الأعداد والحساب › القسمة في Z
القسمة الإقليدية، القاسم المشترك الأكبر و خوارزمية إقليدس
الجواب في سطر، و بقيّة الدرس تبنيه. ما يضمن الحاصل و الباقي هو مبرهنة: بين مضاعفين متتابعين للعدد 7 يقع عددك، و لا يقع بين غيرهما، فالثنائية وحيدة. و لأنّ كلّ قسمة إقليدية تحفظ القواسم المشتركة للعددين، فإنّ تكرارها — و هو خوارزمية إقليدس — ينزل بنا في خطوات قليلة إلى القاسم المشترك الأكبر.
- البرهان على وجود و وحدانية حاصل و باقي القسمة الإقليدية
- إنجاز القسمة الإقليدية لعدد صحيح، سالبا كان أو موجبا، على عدد غير معدوم
- تعيين مجموعة قواسم عدد طبيعي و استخراج القواسم المشتركة لعددين
- حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين بخوارزمية إقليدس
- الصعود في سلسلة القسمات لكتابة القاسم المشترك الأكبر بدلالة العددين
- معنى أنّ عددا صحيحا يقسم عددا صحيحا آخر
- ترتيب الأعداد الصحيحة و مقارنة المضاعفات المتتابعة
- القيمة المطلقة لعدد صحيح غير معدوم
① القسمة الإقليدية في ℤ
ليكن a عددا صحيحا و b عددا طبيعيا غير معدوم. المبرهنة الآتية هي أساس كلّ ما يأتي بعدها في هذا الدرس: هي التي تسمح بالكلام عن الحاصل و الباقي بأداة التعريف، أي بوصفهما عددين وحيدين لا اثنين غيرهما.
البرهان. العدد a إمّا مضاعف للعدد b و إمّا محصور بين مضاعفين متتابعين له. في الحالتين يوجد عدد صحيح وحيد q يحقّق التأطير الآتي، و منه يُبنى الباقي.
نطرح q×b من كلّ طرف: الطرف الأيمن يعطي (q+1)×b − q×b أي b، و الطرف الأيسر يعطي صفرا. الترتيب محفوظ لأنّ الطرح بعدد واحد لا يغيّره.
يمكن قسمة عدد صحيح a على عدد صحيح b غير معدوم، سالبا كان أو موجبا. الشرط على الباقي يصير بالقيمة المطلقة للقاسم، لأنّ الباقي يبقى دائما موجبا أو معدوما.
نعود إلى التقويم: أوّل جانفي 2007 كان يوم الاثنين، و نريد اليوم الذي يقع بعده بمئة يوم. القسمة على 7 هي كلّ الأداة.
🎯المطلوب: عيّن حاصل و باقي القسمة الإقليدية للعدد 100 على العدد 7.
نبحث عن حاصل قسمة 100 على 7: نؤطّر بمضاعفين متتابعين.
فالحاصل هو 14، و الباقي هو الفرق بين المقسوم و الجداء.
نتأكّد من الشرط على الباقي قبل كتابة الجواب.
و نكتب القسمة الإقليدية كاملة.
المبرهنة تقبل مقسوما سالبا، و الملاحظة تمدّدها إلى قاسم سالب. نجرّب الحالتين على العدد نفسه لنرى ما الذي يتغيّر و ما الذي يبقى.
🎯المطلوب: عيّن حاصل و باقي القسمة الإقليدية للعدد −25 على العدد 7، ثمّ على العدد −7.
نبحث عن حاصل قسمة −25 على 7: نؤطّر بين مضاعفين متتابعين، و انتبه إلى أنّ الترتيب في الأعداد السالبة معكوس عمّا تظنّ.
فالحاصل هو −4، و الباقي هو الفرق بين المقسوم و الجداء.
نتأكّد من الشرط: الباقي موجب و أصغر تماما من القاسم.
نمرّ الآن إلى قاسم سالب، فيصير الشرط بالقيمة المطلقة.
و نكتب القسمتين.
