مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

مجموعات النقط في المستوي المركب

🔊 La maîtresse lit pour toi
حين نكتب « مجموعة النقط M التي تحقّق شرطا ما » فنحن لا نبحث عن نقطة واحدة، بل عن كلّ النقط التي يصدق عليها الشرط دفعة واحدة. و المفاجأة أنّ هذه المجموعة تكون غالبا شكلا هندسيّا نعرفه منذ سنوات: مستقيما أو دائرة أو قطعا مكافئا. فكيف نترجم شرطا مكتوبا بالأعداد المركّبة إلى معادلة في x و y، ثمّ نتعرّف على الشكل الذي تصفه هذه المعادلة؟

الجواب في جملة واحدة: لكلّ نقطة من المستوي لاحقة وحيدة، و لكلّ عدد مركّب صورة وحيدة. فالشرط المفروض على z ليس إلّا شرطا مقنّعا على الإحداثيّين x و y؛ و ما إن نكشف القناع بتعويض z بـ ⁦x + iy⁩ حتّى تصير المسألة معادلة عاديّة نعرف قراءتها. هذا الدرس يعطي هذه الحركة الواحدة، ثمّ يطبّقها على الأنواع الثلاثة من الشروط.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • ترجمة شرط على عدد مركّب z إلى معادلة بين الفاصلة x و الترتيب y
  • تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الجزء الحقيقي أو على الجزء التخيلي
  • تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الطويلة، و التعرّف على الدائرة
  • استعمال الدستور الذي يعطي المسافة بين نقطتين بدلالة لاحقتيهما
  • تعيين مجموعة النقط المعرّفة بشرط على الإحداثيّتين القطبيّتين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الشكل الجبري لعدد مركّب، و الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي
  • أنّ النقطة ذات الفاصلة و الترتيب المعلومين هي صورة العدد الذي هما جزآه
  • حساب طويلة عدد مركّب
  • المعادلة الديكارتيّة لدائرة معلوم مركزها و نصف قطرها، و إتمام المربّع
  • المعادلة الديكارتيّة لقطع مكافئ رأسه المبدأ

1. المبدأ: شرط على z هو معادلة في x و y

المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نُرفق بكلّ عدد مركّب النقطة التي فاصلتها الجزء الحقيقي و ترتيبها الجزء التخيلي، و نسمّي هذه النقطة صورة العدد، و نسمّي العدد لاحقة النقطة. و هذا الترافق تقابل: نقطة واحدة لكلّ عدد، و عدد واحد لكلّ نقطة.

لاحقة نقطة
z = x + i y
xفاصلة النقطة M، و هي الجزء الحقيقي للاحقتهاyترتيب النقطة M، و هو الجزء التخيلي للاحقتها

و من هذا التقابل يخرج محوران لهما اسمان خاصّان: محور الفواصل يسمّى المحور الحقيقي، لأنّ نقطه هي بالضبط صور الأعداد الحقيقيّة؛ و محور التراتيب يسمّى المحور التخيلي، لأنّ صور الأعداد التخيليّة الصّرفة تقع عليه.

المحور الحقيقي هو مجموعة النقط ذات الترتيب المعدوم
y = 0
المحور التخيلي هو مجموعة النقط ذات الفاصلة المعدومة

و هذان أوّل مثالين على درسنا: شرط على z (أن يكون حقيقيّا، أن يكون تخيليّا صرفا) يعطي مجموعة نقط هي مستقيم.

x = 0
  1. 🔎 اقرأ الشرط: هل هو على الجزء الحقيقي أو التخيلي؟ على طويلة؟ على عمدة؟ النوع يقرّر الأداة.
  2. ✍️ عوّض z بـ ⁦x + iy⁩، ثمّ اختزل حتّى تفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي فصلا تامّا.
  3. 🧮 ترجم الشرط إلى معادلة في x و y: انعدام جزء، أو مساواة طويلة بعدد.
  4. 📐 تعرّف على المعادلة: من الدرجة الأولى في x و y فهي مستقيم؛ مجموع مربّعين يساوي ثابتا موجبا فهي دائرة؛ الترتيب بدلالة مربّع الفاصلة فهي قطع مكافئ.
  5. ✅ تحقّق: خذ نقطة واحدة من الشكل الذي وجدتَ، و أعد إدخالها في الشرط الأصلي.
الخطوة الأخيرة ليست ترفا. نقطة واحدة تُختبر في الشرط الأصلي تكشف خطأ في التربيع أو في إتمام المربّع، و لا تكلّف أكثر من سطرين. و هي بالضبط ما يفصل إجابة صحيحة عن إجابة قريبة من الصحيحة.

