تقويم تشخيصي و تدعيم المكتسبات حول المتتاليات

🔊 La maîtresse lit pour toi

مدينتان لهما اليوم العدد نفسه من السكان: 6000 نسمة. الأولى تكسب كل سنة 130 نسمة، والثانية تكبر كل سنة بنسبة 2٪ من عددها. الأولى تبدو أسرع في البداية. فهل تبقى الأولى في المقدمة إلى الأبد؟

هذا السؤال هو مدخل المقطع كله. للإجابة عنه نحتاج أداة تصف عددا يتغير خطوة بخطوة: المتتالية. قبل أن نبنيها، نتأكد أولا مما تحمله من السنة الثانية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التمييز بين المتتالية ⁦(uₙ)⁩ و حدها uₙ
حساب حد ذي رتبة معطاة انطلاقا من دستور
التعرّف على متتالية ثابتة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب صورة عدد بدالة معطاة بدستور
ترتيب الأعداد الحقيقية و مقارنتها

ما نستعيده من السنة الثانية

المتتالية ترتيب لأعداد: حد أول، ثم حد ثان، وهكذا، ولكل حد رتبة هي عدد طبيعي.
نكتب uₙ ولا نكتب ⁦u(n)⁩: الرمز uₙ هو حد المتتالية ذو الرتبة n.
معرفة قاعدة الانتقال من حد إلى الذي يليه تكفي لحساب كل الحدود، شرط معرفة الحد الأول.

خلط شائع: المتتالية ⁦(uₙ)⁩ شيء، وحدها uₙ شيء آخر. الأولى ترتيب كامل لا نهائي، والثاني عدد حقيقي واحد. الفرق يظهر في الكتابة: القوسان في ⁦(uₙ)⁩ ليسا زينة.

مثال 1: من القاعدة إلى الحدود

🎯المطلوب: احسب الحدود الثلاثة الأولى للمتتالية المعرّفة بالدستور ⁦uₙ = 2n + 1⁩.

📌المعطى

uₙ = 2n + 1

🔹الخطوة 1: الحدود الأولى

نعوّض n بالقيم 0 ثم 1 ثم 2، لا أكثر.

u₀ = 1 , u₁ = 3 , u₂ = 5

✅النّتيجة

u₀ = 1 , u₁ = 3 , u₂ = 5

لحساب حد ذي رتبة كبيرة، عوّض مباشرة في القاعدة؛ لا تحسب كل الحدود التي قبله.

مثال 2: حد ذو رتبة بعيدة

🎯المطلوب: احسب الحدّ u₂₀ دون حساب كلّ الحدود التي قبله.

📌المعطى

uₙ = −3n² + 1

🔹الخطوة 1: التعويض

u₂₀ = −3 × 400 + 1

✅النّتيجة

u₂₀ = −1199

انتبه إلى الأقواس: ⁦−3n²⁩ ليست ⁦(−3n)²⁩. الترتيب هو تربيع ثم ضرب.

مثال 3: التمييز بين المتتالية و حدها

🎯المطلوب: بيّن لماذا تبقى المتتالية شيئا آخر غير حدّها، حتى إذا كانت كلّ حدودها متساوية.

📌المعطى

uₙ = 5

🔹الخطوة 1: القراءة

كل الحدود تساوي 5، فالمتتالية ثابتة.

u₀=u₁=u₂=5

✅النّتيجة

(uₙ) = (5 ; 5 ; 5 ; …)

متتالية ثابتة تبقى متتالية: لا تخلط « ثابتة » بـ « ليست متتالية ».

هذا الدرس تقويم، لكن ما فيه ليس اختياريا: كل تمرين متتاليات في البكالوريا يفترض أنك تميّز المتتالية عن حدها و تحسب حدا من دستور دون تردد. إن تعثّرت هنا، لا تمض إلى الدرس الموالي قبل أن تعيد التمارين الثلاثة: البناء كله يقوم على هذه الخطوة.

الخلاصة: المتتالية دالة لا تأخذ إلا الأعداد الطبيعية، ونكتب حدها العام uₙ. معرفة القاعدة تكفي لتوليد كل الحدود. وسؤال المقطع مطروح: من يسبق على المدى الطويل، الزيادة الثابتة أم الزيادة بنسبة مئوية؟

Page 1/5