مدرستي
Mathématiques

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الدالة الخطية — تطبيقات التناسبية — الدالة التآلفية

الدالة التألفية

🔊 La maîtresse lit pour toi
سيّارة أجرة تطلب مبلغا ثابتا بمجرّد الصعود، ثمّ تضيف مبلغا آخر عن كلّ كيلومتر مقطوع. الثمن إذن ليس جداء بسيطا في المسافة: هناك عدد يُضاف دائما. فكيف نكتب علاقة فيها جداء وحدّ ثابت معا، وكيف يكون شكلها في معلم؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على دالة تآلفية وتعيين معامليها
  • حساب صورة عدد بدالة تآلفية
  • إنشاء التمثيل البياني لدالة تآلفية وقراءة معامليها عليه
  • التمييز بين الدالة التآلفية والخطية والثابتة والمنعدمة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الدالة الخطية ومعاملها وتمثيلها البياني
  • تعليم نقطة وقراءة إحداثيّيها في معلم متعامد ومتجانس
  • حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
الدالة التآلفية ليست درسا جديدا كلّيا: إنّها الدالة الخطية وقد أُضيف إليها عدد ثابت. كلّ ما تعرفه عن الدالة الخطية يبقى صالحا، ويكفي أن تتتبّع ما يفعله هذا العدد الزائد.

معارف — تعريف الدالة التآلفية وصورة عدد

ليكن a و b عددين ثابتين. عندما نرفق كلّ عدد x بالعدد ⁦ax + b⁩ نكون قد عرّفنا دالة تآلفية. والعدد ⁦ax + b⁩ هو صورة العدد x بهذه الدالة.

كتابتان لنفس الدالة التآلفية

العددان a و b ثابتان لا يتغيّران، و x وحده هو المتغيّر: هذا ما يجعل العلاقة دالة واحدة تصلح لكلّ الأعداد.

f(x) = ax + b ; f : x ⟶ ax + b
fاسم الدالة التآلفيةxالعدد الذي نطبّق عليه الدالةaالمعامل الأوّل، وهو الذي يُضرب في xbالمعامل الثاني، وهو العدد الثابت الذي يُضاف

والدالة الخطية ليست شيئا آخر: إنّها دالة تآلفية عددها الثابت معدوم. فكلّ ما تعلّمته عن الدالة الخطية هو حالة خاصّة ممّا تتعلّمه الآن.

الدالة الخطية حالة خاصّة من الدالة التآلفية
b = 0 ⟹ f(x) = ax

معارف — التمثيل البياني لدالة تآلفية

التمثيل البياني لدالة تآلفية في معلم متعامد ومتجانس هو مستقيم، ومعادلة هذا المستقيم هي نفسها صيغة الدالة مكتوبة بالترتيبة. وهو لا يمرّ من مبدأ المعلم إلاّ إذا كان العدد الثابت معدوما.

معادلة المستقيم الممثّل للدالة التآلفية
y = ax + b
yترتيبة نقطة من المستقيم، وهي صورة فاصلتها

ولكلّ من العددين اسم يقول دوره. العدد الذي يُضرب في x يسمّى معامل التوجيه: هو الذي يقرّر ميل المستقيم، أي كم ترتفع الترتيبة أو تنخفض كلّما تقدّمنا بوحدة واحدة على محور الفواصل. والعدد الثابت يسمّى الترتيب إلى المبدأ: هو ترتيبة النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور التراتيب.

الترتيب إلى المبدأ هو صورة العدد 0

نعوّض x بالعدد 0 في الصيغة فيختفي الحدّ الأوّل، ولا يبقى إلاّ العدد الثابت b.

f(0)=a × 0 + b=b
📌المعطى: جدول قيم مستقيم معامل توجيهه 2 وترتيبه إلى المبدأ 1
xy
01
13
الترتيب إلى المبدأ يُقرأ عند تقاطع المستقيم مع محور التراتيب، ومعامل التوجيه يُقرأ على الدرج: تقدّم بوحدة، وانظر كم صعدت.

معارف — تعيين دالة تآلفية

تعيين دالة تآلفية هو إيجاد عدديها الثابتين. ولمّا كانا اثنين، احتجنا إلى معلومتين: عددان وصورتاهما، أو نقطتان من المستقيم. وهذا هو الفرق مع الدالة الخطية التي كان يكفيها عدد واحد وصورته.

