مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الاحتمالات الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

الاحتمال الشرطي

🔊 La maîtresse lit pour toi
في مجموعة من التلاميذ ناجحين في الرياضيات، نسبة الذين نجحوا أيضا في الفيزياء ليست بالضرورة نفس نسبة النجاح في الفيزياء بين كل التلاميذ. فكيف نحسب احتمال حادثة B إذا علمنا مسبقا أنّ حادثة أخرى A قد تحقّقت؟

حين نعلم أنّ حادثة A قد تحقّقت، يتغيّر عادة احتمال حادثة أخرى B: هذا هو الاحتمال الشرطي. هو أداة أساسية كلّما توفّرت معلومة جزئية عن نتيجة تجربة قبل السؤال عن حادثة أخرى منها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩ بواسطة الدستور ⁦p(A∩B)/p(A)⁩
  • استعمال صيغة العدّ في حالة تساوي الاحتمال
  • التمييز بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩، و استعمال الصيغتين الناتجتين عن التعريف
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف قانون احتمال، و شرطاه: ⁦0 ≤ pᵢ ≤ 1⁩ و ⁦Σpᵢ = 1⁩
  • حساب احتمال حادثة في حالة تساوي الاحتمال بالعدّ
  • حساب احتمال تقاطع حادثتين ⁦p(A∩B)⁩ بالعدّ أو بالمعطى

1. تعريف الاحتمال الشرطي

نعتبر تجربة عشوائية مجموعة نتائجها E و قانون احتمالها P، و A و B حادثتين من E بحيث احتمال A غير معدوم. يُرمز لاحتمال تحقّق B علما أنّ A محقّقة بالرمز ⁦p(B|A)⁩.

تعريف الاحتمال الشرطي

⭐ نقتصر تفكيرنا على الحادثة A فقط، كأنّها أصبحت هي المجموعة الشاملة الجديدة، ثمّ نسأل عن حصّة B داخلها.

p(B|A) = p(A∩B)p(A)
p(B|A)احتمال تحقّق B علما أنّ A محقّقةp(A∩B)احتمال تحقّق A و B معا
حالة خاصّة: تساوي الاحتمال

عندما تكون كل نتائج E متساوية الاحتمال، تختصر النسبة إلى عدّ العناصر: عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A فقط، دون المرور بالاحتمالات صراحة.

p(B|A) = |A∩B||A|

من دستور التعريف تنتج مباشرة صيغتان لاحتمال التقاطع، حسب الحادثة التي نعتبرها شرطا:

الصيغة الأولى لاحتمال التقاطع
p(A∩B) = p(A) × p(B|A)
الصيغة الثانية لاحتمال التقاطع
p(A∩B) = p(B) × p(A|B)
⛔ ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ عددان مختلفان في الغالب. لا يوجد سبب رياضي يجعلهما متساويين إلا في حالات خاصّة، فلا تخلط أبدا بين الشرط و النتيجة.
مثال 1: احتمال شرطي على نرد بحالة تساوي الاحتمال

نرمي حجر نرد متوازنا ذا ستّة أوجه، و نعتبر الحادثتين A «الحصول على رقم فردي» و B «الحصول على مضاعف للعدد 3».

🎯المطلوب: احسب الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩.

📌المعطى: الحادثتان على نرد سداسي

نكتب عناصر كل حادثة: A هي الأرقام الفردية من 1 إلى 6، و B هي مضاعفات 3.

A = {1 ; 3 ; 5} , B = {3 ; 6}
🔹الخطوة 1: تحديد التقاطع

نأخذ العناصر المشتركة بين المجموعتين.

A ∩ B = {3}
🔹الخطوة 2: احتمالا A و ⁦A∩B⁩

نحسب احتمال كل من A و ⁦A∩B⁩ بالعدّ، لأنّ النرد متوازن (تساوي الاحتمال).

p(A) = 36 ; p(A∩B) = 16
✅النّتيجة

نطبّق التعريف: احتمال التقاطع على احتمال A، و هو هنا عدد عناصر التقاطع على عدد عناصر A.

p(B|A)=1636=13
⭐ تحقّق دائما من الحادثة أولا حرفيا قبل أيّ حساب: A تعني «فردي»، فعناصرها هي بالضبط الأرقام الفردية بين 1 و6 — الخطأ الأكثر شيوعا هو الخلط بين حادثة و مجموعة أخرى تشبهها في العدد لا في التعريف.
مثال 2: التمييز بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ في نفس الوضعية

في قسم من 30 تلميذا، 18 تلميذا ذكور من بينهم 6 يضعون نظّارات، و 10 تلاميذ يضعون نظّارات في المجموع (ذكورا و إناثا). نختار تلميذا عشوائيا، و نعتبر A «التلميذ ذكر» و B «التلميذ يضع نظّارات».

🎯المطلوب: احسب ⁦p(B|A)⁩ ثمّ ⁦p(A|B)⁩، و قارن بينهما.

