الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
دستور موافر
الجواب في جملة واحدة: الأعداد التي طويلتها 1 تتصرّف في الضرب كما تتصرّف الأسّيّات في الجمع. و ما إن نلاحظ ذلك حتّى يصير الترميز الأسّي طبيعيّا، و يصير دستور موافر نتيجة مباشرة لقاعدة « أسّ الأسّ ». هذا الدرس يبني الملاحظة أوّلا، ثمّ الترميز، ثمّ الدستور، ثمّ يطبّقه في الاتّجاهين.
- كتابة عدد مركّب طويلته 1 بالترميز الأسّي، و تعليل هذا الترميز
- كتابة عدد مركّب غير معدوم على الشكل الأسّي انطلاقا من طويلته و عمدة له
- تطبيق قواعد الحساب على الشكل الأسّي: الجداء و القسمة و المرافق
- كتابة دستور موافر بشكليه، الأسّي و المثلثي، و الربط بينهما
- توظيف دستور موافر لحساب قوّة عدد مركّب و العودة إلى الشكل الجبري
- الانتقال في الاتّجاهين بين الشكل الأسّي و الشكل الجبري
- الشكل المثلثي لعدد مركّب غير معدوم، و كيفيّة الحصول عليه
- خاصّيّتا طويلة و عمدة جداء عددين مركّبين غير معدومين
- خاصّيّة الدالّة الأسّيّة التي تحوّل مجموع عددين إلى جداء صورتيهما
- قيم جيب التمام و الجيب للزوايا المألوفة
- الاستدلال بالتراجع على عدد طبيعي
1. الملاحظة المؤسّسة: الضرب يجمع الزوايا
لنقتصر أوّلا على الأعداد التي طويلتها 1، أي على صور نقط الدائرة المثلثيّة. عدد كهذا يُحدَّد بزاويته وحدها. نعرّف إذن الدالّة التي ترفق بكلّ عدد حقيقي θ العدد المركّب الذي طويلته 1 و θ عمدة له.
و السؤال الوحيد الذي يُطرح الآن هو: ما علاقة صورة المجموع بجداء الصورتين؟ نحسب الطرفين و نقارن. أوّلا صورة المجموع، بتطبيق دستوري الجمع في حساب المثلّثات.
عوّضنا جيب تمام المجموع و جيب المجموع بدستوريهما، لا أكثر.
و الآن الطرف الآخر: جداء الصورتين، بالنشر الجبري العادي.
ننشر القوسين حدّا حدّا؛ الحدّ الذي يحمل i² يعطي −sin(θ) sin(θ') فينضمّ إلى الجزء الحقيقي، و الحدّان الآخران ينضمّان إلى الجزء التخيلي.
2. ترميز أولر و الشكل الأسّي
⭐ هذا ترميز، أي تسمية جديدة لشيء نعرفه، و ليس عمليّة جديدة. العدد المكتوب هكذا طويلته 1 و θ عمدة له، لا أكثر و لا أقلّ.
و منه يُكتب كلّ عدد مركّب غير معدوم على شكل يسمّى الشكل الأسّي: يكفي أن نُخرج الطويلة أمام الترميز، تماما كما كنّا نُخرجها أمام القوس في الشكل المثلثي.
الشكل الأسّي و الشكل المثلثي كتابتان للشيء نفسه: r أمام الاثنين، و θ داخلهما. الأسّي أخصر، و المثلثي يُظهر الجزأين الحقيقي و التخيلي حين نحتاج إليهما.
لأنّ مجموع مربّعي جيب التمام و الجيب لزاوية واحدة يساوي 1 دائما.
العدد معطى على الشكل الجبري.
🎯المطلوب: اكتب العدد z₁ على الشكل الأسّي.
نحسب الطويلة أوّلا.
ثمّ جيب تمام العمدة، بقسمة الجزء الحقيقي على الطويلة.
و جيب العمدة، بقسمة الجزء التخيلي على الطويلة.
القيمتان موجبتان و متساويتان: الزاوية هي منصّف الرّبع الأوّل.
العدد معطى على الشكل الجبري، و جزؤه الحقيقي سالب.
🎯المطلوب: اكتب العدد z₂ على الشكل الأسّي، مع تعليل اختيار الرّبع.
نحسب الطويلة: مربّع الجذر 3 هو 3، و مربّع 1 هو 1، و مجموعهما 4.
جيب تمام العمدة سالب، لأنّ الفاصلة سالبة.
و جيب العمدة موجب، لأنّ الترتيب موجب.
جيب التمام سالب و الجيب موجب: النقطة في الرّبع الثاني.
3. قواعد الحساب على الشكل الأسّي
قواعد الحساب الثلاث ليست جديدة: هي خواصّ الطويلة و العمدة نفسها، مكتوبة بالترميز الجديد. و هي أخصر بكثير، و هذا هو كلّ ربحها.
