المتتاليات العددية
تذكير بالمتتاليات الحسابية و الهندسية: الحد العام و المجموع
درست هذين النوعين من المتتاليات من قبل. نراجع هنا حدّهما العام و مجموع حدودهما المتتابعة، بصيغة موحّدة تصلح لأيّ متتالية حسابية أو هندسية مهما كانت قيمة أساسها.
- التعرّف على الصيغة الترجعية للمتتالية الحسابية و للمتتالية الهندسية
- حساب الحدّ العام لمتتالية حسابية أو هندسية بدلالة حدّها الأول أو أيّ حدّ آخر منها
- حساب مجموع حدود متتابعة من متتالية حسابية أو من متتالية هندسية
- نمذجة وضعية تتغيّر بنسبة مئوية ثابتة بمتتالية هندسية
- تعريف متتالية عددية بالتراجع، كما رأيت في الدرس السابق
- الحساب على النسب المئوية و الأسس
1. المتتالية الحسابية
بصفة عامّة: مجموع حدود متتابعة من متتالية حسابية يساوي نصف مجموع الحدّ الأول و الحدّ الأخير، مضروبا في عدد الحدود.
إذا كانت ثلاثة أعداد بهذا الترتيب حدودا متتابعة من متتالية حسابية، فإنّ الحدّ الأوسط بينها يسمّى الوسط الحسابي، و يحقّق شرطا بسيطا نتحقّق منه في المثال الرابع.
2. المتتالية الهندسية
و إذا كان الأساس يساوي 1، فإنّ كلّ الحدود متساوية و يصير المجموع (n+1) مرّة الحدّ الأول.
و بالمثل، إذا كانت ثلاثة أعداد غير معدومة بهذا الترتيب حدودا متتابعة من متتالية هندسية، فإنّ الحدّ الأوسط بينها يسمّى الوسط الهندسي.
3. مثالان تطبيقيّان
لتكن المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بحدّها العام uₙ = −3n + 2.
🎯المطلوب: أثبت أنّ المتتالية (uₙ) حسابية معيّنا أساسها، ثمّ احسب بدلالة n المجموع S = u₀ + u₁ + … + uₙ.
لإثبات الطابع الحسابي، نحسب الفرق بين حدّين متتاليين بدلالة n مباشرة، دون التعويض بقيم عددية.
الفرق ثابت و يساوي −3 مهما كانت قيمة n، إذن المتتالية حسابية و هذا العدد هو أساسها.
نعوّض في صيغة المجموع الحدّ الأول u₀ و الحدّ الأخير uₙ.
(vₙ) متتالية هندسية معرّفة على ℕ* بحدّها الأول v₁=3 و أساسها q=2.
🎯المطلوب: احسب الحدّين v₂ و v₃، ثمّ عبّر عن الحدّ العام و عن مجموع الحدود بدلالة n.
نعوّض في صيغة الحدّ العام بدلالة الحدّ الأول v₁.
المجموع هنا يبدأ من الحدّ الأول v₁ لا من v₀، و يضمّ n حدّا بالضبط، لذا يحمل الأسّ n لا n+1.
بلغ عدد سكان مدينة جزائرية 3000 نسمة سنة 2005 و 3630 نسمة سنة 2007، بافتراض نسبة تزايد سنوية ثابتة α.
🎯المطلوب: عيّن نسبة التزايد السنوية α، ثمّ قدّر عدد سكان المدينة سنة 2030 بالتقريب إلى العشرات.
العلاقة بين عدد السكان في سنة معيّنة و عدد السكان في السنة الموالية تكتب بإضافة نسبة ثابتة من العدد نفسه.
نستعمل صيغة الحدّ العام بين الرتبتين 0 و 2، بما أنّ الحدّين هما المعلومان.
q عدد موجب لأنّه أساس متتالية هندسية تمثّل تعداد سكان، فيؤخذ الجذر التربيعي الموجب.
بما أنّ q = 1 + α (النّتيجة الأولى)، فإنّ α = q − 1.
سنة 2030 تقابل الرتبة 25، لأنّ الفارق بين 2030 و 2005 يساوي 25 سنة.
أي نحو 32500 نسمة سنة 2030، بالتقريب إلى العشرات كما يُطلب.
نأخذ العددين 4 و 10 من جهة، ثمّ العددين 2 و 8 من جهة أخرى.
🎯المطلوب: تحقّق أنّ 7 وسط حسابي بين 4 و 10، و أنّ 4 وسط هندسي بين 2 و 8.
المجموع و ضعف الوسط متساويان، فشرط التتابع الحسابي محقّق.
الجداء و مربّع الوسط متساويان، فشرط التتابع الهندسي محقّق.
Page 1/7
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net