2. شرط على الجزء الحقيقي أو على الجزء التخيلي

العدد المركّب حقيقي إذا و فقط إذا انعدم جزؤه التخيلي، و تخيلي صرف إذا و فقط إذا انعدم جزؤه الحقيقي. فإذا كان z مقدارا يتعلّق بـ x و y، صار كلّ من الشرطين معادلة.

شرط أن يكون العدد حقيقيّا
Im(z) = 0
شرط أن يكون العدد تخيليّا صرفا

⛔ و انتبه إلى ترتيب العمل: لا يمكن قراءة الجزء الحقيقي و لا الجزء التخيلي قبل أن تُختزل الكتابة اختزالا تامّا و يُوضع الحرف i عاملا مشتركا. قراءة قبل الاختزال هي أوّل مصدر للخطأ في هذا الباب.

Re(z) = 0
مثال 1: الشرط « z حقيقي » يعطي مستقيما

x و y عددان حقيقيّان، و M النقطة ذات الفاصلة x و الترتيب y في المستوي المركّب.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي من أجلها يكون العدد z حقيقيّا.

📌المعطى
z=x² + y (1 + i) - i
🔹الخطوة 1: النشر

ننشر أوّلا: نضرب y في القوس، فيظهر حدّان.

z=x² + y + i y - i
🔹الخطوة 2: فصل الجزأين

ثمّ نجمع الحدود الحقيقيّة معا، و نضع i عاملا مشتركا في الحدّين الآخرين.

z=(x² + y) + i (y - 1)
🔹الخطوة 3: قراءة الجزء التخيلي
Im(z) = y - 1
🔹الخطوة 4: كتابة الشرط

العدد حقيقي إذا و فقط إذا انعدم هذا الجزء.

y - 1 = 0
✅النّتيجة: معادلة المجموعة
y = 1
المعادلة التي وجدناها لا تتضمّن الفاصلة: معناها أنّ الفاصلة حرّة تماما و الترتيب مثبّت. و هذا هو تعريف المستقيم الموازي لمحور الفواصل و الذي يقطع محور التراتيب عند الترتيب 1.
مثال 2: الشرط « z تخيلي صرف » يعطي قطعا مكافئا

العدد z هو نفسه عدد المثال 1، مأخوذا في كتابته المفصولة.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي من أجلها يكون العدد z تخيليّا صرفا.

📌المعطى
z=(x² + y) + i (y - 1)
🔹الخطوة 1: قراءة الجزء الحقيقي

نأخذ الكتابة المفصولة نفسها التي وجدناها في المثال 1، و نقرأ الجزء الحقيقي.

Re(z) = x² + y
🔹الخطوة 2: كتابة الشرط

العدد تخيلي صرف إذا و فقط إذا انعدم هذا الجزء.

x² + y = 0
✅النّتيجة: معادلة المجموعة

نعزل y في طرف.

y = -x²
المعادلة تعطي الترتيب بدلالة مربّع الفاصلة، و معامل المربّع سالب: فالمجموعة قطع مكافئ رأسه المبدأ و تقعّره نحو الأسفل. و لاحظ أنّ مستقيم المثال 1 لا يقطع هذا القطع أبدا: ترتيب القطع سالب أو معدوم دائما، بينما ترتيب المستقيم يساوي 1.
⛔ الصفر حالة حدّيّة يجب أن تسمّيها. العدد 0 جزؤه الحقيقي معدوم و جزؤه التخيلي معدوم معا؛ فهو يدخل في الشرطين. لهذا حين يُطلب منك تخيلي صرف غير معدوم فالمبدأ O يُستثنى من المجموعة، و عليك أن تقول ذلك صراحة بدل أن تتركه للقارئ.

3. شرط على الطويلة: الدائرة

الأداة التي تجعل هذا النوع طبيعيّا هي الدستور الذي يربط طويلة فرق لاحقتين بالمسافة بين النقطتين. و هو دستور واحد يُقرأ في الاتّجاهين: من الحساب إلى الهندسة، و من الهندسة إلى الحساب.

المسافة بين نقطتين بدلالة لاحقتيهما

⭐ هذا هو مفتاح الباب كلّه. فالكتابة « طويلة الفرق تساوي عددا موجبا ثابتا » تقول بلغة الهندسة « المسافة بين النقطة المتحرّكة و نقطة ثابتة تساوي ثابتا »، و هذا هو تعريف الدائرة نفسه.

