الإحصاء والاحتمالات
حل مسائل في الاحتمالات الشرطية باستعمال التحليل التوفيقي
هذه الحصّة ليست درسا جديدا: هي منهجية. كلّ أدواتها رأيتها، و الجديد هو ترتيب استعمالها و التعرّف على الإشارات التي يخفيها نصّ التمرين.
- ترجمة عبارات السحب إلى النموذج التوفيقي المناسب
- حساب احتمال شرطي في وضعية تعتمد على العدّ
- توظيف الحادثة العكسية في مسائل «على الأقلّ»
- حساب احتمال شرطي معكوس بالتعريف
- التحقّق من نتيجة بطريق ثان
- الترتيبات و التوفيقات و دساتيرها
- الاحتمال الشرطي و دستور الاحتمالات الكلّية
1. المنهجية في أربع خطوات
- النمذجة: ما هي مجموعة المخارج بالضبط؟ اكتبها بجملة، ثمّ عدّ عناصرها. لا تكتب احتمالا قبل أن تكتب مقامه
- اختيار النموذج: هل الترتيب يهمّ؟ هل هناك إرجاع؟ العبارات في المعطى تجيب
- التقسيم: هل الحادثة اتّحاد حالات منفصلة؟ هل عكسها أبسط؟ هل التجربة على مراحل؟
- التحقّق: عدد بين صفر و واحد، مجموع احتمالات التجزئة يساوي واحدا، و إن أمكن طريق ثان للحساب
2. ثلاثة نماذج للسحب، و ثلاث عبارات تدلّ عليها
كلّ تمارين الاحتمالات في الباكالوريا تقريبا تقوم على أحد ثلاثة نماذج، و كلّ نموذج له عبارته في المعطى و دستوره في العدّ.
الصندوق لا يتغيّر، و الترتيب يهمّ: قائمة. و السحبات مستقلّة، فاحتمال مسار جداء احتمالات مراحله.
الترتيب يهمّ و لا تكرار: ترتيبة. الصندوق يتغيّر بعد كلّ سحبة، فالسحبات مرتبطة و يلزم دستور الجداء بالاحتمالات الشرطية.
لا ترتيب و لا تكرار: توفيقة. و هو النموذج الأنفع لمّا يكون السؤال عن تركيبة السحبة (كم كرية سوداء؟) لا عن ترتيبها.
3. «على الأقلّ» و المتمّمة
العبارة «على الأقلّ» تعني اتّحاد حالات. إن كانت الحالات قليلة فاجمعها، و إن كانت كثيرة فالعكس أقصر. و الحالة الأنفع على الإطلاق: «واحد على الأقلّ» عكسه «و لا واحد»، و هو حالة واحدة.
النسخة العدّية من دستور الحادثة العكسية. تُستعمل قبل حساب الاحتمال، فتُبقيك في الأعداد الصحيحة أطول وقت ممكن.
4. الاحتمال الشرطي المعكوس
السؤال الأخير في تمارين الشجرة يقلب الاتّجاه: نعرف احتمال النتيجة علما بالسبب، و نطلب احتمال السبب علما بالنتيجة. لا دستور جديد هنا — التعريف وحده يكفي، بشرط أن يُكتب أوّلا.
البسط يُحسب بدستور الجداء في الاتّجاه المعروف، و المقام بدستور الاحتمالات الكلّية. اكتب التعريف، ثمّ املأ البسط و المقام كلاّ على حدة: هذا الترتيب وحده يمنع الخلط بين الاتّجاهين.
في مدينة ما، احتمالا ميلاد ذكر و ميلاد أنثى متساويان. نختار عشوائيا عائلة ذات خمسة أطفال، و نرمز للذكر بـ G و للأنثى بـ F.
🎯المطلوب: احسب احتمال الحادثة C: «ثلاثة أطفال على الأقلّ متتابعون من الجنس نفسه».
كلّ عائلة قائمة ذات خمسة عناصر من حرفين.
