Mathématiques🎓 objectif bac

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الدوال المستمرة و الغير مستمرة على مجال

الاستمرارية عند نقطة و على مجال

🔊 La maîtresse lit pour toi

منحنى دالة يمكن رسمه بقلم واحد دون رفعه عن الورقة على مجال معين، بينما يفرض المنحنى نفسه رفع القلم عند نقطة أخرى ليكمل الرسم في اتجاه آخر. فما الذي يميز رياضيا النقطة التي نضطر عندها لرفع القلم، و كيف نتحقق من استمرارية دالة دون الاعتماد على الرسم فقط؟

الجواب في جملة واحدة: دالة مستمرة على مجال هي دالة يمكن رسم منحناها على هذا المجال دون رفع القلم. هذا المعنى حدسي بسيط، لكنه يكفي عمليا للتعرف على أغلب الدوال المستمرة، بفضل قائمة من الدوال «المقبولة دون برهان»: المرجعية، كثيرات الحدود، و الناطقة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

فهم المعنى الحدسي لاستمرارية دالة عند نقطة و على مجال، عبر إمكانية رسم منحناها دون رفع القلم
التعرف على الدوال المستمرة بحكم قبولها دون برهان: الدوال المرجعية، كثيرات الحدود، الدوال الناطقة
تعيين مجموعة تعريف دالة ناطقة أو تتضمن جذرا تربيعيا، و استنتاج مجالات استمراريتها
دراسة استمرارية دالة معرفة بعدة عبارات حسب المجال عند نقاط التقاء هذه المجالات

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب قيمة دالة عند نقطة معينة، و حساب النهاية اليمنى و اليسرى لدالة عند نقطة
تعيين مجموعة تعريف دالة ناطقة، أو دالة تتضمن جذرا تربيعيا
الدالة الجزء الصحيح ⁦E(x)⁩، المعرفة بالشرط ⁦n ≤ x < n+1⁩ حيث n عدد صحيح

1. المفهوم الحدسي للاستمرارية

تعريف (حدسي): ⁦f⁩ دالة معرفة على مجال ⁦I⁩ و ⁦⁦(C)⁩⁩ منحناها البياني. نقول عن ⁦f⁩ أنها مستمرة على ⁦I⁩ إذا استطعنا رسم ⁦⁦(C)⁩⁩ بدون رفع القلم وفق خط مستمر.

منحنيان: الأوّل على مجالين، مع قفزة عمودية عند نقطة واحدة تمنع رسمه بقلم واحد على المجال الكامل؛ و الثاني يُرسم من طرفه إلى طرفه دون انقطاع. — في الأعلى، القفزة عند ⁦x=1⁩ هي ما يفرض رفع القلم؛ الدالة تبقى مستمرة على كل مجال جزئي لا يحتوي هذه النقطة. و في الأسفل، منحنى مستمرّ يُرسم من طرفه إلى طرفه دون رفع القلم.

مثال 1: دالة غير مستمرة على مجال، مستمرة على مجالين جزئيين

الدالة ⁦f⁩ ممثلة بمنحنى مرسوم على المجال ⁦⁦[−2;3]⁩⁩: ينطلق من ⁦⁦(−2;3)⁩⁩، ينخفض إلى أدنى نقطة قرب ⁦⁦x≈−0,6⁩⁩، يعود إلى ⁦⁦(1;0)⁩⁩، ثم يقفز فجأة إلى ارتفاع قريب من ⁦⁦(1;2,7)⁩⁩ قبل أن ينخفض من جديد حتى ⁦⁦(3;−1,6)⁩⁩.

🎯المطلوب: هل الدالة ⁦f⁩ مستمرة على المجال ⁦⁦[−2;3]⁩⁩؟ ماذا عن ⁦⁦[−2;1]⁩⁩ و ⁦⁦]1;3]⁩⁩؟

🔹الخطوة 1: قيمة f عند ⁦x=1⁩ (الفرع الأول)

الفرع الأول من المنحنى ينتهي بنقطة مصمتة موضوعة على محور الفواصل عند ⁦⁦x = 1⁩⁩.

f(1) = 0

🔹الخطوة 2: نهاية الفرع الثاني عند ⁦x=1⁺⁩

الفرع الثاني يبدأ عند ⁦⁦x = 1⁩⁩ بنقطة مفرغة على ارتفاع مختلف تماما.

