مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد والحساب القسمة في Z

قابلية القسمة في ℤ و استعمال خواصها

🔊 La maîtresse lit pour toi
تعرف منذ المتوسّط أنّ 6 يقسم 48، و تتحقّق منه في سطر: ⁦48 = 8 × 6⁩. لكنّ سؤال الباكالوريا لا يعطي عددين معلومين، بل يقول «عيّن الأعداد الصحيحة n حيث ⁦3n + 8⁩ يقسم ⁦n + 6⁩»، و هنا العددان يتغيّران معا و لا شيء يُحسب. فكيف نبرهن على قابلية القسمة لمّا لا يكون أيّ من العددين معلوما؟

الجواب في كلمة واحدة: التركيب الخطّي. لن نحسب شيئا، بل ننقل قابلية القسمة من عبارة إلى أخرى بالخواص، إلى أن تصير العبارة المجهولة قاسما لعدد ثابت — و عندئذ يكفي سرد قواسم ذلك العدد. و هذا الدرس كلّه هو تعلّم اختيار التركيب المناسب.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • استعمال تعريف قابلية القسمة في ℤ للبرهان على أنّ عددا يقسم آخر
  • توظيف الخواص الأربع لنقل قابلية القسمة دون أيّ حساب عددي
  • تعيين الأعداد الصحيحة التي تحقّق علاقة قابلية قسمة، في الحالات الثلاث
  • إثبات أنّ كلّ قاسم مشترك لعبارتين يقسم عددا ثابتا
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الحساب في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية و قواعد الإشارة
  • النشر و التحليل و حلّ نظام معادلتين من الدرجة الأولى

1. التعريف، و ما لا يحتويه

ليكن a و b عددين صحيحين، مع a غير معدوم. نقول إنّ a يقسم b إذا وُجد عدد صحيح k حيث ⁦b = ka⁩. نكتب ⁦a | b⁩، و نقرأ «a يقسم b». و نقول كذلك إنّ a قاسم للعدد b، أو إنّ b مضاعف للعدد a.

تعريف قابلية القسمة

⭐ انظر ما لا يحتويه التعريف: لا قسمة، و لا كسر، و لا عدد عشري. للبرهان على أنّ a يقسم b نُظهر عاملا صحيحا، لا أكثر. من فهم هذا فهم الباب.

a | b ⟺ (∃ k ∈ ℤ) b = k a
aالقاسم، عدد صحيح غير معدومbالمضاعف، عدد صحيح كيفيkالعدد الصحيح الذي يشهد على القسمة
قاسم موجب
48 = 8 × 6 ⟹ 6 | 48 ; 8 | 48
القاسم قد يكون سالبا
48 = (−8) × (−6) ⟹ (−6) | 48 ; (−8) | 48
مضاعف سالب
−65 = (−13) × 5 ⟹ 5 | (−65) ; (−13) | (−65)
⭐ للعددين a و ⁦(−a)⁩ نفس القواسم في ℤ. فإذا سُئلت عن قواسم عدد سالب فاشتغل على قيمته المطلقة. و تذكّر حالتين حدّيتين تُنسيان دائما: كلّ عدد صحيح غير معدوم يقسم 0 لأنّ ⁦0 = 0 × a⁩، و العدد 1 يقسم كلّ عدد صحيح.

2. الخواص الأربع: أدوات النقل

الخواص الأربع الموالية هي قلب هذا الدرس، و ليست قائمة تُحفظ. كلّ واحدة تنقلك من قابلية قسمة معلومة إلى أخرى جديدة دون أن تحسب عددا واحدا. و برهانها كلّه هو التعريف: نكتب المضاعف في صيغة جداء، ثمّ نُظهر عاملا صحيحا جديدا.

خاصية 1: التعدّي

من ⁦b = ka⁩ و ⁦c = k'b⁩ نجد ⁦c = k'(ka) = (kk')a⁩، و العدد kk' صحيح لأنّه جداء عددين صحيحين. العامل الجديد هو الجداء kk'.