معامل التوجيه انطلاقا من عددين وصورتيهما

نطرح الصيغتين إحداهما من الأخرى فيختفي العدد الثابت، ولا يبقى إلاّ معامل التوجيه مضروبا في فرق العددين؛ ثمّ نقسم على هذا الفرق، وهو غير معدوم لأنّ العددين مختلفان.

a=f(x₁) − f(x₂)x₁ − x₂
x₁العدد الأوّل الذي نعرف صورتهx₂العدد الثاني الذي نعرف صورته، ويخالف الأوّل
الترتيب إلى المبدأ بعد إيجاد معامل التوجيه

صار معامل التوجيه معلوما، فنعوّض به وبأحد العددين وصورته في الصيغة العامّة، ولا يبقى مجهولا إلاّ العدد الثابت.

f(x₁) = ax₁ + b ⟹ b = f(x₁) − ax₁
لا تخلط بين العددين: معامل التوجيه يُحسب من عددين وصورتيهما، أمّا الترتيب إلى المبدأ فهو صورة العدد 0 وحده. الأوّل يقول كم يميل المستقيم، والثاني يقول أين يقطع محور التراتيب، ولا ينوب أحدهما عن الآخر.
العددان لا يُطرحان كيفما اتّفق: احترم الترتيب نفسه في البسط وفي المقام. إن بدأت بالصورة الثانية في البسط فابدأ بالعدد الثاني في المقام، وإلاّ انقلبت إشارة المعامل.

معارف — دالتان خاصّتان: الثابتة والمنعدمة

إذا كان معامل التوجيه معدوما لم يبق في الصيغة إلاّ العدد الثابت: تصير الدالة ترفق كلّ عدد بالعدد نفسه دائما، وتسمّى دالة ثابتة. وتمثيلها البياني مستقيم أفقي.

الدالة الثابتة
a = 0 ⟹ f : x ⟶ b

وإذا انعدم العددان معا فكلّ الصور معدومة، وتسمّى الدالة عندئذ الدالة المنعدمة. وتمثيلها البياني هو محور الفواصل نفسه.

الدالة المنعدمة
a = 0 ; b = 0 ⟹ f : x ⟶ 0
الدالة الثابتة ليست بلا فائدة: إنّها ما يُنمذج به كلّ مبلغ لا يتغيّر مهما تغيّرت الكمّية، مثل مبلغ الاشتراك وحده دون استهلاك. ولا تخلط بينها وبين الدالة المنعدمة: هذه الأخيرة ثابتة كذلك، لكنّ ثابتها معدوم.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نحسب صورة عدد بدالة تآلفية؟

عوّض ثمّ اضرب ثمّ اجمع، بهذا الترتيب. والخطأ الشائع هو جمع العدد الثابت قبل إتمام الجداء، فراقب أولويّة العمليات.

مثال 1: حساب صور أعداد بدالة تآلفية

نعتبر الدالة التآلفية f التي معامل توجيهها 2 وترتيبها إلى المبدأ ⁦−3⁩.

🎯المطلوب: عيّن صور الأعداد 0 و ⁦−5⁩ والكسر الذي بسطه 1 ومقامه 2 بالدالة f.

📌المعطى: الدالة f

نكتب الصيغة انطلاقا من المعاملين.

f(x) = 2x − 3
🔹الخطوة 1: صورة العدد 0

نعوّض x بالعدد 0: الجداء يصير معدوما فلا يبقى إلاّ العدد الثابت.

f(0)=2 × 0 − 3=−3
🔹الخطوة 2: الجداء في الصورة الثانية

نعوّض x بالعدد ⁦−5⁩، ونتمّ الجداء أوّلا قبل الطرح.

2 × (−5) = −10
🔹الخطوة 3: صورة العدد ⁦−5⁩

ثمّ نطرح العدد الثابت من الجداء الذي وجدناه.

f(−5)=−10 − 3=−13
🔹الخطوة 4: الجداء في الصورة الثالثة

نعوّض x بالكسر: جداء 2 في نصف الوحدة يساوي وحدة واحدة.

2 × (12) = 1
🔹الخطوة 5: صورة الكسر

ثمّ نطرح العدد الثابت.

f(12)=1 − 3=−2
✅النتيجة: الصور الثلاث

ثلاث صور محسوبة بالصيغة نفسها، والعدد الثابت حاضر في كلّ واحدة منها.

f(0) = −3 ; f(−5) = −13 ; f(12) = −2
راقب الإشارة قبل الطرح: جداء 2 في العدد ⁦−5⁩ يساوي ⁦−10⁩، لا ⁦−5⁩. ولاحظ كذلك أنّ صورة العدد 0 هي الترتيب إلى المبدأ نفسه. هذه ليست مصادفة: إنّها قاعدة تنفعك في كلّ تمرين، وتسمح لك بالتحقّق من صيغتك في ثانية واحدة.

طريقة 2: كيف نُنشئ التمثيل البياني لدالة تآلفية؟

المستقيم يُعيَّن بنقطتين. فاختر عددين بسيطين، أحدهما 0 لأنّ صورته هي العدد الثابت مباشرة، واحسب صورتيهما، ثمّ ضع المسطرة على النقطتين.