② مجموعة قواسم عدد طبيعي
ليكن a عددا طبيعيا غير معدوم. نرمز بـ Dₐ إلى مجموعة قواسم العدد a، أي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تقسمه. تعيينها لا يحتاج إلى أكثر ممّا تعرفه: نجرّب الأعداد الطبيعية واحدا واحدا و نحتفظ بتلك التي يكون باقي القسمة عليها معدوما.
③ القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين
ليكن a و b عددين طبيعيين غير معدومين. تقاطع مجموعتي قواسمهما هو مجموعة القواسم المشتركة للعددين. هذه المجموعة ليست فارغة أبدا لأنّ العدد 1 يقسم كلّ عدد، و هي منتهية لأنّ كلّ قاسم لـ a أصغر من a أو يساويه. مجموعة منتهية و غير فارغة من الأعداد الطبيعية لها أكبر عنصر: هذا العنصر هو القاسم المشترك الأكبر للعددين.
أكبر قاسم للعدد a هو a نفسه؛ و العدد 1 ليس له سوى القاسم 1؛ و كلّ قاسم للعدد a يقسم 0، فالقواسم المشتركة للعددين 0 و a هي قواسم a، و أكبرها a.
نبقى في الأعداد الصغيرة حيث يمكن كتابة كلّ القواسم، لنرى التعريف يشتغل أمامنا قبل أن نستبدله بخوارزمية أسرع.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة قواسم العدد 8 و مجموعة قواسم العدد 12، ثمّ استنتج قاسمهما المشترك الأكبر.
نبحث عن الأعداد التي تقسم 8 بكتابته جداء عاملين بكلّ الطرق الممكنة.
و نفعل الشيء نفسه مع العدد 12.
نجمع ما وجدناه في مجموعتين.
نحتفظ بالعناصر الموجودة في المجموعتين معا.
و نأخذ أكبر عنصر من هذا التقاطع.
④ الخاصية التي تسند الخوارزمية
كتابة كلّ القواسم طريقة صحيحة لكنّها بطيئة. الفكرة التي تغيّر كلّ شيء هي أنّ قسمة إقليدية واحدة تستبدل المسألة بمسألة أصغر منها، دون أن تغيّر الجواب.
البرهان. نبيّن أنّ للثنائيتين نفس مجموعة القواسم المشتركة؛ و إذا تساوت مجموعتان تساوى أكبر عنصر فيهما.
نفرض أنّ d يقسم a و يقسم b، فنكتب كلّا منهما جداء d في عدد صحيح. نعوّض في المساواة السابقة و نُخرج d عاملا مشتركا: يظهر أنّ d يقسم r.
و بالعكس، نفرض أنّ e يقسم b و يقسم r، و نعوّض في المساواة الأولى. يظهر أنّ e يقسم a. البرهان العكسي ضروري: لكي تتساوى مجموعتان يجب أن تُبرهن على الاحتواء في الاتجاهين.
⑤ خوارزمية إقليدس
ليكن a و b عددين طبيعيين غير معدومين حيث a > b. نطبّق الخاصية السابقة مرّة بعد مرّة: نقسم، ثمّ نُسقط المقسوم و نضع القاسم مكانه و الباقي مكان القاسم، و نعيد.
إذا انعدم الباقي فإنّ b يقسم a، و أكبر قاسم للعدد b هو b نفسه، فهو القاسم المشترك الأكبر للعددين.
كلّ باق أصغر تماما من القاسم الذي أنتجه، و كلّها أعداد طبيعية. فالسلسلة لا يمكن أن تطول إلى ما لا نهاية: لا بدّ أن تصل إلى الصفر.
مثال على الحالة الأولى، حيث تنتهي الخوارزمية من أوّل خطوة: نقسم 1500 على 250.
الترتيب في جدول. لتفادي الخلط بين المقسوم و القاسم و الباقي، نرتّب القسمات في جدول من ثلاثة صفوف يُقرأ من اليمين إلى اليسار: صفّ الحاصل، صفّ المقسوم و القاسم، صفّ الباقي. الجدول الموالي يبيّن هذا الترتيب على العددين 8700 و 9150.
هذان عددان لا تنفع معهما كتابة كلّ القواسم: 1631 و 932 كبيران، و لا تظهر بينهما أيّ علاقة بالنظر. ثلاث قسمات تكفي.