(a | b ; b | c) ⟹ a | c
خاصية 2: الضرب في عدد صحيح

من ⁦b = ka⁩ نضرب الطرفين في m فنجد ⁦mb = (mk)a⁩. هذه هي الخاصية التي تسمح بتكبير عبارة لتصير قابلة للمقارنة بأخرى — و بها تبدأ الحالة الثالثة.

a | b ⟹ (∀ m ∈ ℤ) a | m b
خاصية 3: توسيع الطرفين

من ⁦b = ka⁩ نضرب في m فنجد ⁦mb = k(ma)⁩، و العامل الصحيح هنا هو k نفسه. ⛔ لا تخلط بينها و بين الخاصية 2: هناك يتضخّم المضاعف وحده، و هنا يتضخّم القاسم و المضاعف معا.

a | b ⟹ (∀ m ∈ ℤ*) m a | m b
خاصية 4: التركيب الخطّي

⭐ من ⁦b = ka⁩ و ⁦c = k'a⁩ نجد ⁦mb + nc = (mk + nk')a⁩. هذه أقوى أداة في الباب: كلّ قاسم مشترك لعددين يقسم كلّ تركيب خطّي لهما — المجموع، و الفرق، و كلّ ما يمكن بناؤه منهما.

(a | b ; a | c) ⟹ (∀ m ∈ ℤ)(∀ n ∈ ℤ) a | (m b + n c)
⭐ الحالة الخاصّة التي تحلّ نصف التمارين: خذ ⁦m = 1⁩ و ⁦n = −1⁩ في الخاصية 4، فتجد أنّ كلّ قاسم مشترك للعددين b و c يقسم الفرق ⁦b − c⁩. و متى كان الفرق عددا ثابتا لا يتعلّق بالمجهول، تكون المسألة قد انتهت.
⛔ الخواص لا تُقرأ في الاتّجاه المعاكس. من «a يقسم mb» لا يُستنتج أنّ a يقسم b: العدد 6 يقسم ⁦2 × 3⁩ لكنّه لا يقسم 2 و لا يقسم 3. الاتّجاه جزء من الخاصية، و قلبه خطأ يتكرّر في كلّ دورة.

3. الحالات الثلاث، و طريقة كلّ واحدة

كلّ تمرين على قابلية القسمة في ℤ يعود إلى إحدى ثلاث صيغ، و لكلّ صيغة طريقتها. تعرَّف على الصيغة أوّلا، فالطريق يتحدّد وحده بعدها.

  1. عدد معلوم يقسم عبارة: نستعمل التعريف مباشرة، و الجواب عائلة لا نهائية موصوفة بوسيط صحيح
  2. عبارة تقسم عددا معلوما: نساوي بين العبارة و قواسم ذلك العدد، الموجبة و السالبة، و الجواب قائمة منتهية
  3. عبارة تقسم عبارة: نبني تركيبا خطّيا يحذف المجهول، فترجع المسألة إلى الحالة الثانية
⭐ علامة الحالة الثالثة: المجهول يظهر في الطرفين معا. عندئذ اضرب العبارة الصغرى بالخاصية 2 حتّى يصير معامل المجهول فيها مساويا لمعامله في الأخرى، ثمّ اطرح بالخاصية 4 — فيختفي المجهول و يبقى عدد ثابت.
مثال 1: الخواص الأربع على عدد واحد

ننطلق من العدد 48 و من كتابته الجدائية ⁦48 = 8 × 6⁩، و نطبّق عليه الخواص الأربع واحدة واحدة.

🎯المطلوب: أثبت أنّ 4 يقسم 48، ثمّ استنتج بالخواص أنّ 6 يقسم 240، و أنّ 30 يقسم 240، و أنّ 6 يقسم العدد ⁦2 × 48 − 240⁩.

🔹الخطوة 1: التعريف

نبدأ من كتابة جدائية للعدد 48، فنقرأ منها قاسمين.

48 = 8 × 6 ⟹ 6 | 48 ; 8 | 48
🔹الخطوة 2: خاصية 1

العدد 8 مضاعف للعدد 4، فبالخاصية 1 ننتقل من 4 إلى 48 دون قسمة.

8 = 4 × 2 ⟹ 4 | 8 ; (4 | 8 ; 8 | 48) ⟹ 4 | 48
🔹الخطوة 3: التحقّق

و نتحقّق بإظهار العامل الصحيح.

48 = 4 × 12
🔹الخطوة 4: خاصية 2

بالخاصية 2 نضرب المضاعف وحده في 5، و نُظهر العامل الصحيح للتحقّق.

5 × 48 = 240 ; 240 = 6 × 40 ⟹ 6 | 240
🔹الخطوة 5: خاصية 3

و بالخاصية 3 نضرب القاسم و المضاعف معا في 5.

5 × 6 = 30 ; 240 = 30 × 8 ⟹ 30 | 240
✅النّتيجة

و أخيرا نركّب المضاعفين خطّيا بالخاصية 4، فيبقى العدد الناتج مضاعفا للعدد 6.