AB = |zB - zA|
مجموعة النقط المعرّفة بمسافة ثابتة

فالمجموعة هي الدائرة التي مركزها A و نصف قطرها R. و إذا كان R معدوما اختزلت المجموعة إلى النقطة A وحدها.

|z - zA| = R ⟺ AM = R
Rعدد حقيقي موجب تماما، هو نصف قطر الدائرة

و في الحالات التي لا يظهر فيها فرق اللاحقتين جاهزا نعوّض العدد بشكله الجبري، و نحسب الطويلة، و نربّع الطرفين — و التربيع مسموح هنا لأنّ الطرفين موجبان — ثمّ نتمّ المربّعات.

مثال 3: شرط على طويلة، و الدائرة التي يصفها

z عدد مركّب لاحقة للنقطة M في المستوي المركّب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي تحقّق هذه المساواة، ثمّ حدّد مركزها و نصف قطرها.

📌المعطى
|(1 - i) z - 2i| = 2
🔹الخطوة 1: التعويض و النشر

نعوّض z بالشكل الجبري و ننشر الجداء.

(1 - i)(x + i y) - 2i=x + i y - i x - i² y - 2i
🔹الخطوة 2: تعويض مربّع الوحدة التخيليّة

نعوّض i² بـ ⁦−1⁩، فيصير الحدّ ⁦−i² y⁩ مساويا لـ ⁦+y⁩.

(1 - i)(x + i y) - 2i=x + y + i (-x + y - 2)
🔹الخطوة 3: كتابة الطويلة

نحسب الطويلة: جذر مجموع مربّعي الجزأين.

|x + y + i (-x + y - 2)|=√((x + y)² + (-x + y - 2)²)
🔹الخطوة 4: نشر ما تحت الجذر

ننشر المربّعين؛ الحدّان اللذان يحملان الجداء x y متقابلان فيتلاشيان.

(x + y)² + (-x + y - 2)²=2x² + 2y² + 4x - 4y + 4
🔹الخطوة 5: تربيع الطرفين

نربّع الطرفين، و هذا مسموح لأنّهما موجبان معا.

2x² + 2y² + 4x - 4y + 4=4
🔹الخطوة 6: تبسيط الحدّ الثابت

نطرح 4 من الطرفين.

2x² + 2y² + 4x - 4y=0
🔹الخطوة 7: القسمة على 2

ثمّ نقسم الطرفين على 2، فيصير معامل كلّ مربّع مساويا لـ 1.

x² + y² + 2x - 2y=0
🔹الخطوة 8: إتمام المربّعين

نتمّ المربّع في x و في y: نضيف و نطرح 1 في كلّ مرّة.

(x + 1)² - 1 + (y - 1)² - 1=0
✅النّتيجة: معادلة المجموعة

ننقل الحدّين الثابتين إلى الطرف الآخر.

(x + 1)² + (y - 1)²=2
⭐ المجموعة دائرة مركزها النقطة ذات الفاصلة ⁦−1⁩ و الترتيب 1، و نصف قطرها ⁦√2⁩ لا 2: الطرف الأيمن هو مربّع نصف القطر. و تحقّق بنقطة واحدة: النقطة ذات الفاصلة ⁦−1⁩ و الترتيب ⁦1 + √2⁩ تحقّق المعادلة، و إدخالها في الشرط الأصلي يعطي طويلة تساوي 2 بالضبط.
ثلاثة شروط، ثلاثة أشكال: شرط على الجزء التخيلي يعطي مستقيما، شرط على الجزء الحقيقي يعطي قطعا مكافئا، و شرط على الطويلة يعطي دائرة.

4. شرط على الطويلة أو على العمدة مباشرة

حين تُعطى النقطة بإحداثيّتيها القطبيّتين — أي بطويلة لاحقتها و بعمدة لها — تصير بعض المجموعات أبسط ممّا هي على الشكل الجبري: شرط على الطويلة وحدها يعطي دائرة مركزها المبدأ، و شرط على العمدة وحدها يعطي مستقيما يمرّ بالمبدأ.

المجموعة المعرّفة بطويلة ثابتة

لأنّ الطويلة هي المسافة OM: فالشرط يقول إنّ النقطة تبعد عن المبدأ بـ 3 وحدات بالضبط، لا أقلّ و لا أكثر.

|z| = 3
المجموعة المعرّفة بعمدة ثابتة بترديد π

⛔ لاحظ الترديد: هو π و ليس 2π. الترديد 2π يعطي نصف مستقيم مفتوحا، لأنّه يثبّت الاتّجاه و الجهة معا؛ أمّا الترديد π فيسمح بالزاوية و بالزاوية المزادة بـ π، أي بالجهتين معا، فيعطي المستقيم كاملا.

arg(z) ≡ π4 [π]
مثال 4: شرط على الطويلة وحدها

M نقطة من المستوي تختلف عن المبدأ O، إحداثيّتاها القطبيّتان هما r و θ.