مثال 2: إنشاء التمثيل البياني لدالة تآلفية

نعتبر الدالة التآلفية f التي معامل توجيهها ⁦−2⁩ وترتيبها إلى المبدأ 3.

🎯المطلوب: أنشئ التمثيل البياني للدالة f في معلم متعامد ومتجانس.

📌المعطى: الدالة f

نكتب الصيغة انطلاقا من المعاملين.

f(x) = −2x + 3
🔹الخطوة 1: صورة العدد 0

نبدأ بالعدد 0 لأنّ صورته هي الترتيب إلى المبدأ.

f(0) = 3
🔹الخطوة 2: النقطة الأولى

نكتب النقطة الأولى: فاصلتها العدد وترتيبتها صورته.

A(0 ; 3)
🔹الخطوة 3: صورة العدد 2

نأخذ عددا ثانيا بسيطا هو 2، ونتمّ الجداء قبل الجمع.

f(2)=−2 × 2 + 3=−1
🔹الخطوة 4: النقطة الثانية

نكتب النقطة الثانية بالطريقة نفسها.

B(2 ; −1)
✅النتيجة: معادلة المستقيم الممثّل للدالة f

نضع المسطرة على النقطتين ونمدّ المستقيم من الطرفين: هذا هو التمثيل البياني.

y = −2x + 3
ابتعد بالنقطتين إحداهما عن الأخرى قدر ما تسمح به الورقة: نقطتان متقاربتان تجعلان أصغر خطأ في التعليم يقلب ميل المستقيم كلّه.

طريقة 3: كيف نعيّن دالة تآلفية من صورتي عددين؟

احسب معامل التوجيه أوّلا بقسمة فرق الصورتين على فرق العددين، ثمّ عوّض بأحد العددين وصورته لإيجاد العدد الثابت. لا تحاول إيجادهما معا في خطوة واحدة.

مثال 3: تعيين دالة تآلفية من صورتي عددين

نعلم أنّ g دالة تآلفية، وأنّ صورة العدد 2 بها هي 3، وصورة العدد 3 بها هي ⁦−1⁩.

🎯المطلوب: عيّن الدالة g، أي احسب معامليها ثمّ اكتب صيغتها.

📌المعطى: صورتا العددين

نكتب المعطى بلغة الصور.

g(2) = 3 ; g(3) = −1
🔹الخطوة 1: الصيغة العامّة لدالة تآلفية

نكتب الصيغة العامّة قبل أيّ حساب.

g(x) = ax + b
🔹الخطوة 2: دستور معامل التوجيه

نطبّق دستور معامل التوجيه، مع احترام ترتيب العددين في البسط والمقام.

a=g(3) − g(2)3 − 2
🔹الخطوة 3: حساب معامل التوجيه

نعوّض بالصورتين وبالعددين.

a=−1 − 33 − 2=−4
🔹الخطوة 4: معادلة العدد الثابت

نعوّض بمعامل التوجيه وبالعدد 2 وصورته في الصيغة العامّة.

−4 × 2 + b = 3
🔹الخطوة 5: قيمة العدد الثابت

ننقل الجداء إلى الطرف الآخر: العدد الثابت هو الصورة مطروحا منها الجداء.

b=3 − (−8)=11
✅النتيجة: صيغة الدالة g

نعيد كتابة الصيغة بالمعاملين، ونتحقّق منها على المعطى الثاني.

g(x) = −4x + 11
تحقّق دائما على المعطى الذي لم تستعمله في الحساب: هنا استُعمل العدد 2، فتحقّق بالعدد 3. التحقّق على المعطى المستعمل لا يكشف شيئا.

طريقة 4: كيف نقرأ معاملي دالة تآلفية على تمثيلها البياني؟

اقرأ الترتيب إلى المبدأ حيث يقطع المستقيم محور التراتيب. ثمّ اختر نقطة ثانية إحداثياها عددان صحيحان، وطبّق دستور معامل التوجيه على النقطتين.

مثال 4: قراءة معاملي دالة تآلفية على الرسم

مستقيم رُسم في معلم متعامد ومتجانس، وهو التمثيل البياني لدالة تآلفية f. النقطتان A و B منه، وإحداثياتهما أعداد صحيحة.

🎯المطلوب: عيّن معاملي الدالة f انطلاقا من الرسم، ثمّ اكتب صيغتها.

📌المعطى: إحداثيات النقطتين

نقرأ إحداثيات النقطتين المعلَّمتين على الرسم.

