مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الإحصاء

السلاسل الإحصائية لمتغيرين عددين

🔊 La maîtresse lit pour toi
ندرس أحيانا صفتين عدديتين معا على نفس المجتمع، كنسبة النجاح عبر السنوات أو ثمن سلعة وكمية الطلب عليها. فكيف نُدوّن ملاحظتين على نفس الفرد في آن واحد، وماذا يحدث لمعدل كل صفة إذا غيّرنا مبدأ القياس أو وحدته؟

الجواب في جملة واحدة: عندما نلاحظ صفتين عدديتين X و Y في آن واحد على نفس أفراد مجتمع، فإنّ الثنائيات المكوّنة من كل قيمتين متقابلتين تشكّل سلسلة إحصائية لمتغيرين. هذا الدرس يعرّف هذه السلسلة، ثمّ يبيّن كيف يتغيّر معدل كل متغيّر إذا بدّلنا مبدأ القياس أو وحدته.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف السلسلة الإحصائية لمتغيرين عدديين X و Y
  • كتابة جدول القيم المزدوجة لهذه السلسلة
  • حساب معدل كل متغيّر من متغيّري السلسلة
  • معرفة أثر تغيير مبدأ متغيّر أو وحدته على معدله
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب معدل سلسلة إحصائية لمتغيّر واحد
  • حساب مجموع حدود سلسلة عددية معطاة

1. تعريف السلسلة الإحصائية لمتغيرين

نراقب متغيّرين عدديين X و Y على نفس أفراد مجتمع إحصائي مكوّن من n فردا. لكل فرد i قيمتان: xᵢ على المتغيّر X، و yᵢ على المتغيّر Y.

📌المعطى: جدول متغيّرين X و Y
Xx₁x₂x₃...xₙ
Yy₁y₂y₃...yₙ
كل عمود من الجدول يحمل ملاحظتين على نفس الفرد: قيمته على X، وقيمته المقابلة على Y.
مجال دليل الحدود
1 ≤ i ≤ n
ثنائية السلسلة الإحصائية لمتغيرين

مجموعة هذه الثنائيات، لكل قيم i من 1 إلى n، هي ما نسمّيه سلسلة إحصائية لمتغيرين.

(xᵢ ; yᵢ)

2. مثال: نسبة النجاح عبر السنوات

يوضّح الجدول التالي نسبة النجاح في شعبة ما خلال سبع سنوات: X هي السنة، و Y هي النسبة المئوية للنجاح.

📌المعطى: نسبة النجاح في مؤسسة عبر سبع سنوات
السنة xᵢ1975198019851990199520002001
نسبة النجاح ⁦yᵢ (%)⁩72,37475,37779,581,181,3
مثال 1: قراءة سلسلة إحصائية لمتغيرين

🎯المطلوب: عيّن عدد حدود السلسلة n، ثمّ اكتب ثنائيتها الأولى وثنائيتها الأخيرة.

🔹الخطوة 1: عدد الحدود

نُحصي عدد الأعمدة في الجدول: هو عدد حدود السلسلة.

n = 7
🔹الخطوة 2: الثنائية الأولى

الحدّ الأول هو أوّل عمود في الجدول.

(x₁ ; y₁) = (1975 ; 72,3)
🔹الخطوة 3: الثنائية الأخيرة

الحدّ الأخير هو آخر عمود في الجدول.

(x₇ ; y₇) = (2001 ; 81,3)
✅النّتيجة

نجمع كل الثنائيات في مجموعة واحدة تمثّل السلسلة كاملة.

{(1975;72,3) ; (1980;74) ; ... ; (2001;81,3)}

3. معدلا المتغيّرين X و Y

معدل المتغيّر X
x=x₁ + x₂ + ... + xₙn
معدل المتغيّر Y
ȳ=y₁ + y₂ + ... + yₙn
مثال 2: حساب معدلي X و Y

🎯المطلوب: احسب معدل السنوات x ومعدل نسبة النجاح ȳ لهذه السلسلة.

🔹الخطوة 1: مجموع X

نجمع قيم X السبع.

Σxᵢ=1975+1980+1985+1990+1995+2000+2001=13926
✅النّتيجة: معدل X

نقسم المجموع على عدد الحدود.

x = 139267 ≈ 1989,4
🔹الخطوة 2: مجموع Y

نجمع قيم Y السبع.

Σyᵢ=72,3+74+75,3+77+79,5+81,1+81,3=540,5
✅النّتيجة: معدل Y

نقسم المجموع على عدد الحدود.

ȳ = 540,57 ≈ 77,2

4. تغيير مبدأ متغيّر

قد نفضّل قياس متغيّر انطلاقا من مبدأ آخر غير الصفر: نضع ⁦zᵢ = xᵢ − a⁩ حيث a ثابت نختاره. بخاصية خطية المعدل، معدل السلسلة الجديدة يُحسب بطرح a نفسه من x.

