Mathématiques🎓 objectif bac

المتتاليات العددية المتتاليات

المتتاليات: التمييز بين متتالية و حدّها العام، و التوليد بالتراجع

🔊 La maîtresse lit pour toi

لدينا طريقتان لوصف المتتالية نفسها. الأولى تعطي دستورا يحسب الحد مباشرة من رتبته، والثانية تعطي الحد الأول وقاعدة تنقلنا من كل حد إلى الذي يليه. فأيّ الطريقتين تسمح بحساب u₁₀₀ دون المرور بكل ما قبله؟

الجواب في الطريقة الأولى: دستور الحدّ العام يحسب أيّ حدّ مباشرة من رتبته، بينما التراجع يفرض المرور بكلّ ما قبله. لكنّ لكلّ طريقة موضعها، و هذا ما يبنيه الدرس.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

توليد متتالية بالحد العام و بعلاقة تراجعية
معرفة ما يلزم بالضبط لتعريف متتالية بالتراجع
التعبير عن ⁦uₙ₊₁⁩ و ⁦uₙ₊₂⁩ بدلالة n

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مفهوم المتتالية و حدّها العام
التعويض في دستور بعدد طبيعي معطى

1. تعريف متتالية

المتتالية u هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي n₀ معطى، العدد ⁦u(n)⁩. نكتب uₙ بدل ⁦u(n)⁩، ونسمي uₙ الحد العام و ⁦u_{n₀}⁩ الحد الأول. إذا كانت معرفة على ℕ نرمز إلى حدها الأول بـ u₀.

2. التوليد بالحد العام

نعطي دستورا ⁦uₙ = f(n)⁩ حيث f دالة. الحساب مباشر: نعوّض n بالرتبة المطلوبة.

التوليد بالحد العام

uₙ = f(n)

nرتبة الحدfدالة معرفة على مجال يشمل الرتب

3. التوليد بعلاقة تراجعية

نعطي شيئين لا واحدا: قيمة الحد الأول، وعلاقة تربط كل حد بالذي يسبقه. حذف أحدهما يجعل المتتالية غير معرّفة.

علاقة تراجعية

uₙ₊₁ = 3uₙ − 2

سلسلة من أربعة حدود يربطها أسهم، يطبّق كلّ سهم القاعدة نفسها على الحدّ السابق ليعطي الذي يليه. — التوليد بالتراجع: كل سهم يطبّق القاعدة نفسها على الحد السابق.

العلاقة التراجعية وحدها لا تكفي: بدون الحد الأول لا نستطيع الانطلاق. وبالمقابل، الحد الأول وحده لا يكفي: بدون القاعدة لا نعرف إلى أين نمضي.

مثال 1: حساب حدود من الحد العام

🎯المطلوب: احسب الحدود الثلاثة الأولى انطلاقا من دستور الحدّ العام.

📌المعطى

uₙ = −3n² + 1

🔹الخطوة 1: الحدود الأولى

u₀ = 1 , u₁ = −2 , u₂ = −11

🔹الخطوة 2: حد بعيد

لا نحتاج إلى الحدود التي قبله: التعويض مباشر.

u₂₀ = −1199

✅النّتيجة

u₂₀ = −1199

مع الحد العام، رتبة الحد لا تكلف شيئا: u₁₀₀ بنفس سهولة u₂.

مثال 2: حساب حدود بالتراجع

🎯المطلوب: احسب الحدود u₁ و u₂ و u₃ انطلاقا من الحدّ الأوّل و العلاقة التراجعية.

📌المعطى

u₀ = 2 , uₙ₊₁ = −2uₙ + 1

🔹الخطوة 1: التتابع

نطبّق القاعدة على u₀ لنحصل على u₁، ثم على u₁ لنحصل على u₂.

u₁ = −3 , u₂ = 7 , u₃ = −13

✅النّتيجة

u₃ = −13

بالتراجع، كل حد يمر عبر كل ما سبقه: لا طريق مختصر إلى u₁₀₀ بغير حاسبة.

مثال 3: التعبير عن حدود بدلالة vₙ

🎯المطلوب: عبّر عن ⁦vₙ₊₁⁩ و ⁦vₙ₊₂⁩ بدلالة vₙ.

📌المعطى

vₙ₊₁ = 2vₙ + 5

🔹الخطوة 1: الحد الموالي

نعوّض n بـ ⁦n+1⁩ في العلاقة نفسها.

vₙ₊₂ = 2vₙ₊₁ + 5

🔹الخطوة 2: التبسيط

نعوّض ⁦vₙ₊₁⁩ بقيمتها ثم ننشر.

vₙ₊₂ = 4vₙ + 15

✅النّتيجة

vₙ₊₂ = 4vₙ + 15

عوّض n بـ ⁦n+1⁩ في العلاقة كاملة، لا في طرف واحد منها.

سؤال البكالوريا يبدأ غالبا بحساب ثلاثة حدود أولى: إنه سؤال هدية، لا تُسرع فيه. اكتب كل حد في سطر مستقل مع الحساب الذي أوصلك إليه — المصحّح يمنح نقطة الخطوة حتى إذا أخطأت في الحساب الأخير. وإذا طُلب التعبير عن ⁦uₙ₊₁⁩ بدلالة n، عوّض n بـ ⁦n+1⁩ في الدستور كله.

الخلاصة: طريقتان لتوليد متتالية. بالحد العام ⁦uₙ = f(n)⁩ نحسب أي حد مباشرة. وبالتراجع نحتاج الحد الأول والقاعدة معا، ونمر عبر كل الحدود. اختيار الطريقة يغيّر كلفة الحساب لا المتتالية.

Page 1/6