لأنّ المرافق يبقي جيب التمام و يغيّر إشارة الجيب، و هذا بالضبط ما يفعله تغيير θ إلى مقابلها.
4. دستور موافر
الآن يُكتب الدستور في سطر واحد. و برهانه بالاستدلال بالتراجع على n، انطلاقا من قاعدة الجداء التي رأيناها للتوّ.
- التحقّق من أجل الأسّ 1: الطرفان يساويان صورة الزاوية θ نفسها.
- الفرضيّة: نفترض أنّ الخاصّيّة صحيحة من أجل عدد طبيعي k غير معدوم، أي أنّ صورة الزاوية θ مرفوعة إلى القوّة k تساوي صورة الزاوية k مضروبة في θ.
- الانتقال إلى k + 1: نكتب القوّة k + 1 على أنّها جداء القوّة k في العامل الأصلي، ثمّ نطبّق قاعدة الجداء: تُجمع الزاويتان، فتُعطي k مضروبة في θ ثمّ مزادة بـ θ، أي k + 1 مضروبة في θ.
- الخلاصة: الخاصّيّة صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم.
⭐ الكتابتان لدستور واحد: يكفي أن تعوّض الترميز الأسّي بما يساويه. و هذه الكتابة الثانية هي الصّيغة التاريخيّة، تلك التي اكتشفها موافر.
و ما دام كلّ عدد مركّب غير معدوم يُكتب على الشكل الأسّي، فإنّ الدستور يعطي القوّة النونيّة لأيّ عدد مركّب غير معدوم، لا للأعداد ذات الطويلة 1 وحدها.
لأنّ الطويلة عدد حقيقي موجب فتخرج من القوّة بمفردها، و يبقى الترميز الأسّي الذي يطبّق عليه الدستور.
5. توظيف الدستور: حساب قوّة كبيرة
الطريقة واحدة في كلّ مرّة، و هي في ثلاث حركات: نكتب الأساس على الشكل المثلثي أو الأسّي، ثمّ نطبّق الدستور فترتفع الطويلة إلى القوّة n و تُضرب الزاوية في n، ثمّ نعود إلى الشكل الجبري إن كان مطلوبا. و الحركة الأولى هي التي تحمل كلّ الخطر: من أخطأ في طويلة الأساس أو في عمدته سقط كلّ ما بعدهما.
المطلوب قوّة سادسة لعدد مركّب معطى على الشكل الجبري.
🎯المطلوب: احسب العدد z₃ بتوظيف دستور موافر، ثمّ أعطِ شكله الجبري.
نبدأ بالأساس: طويلته جذر مجموع 3 و 1.
نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة.
ثمّ الجزء التخيلي على الطويلة نفسها؛ القيمتان موجبتان: الزاوية في الرّبع الأوّل.
نطبّق الدستور: الطويلة ترتفع إلى القوّة 6، و الزاوية تُضرب في 6.
نحسب: 2 مرفوعا إلى القوّة 6 يساوي 64، و 6 مضروبة في π/6 تساوي π.
جيب تمام π يساوي −1 و جيب π يساوي 0.
المطلوب قوّة ثامنة لعدد مركّب معطى على الشكل الجبري.
🎯المطلوب: احسب العدد z₄ بتوظيف دستور موافر، و أعطِ شكله الجبري النهائي.
طويلة الأساس: جذر مجموع 1 و 1.
الفاصلة موجبة و الترتيب سالب: الزاوية في الرّبع الرابع.
نطبّق الدستور: الطويلة ترتفع إلى القوّة 8 و الزاوية تُضرب في 8.
جذر 2 مرفوعا إلى القوّة 8 يساوي 2 مرفوعا إلى القوّة 4، أي 16.
و 8 مضروبة في π/4 تساوي 2π، فالزاوية هي مقابل 2π.
و الزاوية −2π دورة كاملة، فصورتها هي صورة الزاوية المعدومة، أي 1.
6. الاتّجاه المعاكس: من الشكل الأسّي إلى الشكل الجبري
العودة من الشكل الأسّي إلى الشكل الجبري لا تحتاج إلى شيء جديد: نستبدل الترميز بما يساويه، ثمّ نعوّض جيب التمام و الجيب بقيمتيهما، ثمّ ننشر.
العدد معطى على الشكل الأسّي.
🎯المطلوب: اكتب العدد z₅ على الشكل الجبري.
نستبدل الترميز الأسّي بالشكل المثلثي الذي يساويه.
نعوّض القيمتين المألوفتين للزاوية π/3.
ننشر الضرب في 2 على الحدّين.
العدد معطى على الشكل الجبري، و جزآه سالبان معا.
🎯المطلوب: اكتب العدد z₆ على الشكل الأسّي.
نحسب الطويلة: مربّع 3 مرّتين، أي 18، و جذره.
نبسّط الجذر: 18 = 9 × 2، و جذر 9 هو 3.
نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة، و نُنطق المقام.
و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة نفسها؛ القيمتان سالبتان: الرّبع الثالث.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net