2 × 48 − 240 = 96 − 240 = −144 ; −144 = 6 × (−24)
⭐ لاحظ أنّ أيّ خطوة لم تحتج إلى قسمة. كلّ ما فُعل هو إظهار عامل صحيح في كلّ مرّة: 12 في الخطوة 3، ثمّ 40 في الخطوة 4، و ⁦(−24)⁩ في الأخيرة. هذه هي الحركة التي ستكرّرها في كلّ تمرين، حتّى لمّا تصير الأعداد عبارات.
مثال 2: عدد معلوم يقسم عبارة

هذه هي الصيغة الأولى من الصيغ الثلاث: القاسم معلوم و المضاعف عبارة.

🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث 11 يقسم ⁦n + 5⁩.

🔹الخطوة 1: كتابة التعريف

العدد 11 هو القاسم و هو معلوم، فالطريق هو التعريف.

11 | (n + 5) ⟺ (∃ k ∈ ℤ) n + 5 = 11 k
🔹الخطوة 2: العزل

نعزل n، و لا شيء آخر يُفعل.

n = 11 k − 5
🔹الخطوة 3: تحقّق

نتحقّق بقيمة واحدة لنطمئنّ.

k = 0 ⟹ n = −5 ; n + 5 = 0 = 11 × 0
✅النّتيجة

فالحلول عائلة كاملة، لا قائمة منتهية.

n = 11 k − 5 ; k ∈ ℤ
⭐ الجواب هنا لا نهائي، و هذا طبيعي: كتابة ⁦⁦11k − 5⁩⁩ تصف كلّ الحلول دفعة واحدة. ⛔ من بحث عن قائمة منتهية في هذه الصيغة أضاع الوقت — موقع المجهول هو الذي يقرّر شكل الجواب.
مثال 3: عبارة تقسم عددا معلوما

هذه هي الصيغة الثانية: الأدوار انقلبت، فالعبارة صارت هي القاسم و العدد المعلوم هو المقسوم.

🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث ⁦3n + 5⁩ يقسم 8.

🔹الخطوة 1: قواسم العدد 8

العدد 8 هو المقسوم و هو معلوم، فنسرد قواسمه كلّها، الموجبة و السالبة.

D = {−8 ; −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8}
🔹الخطوة 2: الحالات الثماني

العبارة قاسم للعدد 8، إذن هي واحد من هذه الأعداد الثمانية.

3n + 5 ∈ {−8 ; −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8}
🔹الخطوة 3: الطرح

نطرح 5 من كلّ حالة.

3n ∈ {−13 ; −9 ; −7 ; −6 ; −4 ; −3 ; −1 ; 3}
🔹الخطوة 4: الفرز

نحتفظ بمضاعفات 3 وحدها، لأنّ 3n مضاعف للعدد 3 دائما.

−9 = 3 × (−3) ; −6 = 3 × (−2) ; −3 = 3 × (−1) ; 3 = 3 × 1
🔹الخطوة 5: الحالات المرفوضة

و القيم الأربع الباقية ترفض، فليس لها حلّ في ℤ.

−13 ; −7 ; −4 ; −1
✅النّتيجة

فنقرأ قيم n في الحالات المقبولة.

n ∈ {−3 ; −2 ; −1 ; 1}
⭐ الخطأ الأكثر تكرارا في هذه الصيغة هو نسيان القواسم السالبة: من سرد ⁦{1 ; 2 ; 4 ; 8}⁩ وحدها فقد نصف الحلول. ⚖️ و لاحظ الخطوة 4: مضاعفات 3 وحدها تعطي حلولا، لأنّ 3n لا يمكن أن يساوي عددا ليس مضاعفا للعدد 3.
مثال 4: عبارة تقسم عبارة

هذه هي الصيغة الثالثة، و هي أكثرها ورودا في الامتحان: العبارتان مجهولتان معا.

🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث ⁦3n + 8⁩ يقسم ⁦n + 6⁩.

🔹الخطوة 1: الضرب في 3

لا تُسرد قواسم عبارة متغيّرة، فنكبّر العبارة الثانية بالخاصية 2 حتّى يتساوى معامل المجهول في الطرفين.

(3n + 8) | (n + 6) ⟹ (3n + 8) | (3n + 18)
🔹الخطوة 2: الفرق

العبارة تقسم نفسها، فبالخاصية 4 تقسم الفرق، و الفرق عدد ثابت.