🎯المطلوب: عيّن شرطا على r كي تنتمي النقطة M إلى الدائرة التي مركزها O و نصف قطرها 3.

📌المعطى: النقطة تنتمي إلى الدائرة التي مركزها المبدأ و نصف قطرها 3
OM = 3
🔹الخطوة 1: ترجمة المسافة إلى طويلة

المسافة من المبدأ إلى النقطة هي طويلة لاحقتها؛ هذا هو التفسير الهندسي للطويلة.

OM = |z|
🔹الخطوة 2: الطويلة هي الإحداثيّة القطبيّة الأولى

و الإحداثيّة القطبيّة الأولى ليست شيئا آخر: هي الطويلة نفسها.

|z| = r
🔹الخطوة 3: الكتابة الديكارتيّة

و لو أردنا المعادلة الديكارتيّة لكتبنا الطويلة بدلالة الفاصلة و الترتيب.

√(x² + y²) = 3
🔹الخطوة 4: تربيع الطرفين

نربّع الطرفين، و هذا مسموح لأنّهما موجبان معا.

x² + y² = 9
✅النّتيجة: الشرط المطلوب على الإحداثيّة القطبيّة الأولى
r = 3
لاحظ أنّ الشرط لا يتضمّن θ إطلاقا: الزاوية حرّة، و لهذا ندور الدورة كاملة فنحصل على الدائرة بأكملها لا على قوس منها.
مثال 5: شرط على العمدة وحدها

M نقطة من المستوي تختلف عن المبدأ O، إحداثيّتاها القطبيّتان هما r و θ.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي عمدة لاحقتها تساوي ⁦π/4⁩ بترديد π.

📌المعطى: شرط على الإحداثيّة القطبيّة الثانية
θ ≡ π4 [π]
🔹الخطوة 1: الفاصلة

نكتب فاصلة النقطة بدلالة الإحداثيّتين القطبيّتين.

x = r cos(θ)
🔹الخطوة 2: الترتيب

ثمّ نكتب ترتيبها.

y = r sin(θ)
🔹الخطوة 3: النسبة من أجل الزاوية الأولى

نحسب النسبة بين الترتيب و الفاصلة من أجل الزاوية ⁦π/4⁩، و جيبها و جيب تمامها متساويان.

yx=sin(π4)cos(π4)=1
🔹الخطوة 4: النسبة من أجل الزاوية الثانية

و من أجل الزاوية المزادة بـ π: الجيب و جيب التمام يتغيّر كلّ منهما إلى مقابله، فتبقى النسبة على حالها.

yx=sin(π4 + π)cos(π4 + π)=1
✅النّتيجة: معادلة المجموعة
y = x
⛔ المجموعة هي المستقيم الذي وجدنا معادلته، محروما من المبدأ O، لأنّ المبدأ لا عمدة له. و هذا الاستثناء ليس تفصيلا: تركُه يجعل الجواب خاطئا، و ذكرُه يكسب لك العلامة كاملة.
أسئلة « مجموعة النقط » تُطرح في البكالوريا في آخر تمرين الأعداد المركّبة، و تُصحَّح على ثلاثة عناصر: المعادلة الصحيحة، اسم الشكل (مستقيم، دائرة، قطع مكافئ)، و عناصره المميّزة (المركز و نصف القطر، أو الرأس، أو الميل). جواب يعطي المعادلة و يسكت عن الاسم لا يأخذ العلامة كاملة.
و جسر إلى الفيزياء: الشرط « المسافة إلى نقطة ثابتة تساوي ثابتا » هو نفسه الذي يصف سطح الموجة الكرويّة عند لحظة معيّنة. المعادلة واحدة، و المفردات وحدها تتغيّر.
الخلاصة في خمسة أسطر. ① كلّ شرط على لاحقة نقطة هو معادلة مقنّعة بين فاصلتها و ترتيبها؛ و تعويض اللاحقة بشكلها الجبري هو الذي ينزع القناع. ② شرط على الجزء التخيلي أو الحقيقي يعطي، بعد الاختزال، معادلة تُقرأ مباشرة: مستقيم إن كانت من الدرجة الأولى، قطع مكافئ إن ظهر مربّع الفاصلة وحده. ③ شرط على طويلة فرق يعطي دائرة، لأنّ طويلة الفرق هي المسافة بين النقطتين. ④ في الشروط على الطويلة نربّع الطرفين ثمّ نتمّ المربّعات، و الطرف الأيمن الناتج هو مربّع نصف القطر. ⑤ لا تنسَ الحالات المستثناة: المبدأ O لا عمدة له، فكلّ مجموعة معرّفة بعمدة تُحرَم منه.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net