🎯المطلوب: عيّن القاسم المشترك الأكبر للعددين 1631 و 932 بخوارزمية إقليدس.
نقسم الأكبر على الأصغر. الحاصل 1 لأنّ 932 يدخل مرّة واحدة في 1631.
الباقي 699 غير معدوم و هو أصغر تماما من 932، فنواصل: القاسم يصير مقسوما و الباقي يصير قاسما.
نبحث عن حاصل قسمة 699 على 233: نجرّب المضاعفات.
الجداء ساوى المقسوم تماما، فالباقي معدوم و الخوارزمية تتوقّف.
آخر باق غير معدوم في السلسلة هو 233.
هذه هي الحالة الأولى من التمرين المحلول الأوّل في المنهاج: عددان كبيران متقاربان، و ثلاث قسمات فقط.
🎯المطلوب: احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 8700 و 9150، و رتّب القسمات في جدول.
نبدأ بالأكبر. الفرق أصغر من 8700، فالحاصل 1.
الحاصل الموالي ليس بديهيا: نؤطّر 8700 بمضاعفين متتابعين للعدد 450.
فالحاصل هو 19، و الباقي هو الفرق بين المقسوم و الجداء.
نقسم 450 على 150.
الباقي انعدم، فآخر باق غير معدوم هو 150.
هذه هي الحالة الثانية من التمرين المحلول نفسه، و هي أطول سلسلة في الدرس: سبع قسمات. اكتبها كلّها، فالتسرّع هنا هو الذي يضيّع النقطة.
🎯المطلوب: عيّن القاسم المشترك الأكبر للعددين 691 و 2007.
نقسم 2007 على 691: نؤطّر أوّلا.
فالحاصل 2 و الباقي هو الفرق.
نقسم 691 على 625: الحاصل 1.
نقسم 625 على 66: نؤطّر ثمّ نطرح.
نقسم 66 على 31.
نقسم 31 على 4: نؤطّر ثمّ نطرح.
نقسم 4 على 3.
و أخيرا نقسم 3 على 1، فينعدم الباقي.
آخر باق غير معدوم هو 1.
⑥ الصعود في سلسلة إقليدس
إلى هنا استعملنا الخوارزمية نازلين: من العددين إلى قاسمهما المشترك الأكبر. لكنّ القسمات مكتوبة أمامنا، و كلّ واحدة منها تعطي باقيها بدلالة العددين اللذين فوقه. فإذا صعدنا فيها، معوّضين في كلّ سطر باقيا بما تعطيه القسمة السابقة، وصلنا إلى كتابة القاسم المشترك الأكبر بدلالة العددين الأوّلين. المخطّط الموالي يبيّن الحركتين.
خوارزمية إقليدس لا تعطي القاسم المشترك الأكبر فحسب. إذا صعدنا في قسماتها من الأسفل إلى الأعلى، معوّضين في كلّ مرّة الباقي بما تعطيه القسمة التي فوقه، كتبنا هذا القاسم بدلالة العددين الأوّلين.
🎯المطلوب: أوجد ثنائية (x ; y) من الأعداد الصحيحة حيث 150x + 108y = 6.
ننزل أوّلا: قسمة 150 على 108.
قسمة 108 على 42.
قسمة 42 على 24.
قسمة 24 على 18.
قسمة 18 على 6: الباقي معدوم، فالنزول انتهى.
آخر باق غير معدوم هو 6.
الآن نصعد. نقطة الانطلاق هي القسمة الرابعة، مكتوبة على شكل فرق.
العدد 18 ليس معطى: القسمة الثالثة تعطيه بدلالة 42 و 24. نعوّضه ثمّ نجمع الحدود المتشابهة.
و العدد 24 تعطيه القسمة الثانية بدلالة 108 و 42. نعوّض و ننشر: يظهر 42×4 ثمّ 42 فيجتمعان في 42×5.
و بقي 42، تعطيه القسمة الأولى بدلالة 150 و 108. نعوّض و ننشر: 108×2 و 108×5 يجتمعان في 108×7.
نتحقّق عدديا قبل أن نكتب الجواب.
و نرتّب المساواة على الصورة المطلوبة.
Page 1/14
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net