مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الإحصاء

أمثلة لسلاسل إحصائية من الشكل ⁦(X ; ln Y)⁩ أو ⁦(ln X ; Y)⁩

🔊 La maîtresse lit pour toi
بعض السحابات ليست مستطيلة الشكل بل منحنية، كسحابة تمثّل تزايد عدد مستعملي هاتف نقّال أو تناقص كمية الطلب على سلعة، فلا يصلح لها التعديل الخطي مباشرة. فكيف نستعمل أدوات مستقيم الانحدار مع سحابة غير خطية الشكل، إذا ظننّا أنّ العلاقة بين X و Y أسّية؟

الجواب في جملة واحدة: إذا ظننّا أنّ العلاقة بين x و y أسّية، نضع z يساوي لوغاريتم y، فتصبح السلسلة الجديدة ⁦(x;z)⁩ شبه خطية الشكل، فنطبّق عليها أدوات مستقيم الانحدار المعروفة من الدرس السابق، ثمّ نرجع إلى y بالدالة الأسّية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تفسير سبب اللجوء إلى متغيّر جديد z يساوي لوغاريتم y عندما يكون النموذج المفترض أسّيا
  • حساب سلسلة القيم الجديدة وتعيين معادلة مستقيم انحدارها بدلالة x
  • استنتاج النموذج الأسّي للمتغيّر y انطلاقا من معادلة مستقيم الانحدار للمتغيّر الجديد
  • استعمال النموذج الأسّي المستنتج لحلّ معادلة أو متراجحة عددية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب معادلة مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا لسلسلة ⁦(x;y)⁩
  • معرفة أنّ الدالتين اللوغاريتم النيبيري والأسّية عكسيتان لبعضهما

1. لماذا نلجأ إلى المتغيّر الجديد ⁦z = ln y⁩

بما أنّ z هو لوغاريتم y، يكفي تطبيق الدالة الأسّية على طرفي معادلة مستقيم الانحدار ⁦z=ax+b⁩ لنستنتج y بدلالة x. النتيجة صيغة جديدة: y يساوي جداء ثابت في أسّية معامل توجيهها a، حيث الثابت هو أسّية الحدّ الثابت b.

العلاقة بين z و y
z = ln y
مستقيم انحدار z بدلالة x
z = a×x + b
الانتقال إلى y
y = ea×x+b
تفكيك الأسّية
y = eb×ea×x
النموذج الأسّي
y = α×ea×x
قيمة الثابت الأسّي
α = eb
مثال 1: استنتاج النموذج الأسّي من معادلة الانحدار

معادلة مستقيم انحدار ⁦z=ln y⁩ بدلالة x لسلسلة عدد مستعملي هاتف نقّال معلومة.

🎯المطلوب: استنتج علاقة بين y و x انطلاقا من معادلة الانحدار ⁦z = 0,056x + 0,961⁩ حيث ⁦z = ln y⁩.

🔹الخطوة 1: الانتقال إلى y

نطبّق الدالة الأسّية على طرفي المعادلة.

y = e0,056x + 0,961
🔹الخطوة 2: تفكيك الأسّية

نفكّك الأسّية إلى جداء.

y = e0,961×e0,056x
🔹الخطوة 3: تسمية الثابت

نضع α رمزا للثابت.

α = e0,961
🔹الخطوة 4: قيمة α

نحسب α بالآلة الحاسبة ونقرّب إلى ⁦10⁻²⁩.

α ≈ 2,61
✅النّتيجة

نجمع الثابت والأسّية في نموذج واحد.

y ≈ 2,61×e0,056x

2. مثال ثانٍ: من الجدول إلى النموذج الأسّي كاملا

📌المعطى: سلسلة yᵢ محوّلة إلى ⁦zᵢ = ln(yᵢ)⁩
xᵢ0,20,30,40,50,60,70,80,91
⁦zᵢ = ln(yᵢ)⁩⁦−3,69⁩⁦−3,22⁩⁦−2,81⁩⁦−2,30⁩⁦−1,83⁩⁦−1,39⁩⁦−0,92⁩⁦−0,43⁩0
مثال 2: إكمال جدول zᵢ ثمّ تعيين معادلة الانحدار

🎯المطلوب: عيّن معادلة مستقيم الانحدار ⁦z=ax+b⁩ لهذه السلسلة، ثمّ استنتج معادلة y بدلالة x.