📌المعطى: تعداد قسم من 30 تلميذا

نكتب المعطيات المعدودة: 30 تلميذا، 18 ذكرا من بينهم 6 يضعون نظّارات، و 10 تلاميذ يضعون نظّارات في المجموع.

|A| = 18 ; |B| = 10 ; |A∩B| = 6
🔹الخطوة 1: احتمالات A و B و ⁦A∩B⁩

نحسب احتمالات A و B و تقاطعهما بقسمة كل تعداد على 30.

p(A) = 1830 = 35 ; p(B) = 1030 = 13 ; p(A∩B) = 630 = 15
🔹الخطوة 2: الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩

نقسم احتمال التقاطع على احتمال A، لأنّ الشرط هنا هو A.

p(B|A)=1535=13
🔹الخطوة 3: الاحتمال الشرطي ⁦p(A|B)⁩

نقسم احتمال التقاطع على احتمال B هذه المرّة، لأنّ الشرط تغيّر إلى B.

p(A|B)=1513=35
✅النّتيجة

العددان مختلفان تماما رغم أنّهما مبنيّان على نفس التقاطع: هذا يؤكّد أنّ الشرط يغيّر المعنى.

p(B|A)=13 ≠ p(A|B)=35
⭐ هذا المثال هو أفضل حماية من الخلط بين الصيغتين: نفس التقاطع بالضبط (6 تلاميذ)، لكن القسمة على 18 أو على 10 تعطي عددين مختلفين جدّا — القاسم هو الذي يحدّد أيّ احتمال شرطي نحسب.
مثال 3: إيجاد احتمال التقاطع من احتمال شرطي معطى

نعلم أنّ احتمال حادثة A يساوي 0,4، و أنّ الاحتمال الشرطي لتحقّق حادثة B علما أنّ A محقّقة يساوي 0,25.

🎯المطلوب: احسب احتمال تحقّق A و B معا.

📌المعطى: احتمال A و احتمال شرطي

نكتب المعطيين مباشرة: احتمال A، ثمّ احتمال B شرط تحقّق A.

p(A) = 0,4 ; p(B|A) = 0,25
🔹الخطوة 1: تطبيق صيغة التقاطع

نستعمل الصيغة الأولى لاحتمال التقاطع: نضرب احتمال A في الاحتمال الشرطي.

p(A∩B)=p(A) × p(B|A)=0,4 × 0,25
✅النّتيجة

نحسب هذا الجداء.

p(A∩B) = 0,1
⭐ الصيغة ⁦p(A∩B)=p(A)×p(B|A)⁩ تُستعمل غالبا في الاتجاه المعاكس لتعريفها: بدل قسمة معطاة لإيجاد احتمال شرطي، نضرب احتمالا شرطيا معطى لإيجاد التقاطع.
مثال 4: احتمال شرطي في وضعية رمي نردين

نرمي حجري نرد متوازنين مرّة واحدة، و نلاحظ الرقمين الظاهرين على كل منهما. نعتبر الحادثتين A «مجموع الرقمين زوجي» و B «الحصول على 6 على الأقلّ في أحد النردين».

🎯المطلوب: احسب الاحتمال الشرطي لحادثة B علما أنّ A محقّقة.

🔹الخطوة 1: عدد الحالات الممكنة

نعدّ الحالات الممكنة الكلّية: كل نرد له 6 أوجه، و النردان مستقلّان.

|E|=6 × 6=36
🔹الخطوة 2: عدد عناصر A

من بين الحالات الـ36، نعدّ التي يكون فيها المجموع زوجيا.

|A| = 18
🔹الخطوة 3: عدد عناصر ⁦A∩B⁩

من بين حالات A، نعدّ التي تحقّق أيضا ظهور 6 على الأقلّ في أحد النردين.

|A∩B| = 5
✅النّتيجة

نطبّق دستور تساوي الاحتمال: عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A.

p(B|A) = 518
⭐ في وضعية تساوي الاحتمال، أسرع طريق هو العدّ المباشر: لا حاجة لحساب ⁦p(A)⁩ و ⁦p(A∩B)⁩ كنسبتين منفصلتين ثمّ قسمتهما — قسمة التعدادين مباشرة (5 على 18) تعطي نفس النتيجة بخطوة واحدة أقلّ.
الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)⁩ يقارن مساحة ⁦A∩B⁩ بمساحة A وحدها، لا بمساحة المستطيل E كلّه.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤال من نوع: «احسب احتمال B علما أنّ A تحقّقت»، أو في الاتّجاه المعاكس: يُعطى احتمال شرطيّ ويُطلب احتمال التقاطع. جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦p(B|A) = p(A∩B)/p(A)⁩، ويقيس احتمال B بعد أن نعلم أنّ A تحقّقت ؛ ② حالة تساوي الاحتمال: ⁦p(B|A) = |A∩B|/|A|⁩، أي عدد عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر A ؛ ③ صيغتا التقاطع: ⁦p(A∩B) = p(A) × p(B|A) = p(B) × p(A|B)⁩، وهما أداتك كلّما أُعطي احتمال شرطيّ وطُلب التقاطع أو العكس. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ ؛ هما عددان مختلفان في الغالب، فحدّد أوّلا أيّ الحادثتين هي الشرط، أي المعلومة التي تحقّقت. ⚠️ وخطأ ثانٍ: القسمة على عدد عناصر المجموعة كلّها بدل عدد عناصر A في حالة تساوي الاحتمال.
الخلاصة: الاحتمال الشرطي ⁦p(B|A)=p(A∩B)/p(A)⁩ يقيس احتمال B بعد أن نعلم أنّ A تحقّقت، و في حالة تساوي الاحتمال يُختصر إلى عدّ عناصر ⁦A∩B⁩ على عدد عناصر ⁦A⁩. ⁦p(B|A)⁩ و ⁦p(A|B)⁩ عددان مختلفان في الغالب، و من تعريف كل منهما تُشتقّ صيغتا حساب التقاطع ⁦p(A∩B)=p(A)×p(B|A)=p(B)×p(A|B)⁩ — الأداة التي نستعملها كلّما أعطينا احتمالا شرطيا و طُلب منّا التقاطع، أو العكس.

Page 1/6

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net