lim(x → 1, x > 1) f(x) ≈ 2,7

✅النّتيجة: قفزة عند ⁦x=1⁩

القيمتان مختلفتان تماما: لا يمكن الانتقال من واحدة إلى الأخرى دون رفع القلم.

f(1) = 0 ≠ lim(x → 1, x > 1) f(x) ≈ 2,7

⭐ استمرارية دالة على مجال كبير تُنفى بقفزة واحدة فقط. لكن نفي الاستمرارية على المجال الكامل لا يمنع الدالة من أن تكون مستمرة على مجالين جزئيين: ⁦f⁩ مستمرة على ⁦⁦[−2;1]⁩⁩ (تُرسم دون رفع القلم) و على ⁦⁦]1;3]⁩⁩ كذلك — القفزة الوحيدة تقع بالضبط عند ⁦⁦x=1⁩⁩، خارج هذين المجالين الجزئيين.

مثال 2: دالة معرفة بعبارتين، مستمرة رغم تغير العبارة

الدالة ⁦f⁩ المعرفة على المجال ⁦⁦]−2;2[⁩⁩ بـ: ⁦⁦f(x) = −x⁩⁩ من أجل ⁦x⁩ في ⁦⁦]−2;0]⁩⁩، و ⁦⁦f(x) = x²⁩⁩ من أجل ⁦x⁩ في ⁦⁦]0;2[⁩⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن الدالة ⁦f⁩ مستمرة على المجال ⁦⁦]−2;2[⁩⁩.

🔹الخطوة 1: الفرع الأول على ⁦]−2;0]⁩

نتتبع الفرع الأول: مستقيم منحدر من ⁦⁦(−2;2)⁩⁩ إلى ⁦⁦(0;0)⁩⁩.

f(x) = −x

🔹الخطوة 2: قيمة الفرع الأول عند ⁦x=0⁩

نحسب قيمة هذا الفرع عند ⁦⁦x = 0⁩⁩.

f(0)=−0=0

🔹الخطوة 3: نهاية الفرع الثاني عند ⁦x=0⁺⁩

و ما يؤول إليه الفرع الثاني عند الاقتراب من ⁦0⁩ من اليمين.

lim(x → 0, x > 0) x² = 0

🔹الخطوة 4: مقارنة القيمتين

القيمتان متطابقتان: لا قفزة عند ⁦⁦x = 0⁩⁩، يمكن متابعة الرسم دون رفع القلم.

f(0) = lim(x → 0, x > 0) x² = 0

🔹الخطوة 5: الفرع الثاني على ⁦]0;2[⁩

نتتبع الفرع الثاني: قطعة من القطع المكافئ من ⁦⁦(0;0)⁩⁩ نحو ⁦⁦(2;4)⁩⁩.

f(x) = x²

✅النّتيجة: f مستمرة على ⁦]−2;2[⁩

لا قفزة عند نقطة الوصل الوحيدة: المنحنى يُرسم من طرف إلى طرف بخط واحد.

f(0) = lim(x → 0, x > 0) x² = 0

⭐ دالة معرفة بعبارتين ليست بالضرورة غير مستمرة. ما يحسم الأمر هو ما يحدث عند نقطة الالتقاء بين المجالين: إن تطابقت القيمتان من الجهتين، فلا قفزة و لا رفع للقلم.

2. دوال مستمرة، تُقبل دون برهان

لا حاجة لرسم منحنى كل دالة للتحقق من استمرارها: نقبل، دون برهان، أن كل دالة محصّل عليها بالعمليات المألوفة على دوال معروفة تكون مستمرة على كل مجال معرفة عليه.

الدوال المرجعية (⁦x⁩، ⁦x²⁩، ⁦⁦√x⁩⁩، ⁦⁦1/x⁩⁩، …) مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها
الدوال كثيرات الحدود مستمرة على ⁦ℝ⁩ بأكملها، مهما كانت درجتها
الدوال الناطقة (حاصل قسمة كثيري حدود) مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها

مثال 3: استمرارية دالة ناطقة، بتحديد مجموعة تعريفها أولا

لتكن الدالة الناطقة ⁦f⁩ المعرفة بـ ⁦⁦f(x) = (3x − 2) / (x² − 1)⁩⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة ⁦f⁩، ثم استنتج مجالات استمرارها.