نعدّ أوّلا الحالات التي فيها ثلاث إناث متتابعات على الأقلّ، ثمّ نضاعف بالتناظر. نصنّفها حسب موضع أوّل ثلاثي متتابع.
الثلاثي في المواضع الثلاثة الأولى: الموضعان الباقيان حرّان، أربعة مخارج.
الثلاثي في المواضع 2 و 3 و 4، و الموضع الأوّل ذكر حتّى لا نكرّر ما سبق: مخرجان.
الثلاثي في المواضع الثلاثة الأخيرة، و الموضع الثاني ذكر لنفس السبب: مخرجان.
فمجموع الحالات الأنثوية ثمانية، لا خمسة.
و بالتناظر تماما بتبديل الحرفين، للذكور ثمانية أيضا، و الصنفان منفصلان لأنّ خمسة مواضع لا تسع ثلاثيّين متعاكسين.
فنقسم على العدد الكلّي.
صندوق فيه ستّ كرات حمراء و ثلاث كرات خضراء، لا نميّز بينها باللمس. نسحب كرتين على التوالي و دون إرجاع. نسمّي A الحادثة «الكرة الأولى حمراء» و B الحادثة «الكرة الثانية خضراء».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تكون الأولى حمراء و الثانية خضراء، بطريقين مختلفين.
الطريق الأوّل بالاحتمال الشرطي: تسع كرات، منها ستّ حمراء.
بعد سحب حمراء دون إرجاع بقيت خمس حمراء و ثلاث خضراء، أي ثمان كرات.
نطبّق دستور الجداء.
الطريق الثاني بالعدّ: عدد الترتيبات ذات عنصرين من تسع كرات.
و الحالات الملائمة: حمراء من ستّ ثمّ خضراء من ثلاث، بالمبدأ الأساسي.
نقسم و نختزل.
صندوقان: الأوّل فيه ستّ كرات بيضاء و ثلاث سوداء، و الثاني فيه أربع بيضاء و خمس سوداء، و لا نميّز بين الكرات باللمس. نأخذ صندوقا عشوائيا ثمّ نسحب منه كرة واحدة عشوائيا. نسمّي B الحادثة «الكرة المسحوبة بيضاء».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تكون الكرة بيضاء، ثمّ احتمال أن تكون قد سُحبت من الصندوق الأوّل علما أنّها بيضاء.
اختيار الصندوق عشوائي بين اثنين، فلكلّ منهما نصف الحظّ.
في الصندوق الأوّل ستّ بيضاء من تسع، و في الثاني أربع من تسع.
الصندوقان يشكّلان تجزئة، فنجمع المسارين.
نوحّد المقامين على تسعة: ستّة أتساع زائد أربعة أتساع، مقسومة على اثنين.
ثمّ نكتب التعريف للاتّجاه المعكوس، و نحسب بسطه بدستور الجداء.
نقسم على احتمال الكرة البيضاء، و القسمة على كسر ضرب في مقلوبه.
فنختزل.
صندوق فيه خمس كريات سوداء و أربع بيضاء، لا نميّز بينها باللمس. نسحب في آن واحد ثلاث كريات. نسمّي A الحادثة «السحبة تحوي سوداء واحدة على الأقلّ» و D الحادثة «السحبة تحوي سوداوين بالضبط».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تحوي السحبة سوداوين بالضبط، علما أنّها تحوي سوداء واحدة على الأقلّ.
السحب في آن واحد من تسع كريات: توفيقة ذات ثلاثة عناصر.
«سوداء واحدة على الأقلّ» عكسه «ثلاث بيضاوات»، و البيضاوات أربع.
و «سوداوان بالضبط» يعني اختيار سوداوين من خمس و بيضاء من أربع، بالمبدأ الأساسي.
و بما أنّ سوداوين تعني حتما سوداء واحدة على الأقلّ، فالتقاطع هو الحادثة نفسها.
نكتب التعريف، و المقام 84 يبسّط لأنّه في البسط و المقام معا.
فنختزل.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net