(3n + 18) − (3n + 8) = 10 ⟹ (3n + 8) | 10
🔹الخطوة 3: قواسم العدد 10

و ها قد رجعنا إلى الصيغة الثانية بالضبط.

D = {−10 ; −5 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10}
🔹الخطوة 4: الحالات الثماني

نساوي بين العبارة و كلّ قاسم، ثمّ نطرح 8.

3n ∈ {−18 ; −13 ; −10 ; −9 ; −7 ; −6 ; −3 ; 2}
🔹الخطوة 5: الفرز

نحتفظ بمضاعفات 3 وحدها.

−18 = 3 × (−6) ; −9 = 3 × (−3) ; −6 = 3 × (−2) ; −3 = 3 × (−1)
🔹الخطوة 6: حساب العبارتين

نعوّض القيم الأربع، بالترتيب، في العبارتين.

3n + 8 ∈ {−10 ; −1 ; 2 ; 5} ; n + 6 ∈ {0 ; 3 ; 4 ; 5}
🔹الخطوة 7: التحقّق العكسي

و نتحقّق عكسيا من كلّ قيمة: القسمة محقّقة في الحالات الأربع، و في الأولى لأنّ كلّ عدد غير معدوم يقسم 0.

(−10) | 0 ; (−1) | 3 ; 2 | 4 ; 5 | 5
✅النّتيجة

فالقيم الأربع كلّها مقبولة.

n ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; −1}
⭐ الخطوة 6 جزء من الجواب، لا زيادة عليه. بعد الفرز نعوّض كلّ قيمة و نتأكّد بأنّ العبارة الأولى تقسم الثانية فعلا: ⁦n = −6⁩ يعطي ⁦−10⁩ و 0، و كلّ عدد غير معدوم يقسم 0؛ و ⁦n = −2⁩ يعطي 2 و 4، و 2 يقسم 4. ⛔ التحقّق العكسي هو الذي يحمي من قيمة ضائعة أو قيمة زائدة.
مثال 5: كلّ قاسم مشترك يقسم عددا ثابتا

ليكن n عددا صحيحا، و ليكن العددان الصحيحان ⁦a = 5n − 2⁩ و ⁦b = 2n + 3⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ كلّ قاسم مشترك للعددين a و b يقسم العدد 19.

🔹الخطوة 1: الفرضية

نسمّي قاسما مشتركا كيفيّا، دون محاولة تعيينه.

d | a ; d | b
🔹الخطوة 2: اختيار التركيب

بالخاصية 4 يقسم d كلّ تركيب خطّي للعددين، فنختار المعاملين اللذين يحذفان n.

d | (5 b − 2 a)
🔹الخطوة 3: النشر

ننشر التركيب بالعبارتين المعطاتين.

5(2n + 3) − 2(5n − 2)=10n + 15 − 10n + 4
✅النّتيجة

فيختفي الحدّ الذي يحمل n و يبقى عدد ثابت.

5(2n + 3) − 2(5n − 2)=10n + 15 − 10n + 4=19
⭐ كيف يُختار المعاملان 5 و ⁦(−2)⁩؟ معامل n في a هو 5، و في b هو 2: نضرب b في 5 و a في 2 ثمّ نطرح، فيختفي المجهول. ⚖️ و هذا السؤال هو المدخل النموذجي لكلّ تمرين حساب في الباكالوريا: بعده تُسرد قواسم العدد الثابت، و تُقرأ منها كلّ الأجوبة.
⛔ في الباكالوريا يُنقّط تمرين قابلية القسمة على الحركة بقدر ما يُنقّط على الجواب: اكتب التعريف صراحة، سمِّ الخاصية التي استعملتها في كلّ سطر، و اسرد القواسم الموجبة و السالبة. و لا تُنهِ تمرينا دون تحقّق عكسي مكتوب — إغفاله يكلّف نصف نقطة السؤال.
الخلاصة: «a يقسم b» تعني وجود عدد صحيح k حيث ⁦b = ka⁩، فالبرهان هو إظهار عامل صحيح لا إجراء قسمة. و الخواص الأربع تنقل قابلية القسمة دون حساب: التعدّي، و الضرب في عدد، و توسيع الطرفين، و أقواها التركيب الخطّي. أمّا التمارين فترجع كلّها إلى ثلاث صيغ: قاسم معلوم فالتعريف و عائلة لا نهائية؛ مقسوم معلوم فسرد القواسم و قائمة منتهية؛ و عبارتان مجهولتان فتركيب خطّي يحذف المجهول و يعيد المسألة إلى الصيغة الثانية.

Page 1/9

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net