🔹الخطوة 1: حل المعادلة ⁦x² − 1 = 0⁩

نبحث عن القيم التي تلغي المقام، لأنها الوحيدة التي تُستثنى من مجموعة التعريف.

x² − 1 = 0 ⟺ x ∈ {−1 ; 1}

🔹الخطوة 2: مجموعة تعريف f

مجموعة التعريف هي ⁦ℝ⁩ منقوصا من هاتين القيمتين.

D_f = ℝ − {−1 ; 1}

✅النّتيجة: مجالات الاستمرارية

⁦f⁩ ناطقة (حاصل قسمة كثيري حدود)، فهي مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها؛ نكتب هذه المجموعة على صورة اتحاد ثلاثة مجالات مفتوحة، مفصولة عند ⁦⁦−1⁩⁩ و ⁦1⁩.

D_f = ]−∞;−1[ ∪ ]−1;1[ ∪ ]1;+∞[

⭐ لدالة ناطقة، مجموعة الاستمرارية هي بالضبط مجموعة التعريف، مقسّمة إلى مجالات مفصولة عند كل قيمة تلغي المقام. لا حاجة لدراسة أي شيء آخر: الخاصية تكفي وحدها.

3. الاستمرارية عند نقطة التقاء مجالين

حين تُعرَّف دالة بعبارتين مختلفتين على مجالين متجاورين، تنتقل الاستمرارية من «رسم بدون رفع القلم» إلى حساب قيمتين و مقارنتهما: قيمة الفرع الأول عند نقطة الالتقاء، و القيمة التي يؤول إليها الفرع الثاني عند نفس النقطة.

مثال 4: قيم عددية، ثم فحص الاستمرارية عند نقطة الوصل

الدالة ⁦f⁩ معرفة على ⁦⁦[−1;3]⁩⁩ بـ: ⁦⁦f(x) = −2x + 1⁩⁩ من أجل ⁦x⁩ في ⁦⁦[−1;1[⁩⁩، و ⁦⁦f(x) = x − 1⁩⁩ من أجل ⁦x⁩ في ⁦⁦[1;3]⁩⁩.

🎯المطلوب: احسب ⁦⁦f(−0,4)⁩⁩ و ⁦⁦f(1)⁩⁩ و ⁦⁦f(1,7)⁩⁩، ثم بيّن أن ⁦f⁩ ليست مستمرة على ⁦⁦[−1;3]⁩⁩.

🔹الخطوة 1: تحديد الفروع

نحدد الفرع المناسب لكل قيمة حسب المجال الذي تنتمي إليه.

−0,4 ∈ [−1;1[ , 1 ∈ [1;3] , 1,7 ∈ [1;3]

🔹الخطوة 2: حساب ⁦f(−0,4)⁩

نحسب ⁦⁦f(−0,4)⁩⁩ بالفرع الأول ⁦⁦−2x+1⁩⁩.

f(−0,4)=−2×(−0,4) + 1=1,8

🔹الخطوة 3: حساب ⁦f(1)⁩ و ⁦f(1,7)⁩

نحسب ⁦⁦f(1)⁩⁩ بالفرع الثاني ⁦⁦x−1⁩⁩، لأن ⁦1⁩ و ⁦1,7⁩ عنصران من ⁦⁦[1;3]⁩⁩.

f(1) = 1 − 1 = 0 ; f(1,7) = 1,7 − 1 = 0,7

🔹الخطوة 4: نهاية الفرع الأول عند 1

نحسب أيضا ما يؤول إليه الفرع الأول عند الاقتراب من ⁦1⁩ من اليسار.

lim(x → 1, x < 1) (−2x+1) = −1

✅النّتيجة: f غير مستمرة عند ⁦x=1⁩

نقارن هذه القيمة بـ ⁦⁦f(1) = 0⁩⁩: القفزة موجودة إذن حتما.

lim(x → 1, x < 1) f(x) = −1 ≠ f(1) = 0

⭐ الفحص عند نقطة الوصل لا يحتاج رسما: يكفي رقمان. إذا اختلفت قيمة الفرع عند النقطة عن النهاية التي يؤول إليها الفرع المجاور، فالقفزة مؤكدة رياضيا، بلا حاجة للرسم.