تغيير مبدأ المتغيّر X
zᵢ = xᵢ − a
أثر تغيير المبدأ على المعدل
z = x − a
مثال 3: تغيير مبدأ المتغيّر X

🎯المطلوب: احسب معدل السلسلة الجديدة ⁦zᵢ = xᵢ − 1975⁩.

🔹الخطوة 1: تعويض في القاعدة

نعوّض x و a في القاعدة مباشرة، بدل إعادة حساب كل حدّ.

z=x − a=139267 − 1975
🔹الخطوة 2: توحيد المقام

نوحّد المقام لنطرح.

z = 13926 − 138257
🔹الخطوة 3: الفرق

نطرح البسطين.

z = 1017
✅النّتيجة

نحوّل إلى عدد عشري ونقرّب إلى العُشر.

z ≈ 14,4

5. تغيير وحدة متغيّر

قد نفضّل أيضا التعبير عن متغيّر بوحدة أخرى: نضع ⁦uᵢ = k×yᵢ⁩ حيث k ثابت غير معدوم. معدل السلسلة الجديدة يُحسب بضرب ȳ في k نفسه.

تغيير وحدة المتغيّر Y
uᵢ = k×yᵢ
أثر تغيير الوحدة على المعدل
ū = k×ȳ
مثال 4: تغيير وحدة المتغيّر Y

🎯المطلوب: احسب معدل السلسلة الجديدة ⁦uᵢ = yᵢ/100⁩.

📌المعطى

الوحدة الجديدة تساوي مئة ضعف الوحدة الأصلية، أي ⁦k = 1/100⁩.

k = 1100
🔹الخطوة 1: تعويض في القاعدة

نضرب المعدل ȳ في k مباشرة.

ū=k×ȳ=(1100)×(540,57)
🔹الخطوة 2: التبسيط

نبسّط الجداء.

ū = 540,5700
✅النّتيجة

نحوّل إلى عدد عشري ونقرّب إلى الألف.

ū ≈ 0,772
⭐ لا تخلط بين تغيير المبدأ (طرح ثابت) وتغيير الوحدة (ضرب في ثابت): الأول ينزلق بالمعدل، والثاني يكبّره أو يصغّره.
⛔ إذا غيّرت مبدأ متغيّر ووحدة متغيّر آخر في آن واحد، طبّق كل قاعدة على متغيّرها فقط: ⁦z=x−a⁩ يخصّ X وحده، و⁦ū=k×ȳ⁩ يخصّ Y وحده — لا تخلط بين الاثنين.
💡 في الدرس الموالي سنمثّل x و ȳ هندسيا: النقطة ⁦G(x ; ȳ)⁩ هي مركز سحابة نقط هذه السلسلة.
السلسلة الإحصائية لمتغيرين تربط بين قيمتين على كل فرد من المجتمع المدروس.
حين يأتيك في البكالوريا جدول لسلسلة إحصائية ذات متغيّرين، تكون الأسئلة الأولى من نوع هذا الدرس: «احسب المعدّلين x و ȳ»، أو «نضع ⁦z = x − a⁩، احسب z». جهّز ثلاثة عناصر: ① السلسلة: مجموعة الثنائيات ⁦(xi ; yi)⁩ الملاحَظة على نفس الأفراد، تُكتب في جدول القيم المزدوجة ؛ ② المعدّلان: ⁦x = (x₁ + x₂ + … + xn)/n⁩، و ȳ بالطريقة نفسها، كما في متغيّر واحد ؛ ③ تغيير المبدأ والوحدة: إذا طرحنا ثابتا a من كلّ xi طُرح a نفسه من المعدّل ⁦(z = x − a)⁩، وإذا ضربنا كلّ yi في k ضُرب المعدّل في ⁦k (ū = k × ȳ)⁩ — فلا حاجة إلى إعادة الحساب. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين القاعدتين حين يتغيّر مبدأ متغيّر ووحدة متغيّر آخر معا ؛ ⁦z = x − a⁩ يخصّ X وحده، و ⁦ū = k × ȳ⁩ يخصّ Y وحده. ⚠️ وخطأ ثانٍ: القسمة على عدد غير عدد الثنائيات n عند حساب المعدّل.
الخلاصة: السلسلة الإحصائية لمتغيرين X و Y هي مجموعة الثنائيات ⁦(xᵢ ; yᵢ)⁩ الملاحَظة على أفراد مجتمع، ومعدلاها x و ȳ يُحسبان كما في متغيّر واحد. تغيير مبدأ متغيّر (طرح ثابت a) يطرح a نفسه من معدله، وتغيير وحدته (ضرب في ثابت k) يضرب معدله في k نفسه.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net