس فيحتفظ بالقيمتين ويقلب الإشارتين.

Page 1/9

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net