منحنى الدالة الجزء الصحيح: درجات أفقية، كلّ منها مغلقة من اليسار و مفتوحة من اليمين، ترتفع بدرجة واحدة عند كلّ عدد صحيح. — على كلّ مجال من الشكل ⁦[n ; n + 1[⁩ تأخذ الدالة E القيمة الثابتة n: لهذا نعوّضها بعدد ثابت على كلّ مجال، كما في المثال 5.

مثال 5: استمرارية على مجال جزئي رغم عدم الاستمرارية على المجال الكامل

الدالة ⁦f⁩ معرفة على ⁦⁦[−1;2[⁩⁩ بـ ⁦⁦f(x) = x·E(x) + 1⁩⁩، حيث ⁦E⁩ هي الدالة الجزء الصحيح.

🎯المطلوب: هل الدالة ⁦f⁩ مستمرة على المجال ⁦⁦]−1;1[⁩⁩؟ على المجال ⁦⁦]−1;2[⁩⁩؟

🔹الخطوة 1: عبارة f على ⁦[−1;0[⁩

نعوّض ⁦⁦E(x)⁩⁩ بقيمتها الثابتة ⁦⁦−1⁩⁩ على ⁦⁦[−1;0[⁩⁩.

f(x) = −x + 1

🔹الخطوة 1 (تابع): عبارة f على ⁦[0;1[⁩

و بقيمتها الثابتة ⁦0⁩ على ⁦⁦[0;1[⁩⁩.

f(x) = 1

🔹الخطوة 1 (تابع): عبارة f على ⁦[1;2[⁩

و بقيمتها الثابتة ⁦1⁩ على ⁦⁦[1;2[⁩⁩.

f(x) = x + 1

🔹الخطوة 2: فحص الوصل عند ⁦x=0⁩

نفحص أولا نقطة الوصل ⁦⁦x = 0⁩⁩: قيمة الفرع الثاني هناك، و نهاية الفرع الأول عند الاقتراب منها.

f(0) = 1 , lim(x → 0, x < 0) (−x+1) = 1

🔹الخطوة 3: استنتاج الاستمرارية عند ⁦x=0⁩

القيمتان متطابقتان: لا قفزة عند ⁦0⁩.

lim(x → 0, x < 0) f(x) = f(0) = 1

🔹الخطوة 4: فحص الوصل عند ⁦x=1⁩

نفحص الآن نقطة الوصل الثانية ⁦⁦x = 1⁩⁩، بنفس الطريقة.

f(1) = 1+1 = 2 , lim(x → 1, x < 1) 1 = 1

✅النّتيجة: غير مستمرة عند ⁦x=1⁩، مستمرة على ⁦]−1;1[⁩

القيمتان مختلفتان هذه المرة: قفزة حقيقية عند ⁦1⁩.

lim(x → 1, x < 1) f(x) = 1 ≠ f(1) = 2

⭐ مجال واحد قد يخفي نقطتي وصل مختلفتين المصير. هنا ⁦⁦x=0⁩⁩ سليمة و ⁦⁦x=1⁩⁩ بها قفزة: الدالة مستمرة على ⁦⁦]−1;1[⁩⁩ (لا تحتوي ⁦1⁩) لكنها ليست مستمرة على ⁦⁦]−1;2[⁩⁩ (تحتوي ⁦1⁩). المجال الذي نختبره يقرر الجواب بقدر الدالة نفسها.

⛔ في الباكالوريا يُطلب غالبا فحص الاستمرارية عند نقطة وصل بين فرعين، أو تحديد مجموعة استمرارية دالة ناطقة أو تتضمن جذرا تربيعيا. الخطأ الأكثر تكرارا هو نسيان حساب نهاية الفرع المجاور عند نقطة الوصل، و الاكتفاء بقيمة الدالة وحدها. اكتب دائما القيمتين معا قبل المقارنة بينهما، فهذا ما يقنع المصحح.

الخلاصة: دالة مستمرة على مجال هي دالة يُرسم منحناها دون رفع القلم على هذا المجال. الدوال المرجعية، كثيرات الحدود، و الدوال الناطقة مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها، دون حاجة لبرهان في كل مرة. و عند دالة معرفة بعدة عبارات، تُفحص الاستمرارية عند كل نقطة وصل بمقارنة قيمة الدالة هناك بنهاية الفرع المجاور: تطابق القيمتين يعني الاستمرارية، و اختلافهما يعني قفزة.

Page 1/8