A(0 ; −2) ; B(4 ; 1)
🔹الخطوة 1: الترتيب إلى المبدأ

فاصلة النقطة A معدومة، فترتيبتها هي الترتيب إلى المبدأ مباشرة.

b = −2
🔹الخطوة 2: دستور معامل التوجيه

نطبّق دستور معامل التوجيه على النقطتين، بالترتيب نفسه في البسط والمقام.

a=1 − (−2)4 − 0
🔹الخطوة 3: قيمة معامل التوجيه

نتمّ الطرح في البسط وفي المقام، والكسر الناتج غير قابل للاختزال.

a = 34
✅النتيجة: صيغة الدالة f

نعوّض بالمعاملين في الصيغة العامّة.

f(x) = (34)x − 2
الترتيب إلى المبدأ يُقرأ ولا يُحسب: إنّه ترتيبة نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب. من يحسبه بالدستور يضيّع وقتا ويخاطر بخطأ في غير محلّه.

طريقة 5: كيف نميّز الدالة التآلفية من الخطية والثابتة والمنعدمة؟

انظر إلى العددين الثابتين. إن انعدم الثاني فالدالة خطية؛ وإن انعدم الأوّل فالدالة ثابتة؛ وإن انعدما معا فهي المنعدمة. وفي كلّ الحالات تبقى الدالة تآلفية.

مثال 5: تصنيف أربع دوال تآلفية

نعتبر أربع دوال تآلفية معرّفة بصيغها، وهي f و g و h و k.

🎯المطلوب: حدّد لكلّ دالة معامليها، ثمّ بيّن أيّها خطية وأيّها ثابتة وأيّها منعدمة.

📌المعطى: الدوال الأربع

نكتب الصيغ الأربع كما هي.

f(x) = 3x − 4 ; g(x) = 7 ; h(x) = −x ; k(x) = 0
🔹الخطوة 1: معاملا الدالة f

العددان غير معدومين، فالدالة تآلفية دون أن تكون شيئا آخر.

a = 3 ; b = −4
🔹الخطوة 2: معاملا الدالة g

لا يظهر x في الصيغة، فمعامل التوجيه معدوم والدالة ثابتة.

a = 0 ; b = 7
🔹الخطوة 3: معاملا الدالة h

لا يوجد حدّ ثابت، فالعدد الثاني معدوم والدالة خطية.

a = −1 ; b = 0
🔹الخطوة 4: معاملا الدالة k

العددان معدومان معا، فكلّ الصور معدومة.

a = 0 ; b = 0
✅النتيجة: معاملا كلّ دالة من الدوال الأربع

الدالة h خطية لأنّ عددها الثابت معدوم، والدالة g ثابتة لأنّ معامل توجيهها معدوم، والدالة k منعدمة لأنّ العددين معدومان معا. وأربعتها تآلفية.

f : a = 3 , b = −4 ; g : a = 0 , b = 7 ; h : a = −1 , b = 0 ; k : a = 0 , b = 0
لا تقل أبدا إنّ دالة خطية ليست تآلفية: التآلفية هي الصنف الواسع، والخطية والثابتة والمنعدمة حالات خاصّة داخله. هذا الترتيب يُسأل عنه كثيرا.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في أسئلة من نوع: «عيّن الدالة التآلفية f انطلاقا من صورتي عددين»، و«مثّلها بيانيّا»، وقد يأتي في وضعية تسعيرة فيها مبلغ ثابت ومبلغ عن كلّ وحدة. ثلاثة عناصر جاهزة: ① الشكل: ⁦f(x) = ax + b⁩، وتمثيلها مستقيم معادلته ⁦y = ax + b⁩ ② التعيين من عددين وصورتيهما: ⁦a = (f(x₁) − f(x₂))/(x₁ − x₂)⁩، ثمّ ⁦b = f(x₁) − a × x₁⁩ ③ الحالات الخاصّة: ⁦b = 0⁩ ⟸ خطيّة، و ⁦a = 0⁩ ⟸ ثابتة، وانعدامهما معا ⟸ منعدمة. ⛔ والخطأ الشائع: الخلط بين معامل التوجيه a والترتيب إلى المبدأ b ؛ الأوّل يُحسب من عددين وصورتيهما ويقرّر ميل المستقيم، والثاني صورة العدد 0 وحده، أي ترتيبة نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب. وخطأ ثانٍ: عكس ترتيب الطرح في البسط دون المقام عند حساب a.
خلاصة: الدالة التآلفية ترفق كلّ عدد x بالعدد ⁦ax + b⁩، حيث a و b عددان ثابتان، وتُكتب ⁦f(x) = ax + b⁩. تمثيلها البياني مستقيم معادلته ⁦y = ax + b⁩: العدد a هو معامل التوجيه ويقرّر ميل المستقيم، والعدد b هو الترتيب إلى المبدأ وهو صورة العدد 0 وترتيبة نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب. ولتعيين دالة تآلفية نحتاج إلى عددين وصورتيهما: نحسب معامل التوجيه بقسمة فرق الصورتين على فرق العددين، ثمّ نستنتج العدد الثابت بالتعويض. وإذا انعدم b كانت الدالة خطية، وإذا انعدم a كانت ثابتة، وإذا انعدما معا كانت منعدمة.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net