🔹الخطوة 1: معامل التوجيه a

بالآلة الحاسبة على السلسلة ⁦(xᵢ;zᵢ)⁩، معامل التوجيه مقرّبا إلى العُشر.

a ≈ 4,6
🔹الخطوة 2: الحدّ الثابت b

الحدّ الثابت لنفس المستقيم، مقرّبا إلى العُشر.

b ≈ −4,6
🔹الخطوة 3: قيمة α

نحسب α بأخذ أسّية b ونقرّب إلى ⁦10⁻²⁩.

α = e−4,6 ≈ 0,01
✅النّتيجة

نجمع الثابت والأسّية في نموذج واحد.

y ≈ 0,01×e4,6x

3. توظيف النموذج الأسّي: حلّ متراجحة أو معادلة

مثال 3: حلّ متراجحة أسّية لتحديد عتبة

🎯المطلوب: حدّد أصغر رتبة صحيحة x يبلغ عندها عدد المستعملين حسب النموذج 35 مليونا على الأقلّ.

📌المعطى

نكتب المتراجحة المطلوب حلّها.

2,61×e0,056x ≥ 35
🔹الخطوة 1: العزل

نقسم الطرفين على 2,61.

e0,056x ≥ 352,61
🔹الخطوة 2: أخذ اللوغاريتم

نأخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين.

0,056x ≥ ln(352,61)
🔹الخطوة 3: عزل x

نقسم على 0,056.

x ≥ ln(352,61)0,056
🔹الخطوة 4: القيمة العددية

نحسب بالآلة الحاسبة.

x ≥ 46,36
✅النّتيجة

بما أنّ x يجب أن يكون رتبة صحيحة، فأصغر رتبة تتحقّق عندها المتراجحة هي 47، أي بعد 47 شهرا من بداية القياس.

x = 47
مثال 4: حلّ معادلة أسّية لتحديد نسبة مئوية

🎯المطلوب: عيّن النسبة x من المواطنين الذين يدفعون نصف الضريبة الإجمالية حسب النموذج الأسّي المستنتج.

📌المعطى

نكتب المعادلة المطلوب حلّها.

0,01×e4,6x = 0,5
🔹الخطوة 1: العزل

نقسم الطرفين على 0,01.

e4,6x = 50
🔹الخطوة 2: أخذ اللوغاريتم

نأخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين.

4,6x = ln(50)
🔹الخطوة 3: عزل x

نقسم على 4,6.

x = ln(50)4,6
🔹الخطوة 4: القيمة العددية

نحسب بالآلة الحاسبة ونقرّب إلى ⁦10⁻²⁩.

x ≈ 0,85
✅النّتيجة

⁦85%⁩ من المواطنين يدفعون نصف الضريبة الإجمالية للبلدية حسب هذا النموذج.

x ≈ 0,85
⛔ لا يمكن أخذ z يساوي لوغاريتم y إلا إذا كانت y أكبر تماما من الصفر: إذا كانت إحدى قيم y معدومة أو سالبة، تُستبعد من سلسلة z، ولا نضع لها قيمة مختلقة.
💡 كل عبارة من الشكل ⁦ax+b⁩ التي نجدها هنا هي في الحقيقة صورة لوغاريتمية لعبارة أسّية: أدوات درسي اللوغاريتم النيبيري والدالة الأسّية هي نفسها التي نوظّفها في التوقّعات وحلّ المعادلات أعلاه.
في الباكالوريا، تُعطى غالبا معادلة الانحدار ⁦z=ax+b⁩ جاهزة أو تُقبل دون برهان، والمطلوب هو الانتقال الصحيح إلى النموذج الأسّي ثمّ توظيف الدالة الأسّية في حلّ سؤال لاحق: احفظ أنّ الثابت الأسّي يساوي أسّية الحدّ الثابت b، فهذه الخطوة مفتاح كل هذه الأسئلة.
تحويل ⁦z=ln y⁩ يُقوّم انحناء السحابة الأسّية فتصبح شبه مستقيمة، فيصلح لها التعديل الخطي.
الخلاصة: عندما تُظنّ العلاقة بين x و y أسّية، نضع z يساوي لوغاريتم y فتصبح السلسلة الجديدة شبه خطية، فنطبّق عليها أدوات مستقيم الانحدار المعروفة: نحسب معادلتها ⁦z=ax+b⁩، ثمّ نرجع إلى y بالدالة الأسّية، حيث الثابت الأسّي يساوي أسّية الحدّ الثابت b. هذا النموذج يُستعمل بعدها للتوقّع أو لحلّ معادلات ومتراجحات أسّية.

Page 1/6

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net