جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الدالة الخطية — تطبيقات التناسبية — الدالة التآلفية
الحل البياني لجملة معادلتين
- كتابة معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين على شكل معادلة مستقيم
- تعيين نقطتين من كلّ مستقيم يمثّل معادلة من الجملة
- قراءة حلّ جملة معادلتين على الرسم
- التحقّق جبريا من الثنائية المقروءة على الرسم
- الدالة التآلفية وتمثيلها البياني بمستقيم معادلته معلومة
- حلّ جملة معادلتين جبريا بالتعويض أو بالجمع
- تعليم نقطة وقراءة إحداثيّيها في معلم متعامد ومتجانس
معارف — كلّ معادلة من الجملة هي معادلة مستقيم
خذ معادلة واحدة من الجملة واعزل فيها y: تصير مكتوبة ترتيبةً بدلالة فاصلة، أي على صورة معادلة مستقيم. وقد رأيت في درس الدالة التآلفية أنّ كلّ علاقة من هذا الشكل تُمثَّل بمستقيم. إذن لكلّ معادلة من الجملة مستقيمها.
ننقل الحدّ الذي يحتوي x إلى الطرف الآخر ثمّ نقسم الطرفين على معامل y؛ وهذا ممكن ما دام هذا المعامل غير معدوم.
ونقطة تنتمي إلى هذا المستقيم معناها بالضبط أنّ إحداثيّيها يحقّقان المعادلة. فالمستقيم ليس زينة: إنّه مجموعة كلّ الثنائيات التي تحقّق المعادلة، مرسومة.
معارف — الحلّ هو نقطة تقاطع المستقيمين
للجملة معادلتان، فلها مستقيمان. والثنائية التي تحقّق المعادلتين في آن واحد هي إذن نقطة تنتمي إلى المستقيمين في آن واحد: أي نقطة تقاطعهما. هذا كلّ التفسير البياني، ومنه يأتي اسم الطريقة.
النقطة تنتمي إلى المستقيم الأوّل فإحداثياها يحقّقان المعادلة الأولى، وتنتمي إلى الثاني فيحقّقان المعادلة الثانية: هذا هو تعريف حلّ الجملة نفسه.
معارف — القراءة البيانية تُؤكَّد دائما بالحساب
الرسم يُري أين يقع الحلّ، لكنّه لا يعطي دائما قيمته المضبوطة: إن وقعت نقطة التقاطع بين تدريجين، فكلّ ما تقرأه قيمة تقريبية. ولهذا لا تُكتب ثنائية مقروءة على الرسم قبل أن تُعوَّض في المعادلتين.
نعوّض بالفاصلة والترتيبة المقروءتين في المعادلتين: إن تحقّقت المساواتان معا فالقراءة مضبوطة، وإن خابت واحدة منهما فالقراءة تقريبية والحلّ يُطلب بالحساب.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحوّل معادلات الجملة إلى مستقيمين؟
اعزل y في كلّ معادلة على حدة، ثمّ احسب ترتيبتي فاصلتين بسيطتين لكلّ مستقيم. نقطتان تكفيان لرسم مستقيم، واختيار فاصلة تعطي ترتيبة صحيحة يجنّبك التقريب.
نعتبر جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هما x و y، ونسمّي المستقيم الممثّل للمعادلة الأولى (D) والمستقيم الممثّل للمعادلة الثانية (E).
🎯المطلوب: اكتب y بدلالة x في كلّ من المعادلتين، ثمّ عيّن نقطتين من كلّ مستقيم.
نرقّم المعادلتين قبل كلّ شيء.
ننقل الحدّ الذي يحتوي x إلى الطرف الآخر ونغيّر إشارته.
نقسم الطرفين على −2، فتنقلب إشارتا الطرف الأيمن.
نعوّض بالفاصلة 0 في معادلة المستقيم (D).
نعوّض بالفاصلة 2، وقد اخترناها لأنّها تعطي ترتيبة صحيحة.
ننتقل إلى المعادلة (2): معامل y فيها يساوي 1، فيكفي نقل الحدّ الآخر.
نعوّض بالفاصلة 5 في معادلة المستقيم (E).
ثمّ بالفاصلة 3.
صار لكلّ مستقيم نقطتان، وهذا كلّ ما يلزم لرسمه.
طريقة 2: كيف نقرأ حلّ الجملة على الرسم ونتحقّق منه؟
اقرأ فاصلة نقطة التقاطع على المحور الأفقي وترتيبتها على المحور العمودي، ثمّ عوّض بالعددين في المعادلتين. القراءة تقترح، والتعويض يحكم.
المستقيمان (D) و (E) الممثّلان لمعادلتي الجملة السابقة رُسما في معلم متعامد ومتجانس واحد، ويتقاطعان في نقطة واحدة.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيي نقطة تقاطع المستقيمين، ثمّ تحقّق من أنّ الثنائية المقروءة حلّ للجملة.
ننزل عموديا من نقطة التقاطع إلى المحور الأفقي ونقرأ التدريج.
ثمّ نذهب أفقيا من النقطة نفسها إلى المحور العمودي.
نعوّض بالعددين المقروءين في المعادلة (1).
ثمّ في المعادلة (2)، ولا يُقبل الجواب قبل أن تتحقّق هذه أيضا.
المعادلتان محقّقتان معا، فالقراءة كانت مضبوطة والثنائية مقبولة.
طريقة 3: كيف نتصرّف عندما لا تقع نقطة التقاطع على تدريج؟
عندئذ لا تكتب القيمة المقروءة جوابا: اعتبرها تقديرا يدلّك على المنطقة، ثمّ احسب الحلّ المضبوط بالتعويض أو بالجمع، وقارن الاثنين.
جملة أخرى، مجهولاها x و y، رُسم مستقيماها في معلم متعامد ومتجانس مزوّد بشبكة. نقطة تقاطعهما لا تقع على تقاطع خطّين من الشبكة.
🎯المطلوب: عيّن بالقراءة قيمة تقريبية لحلّ الجملة، ثمّ احسب الحلّ المضبوط وقارن بينهما.
نرقّم معادلتي الجملة.
ننزل من نقطة التقاطع إلى المحور الأفقي: التدريج يقع بين وحدتين.
ثمّ نذهب أفقيا إلى المحور العمودي.
نعوّض بالعددين المقروءين في المعادلة (1): المساواة تصحّ.
ثمّ في المعادلة (2): الطرف الأيسر لا يساوي 1، فالقراءة تقريبية لا مضبوطة.
نعود إلى الحساب: معاملا y متعاكسان أصلا، فنجمع المعادلتين طرفا لطرف.
نقسم الطرفين على 3، والكسر الناتج غير قابل للاختزال.
نعوّض بهذه القيمة في المعادلة (1) ونطرح.
القراءة دلّت على المنطقة، والحساب أعطى القيمتين المضبوطتين.
Page 1/7
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net