الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
مرافق عدد مركب و المستوي المركب
الجواب في سطرين. أوّلا: نأخذ مستويا بمعلم متعامد و متجانس، و نرفق بكلّ عدد مركب z = x + i y النقطة M التي إحداثياتها (x ; y). فيصير لكلّ عدد مركب موضع واحد نراه، و نسمّي هذا المستوي المستوي المركب. ثانيا: حين نغيّر إشارة الجزء التخيلي نحصل على عدد جديد نسمّيه مرافق العدد z ، و تمثيله ليس نقطة عشوائية: هو نظير النقطة M بالنسبة إلى المحور الأفقي. و هكذا تصير عملية جبرية بسيطة تناظرا هندسيا نراه بالعين.
- تمثيل عدد مركب بنقطة من المستوي، و قراءة لاحقة نقطة معطاة
- التعرّف على المحور الحقيقي و المحور التخيلي و تسمية المستوي المركب
- حساب لاحقة شعاع انطلاقا من لاحقتي طرفيه، و لاحقة مرجح نقطتين
- تعريف مرافق عدد مركب و كتابته مباشرة من الشكل الجبري
- تفسير المرافق هندسيا بالتناظر بالنسبة إلى المحور الحقيقي
- استعمال خواص المرافق مع الجمع و الجداء و القوى و المقلوب و القسمة
- تمييز عدد حقيقي و عدد تخيلي صرف بواسطة مرافقه
- تعيين مجموعة نقط معرّفة بشرط على الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي
- الشكل الجبري لعدد مركب، و تعيين جزأيه الحقيقي و التخيلي
- جمع عددين مركبين و ضربهما، و تعويض i² بـ ناقص واحد
- المعلم المتعامد و المتجانس، و قراءة إحداثيي نقطة فيه
- التناظر بالنسبة إلى نقطة و التناظر بالنسبة إلى مستقيم
- لاحقة شعاع في المستوي و علاقة شال، و تعريف مرجح نقطتين
1. المستوي المركب و لاحقة نقطة
المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. إلى كلّ عدد مركب نرفق نقطة، و العكس صحيح: إلى كلّ نقطة يرفق عدد مركب وحيد. هذا التقابل هو كلّ الفكرة.
الفاصلة هي الجزء الحقيقي و الترتيب هو الجزء التخيلي. لا يوجد ما يحفظ هنا: الإحداثيان هما الجزآن، بالترتيب نفسه.
نقول إنّ النقطة M هي صورة العدد المركب z ، و إنّ العدد z هو لاحقة النقطة M. و الشعاع OM هو كذلك صورة للعدد z ، و z لاحقة لهذا الشعاع.
و من هذا التقابل يأتي اسم المحورين:
- 🔵 المحور الأفقي يسمّى المحور الحقيقي: النقط التي عليها ترتيبها معدوم، أي لواحقها أعداد حقيقية.
- 🟣 المحور العمودي يسمّى المحور التخيلي: النقط التي عليها فاصلتها معدومة، أي لواحقها أعداد جزؤها الحقيقي معدوم، و هي الأعداد التخيلية الصرفة.
- 🟢 المستوي كلّه يسمّى المستوي المركب، لأنّ كلّ نقطة منه لاحقتها عدد مركب.
نمثّل ثلاثة أعداد في المستوي المركب، ثمّ نبحث عن لاحقة نظيرة إحدى النقط بالنسبة إلى المبدأ.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيات صور الأعداد الثلاثة، ثمّ أوجد لاحقة النقطة B′ نظيرة B بالنسبة إلى المبدأ O.
نقرأ الجزأين مباشرة: الجزء الحقيقي ناقص اثنين، و الجزء التخيلي واحد.
⚠️ العدد 2i جزؤه الحقيقي معدوم، فالفاصلة معدومة و النقطة على المحور العمودي.
الجزء الحقيقي هنا عدد أصمّ، و هذا لا يغيّر شيئا في القراءة.
النقطة B′ نظيرة B بالنسبة إلى O ، أي إنّ الشعاعين متعاكسان.
شعاعان متعاكسان لهما لاحقتان متعاكستان، فنغيّر إشارة اللاحقة كلّها.
2. لاحقة شعاع، و لاحقة مرجح نقطتين
ما دام لكلّ نقطة لاحقة، فلكلّ شعاع لاحقة أيضا. و القاعدة تأتي مباشرة من علاقة شال: الشعاع AB هو الفرق بين الشعاعين OB و OA ، فلاحقته هي الفرق بين اللاحقتين.
⭐ النهاية ناقص البداية، لا العكس. هذا هو الترتيب الذي يخطئ فيه أغلب التلاميذ، و علامة الخطأ أنّ الشعاع يخرج معاكسا لما رسموه.
بشرط أن يكون مجموع المعاملين غير معدوم. ⭐ البرهان مباشر: الشعاع الذي يعرّف المرجح هو نفسه هذا التركيب الخطّي للشعاعين، و اللاحقات تتبع الشعاعات.
🎯المطلوب: احسب لاحقة الشعاع الذي مبدؤه A و نهايته B.
نطبّق القاعدة: لاحقة النهاية ناقص لاحقة البداية.
نرفع القوسين، فتنقلب إشارة كلّ حدّ بداخلهما.
نجمع الحقيقي مع الحقيقي و التخيلي مع التخيلي.
3. مرافق عدد مركب
ننتقل الآن إلى العملية التي يدور عليها هذا الدرس. تعريفها سطر واحد، و لها من الخواصّ ما يجعلها أداة الحساب الأولى في هذا الباب كلّه.
⭐ نبقي الجزء الحقيقي كما هو، و نغيّر إشارة الجزء التخيلي وحده. و الخطّ الأفقي فوق الرمز هو ترميز المرافق، و هو الترميز المعتمد في كلّ هذا الباب.
و أوّل ما ينبغي أن تلاحظه هو ما يحدث في الحالتين الخاصّتين:
- 🔵 إذا كان العدد حقيقيا فجزؤه التخيلي معدوم، و تغيير إشارة الصفر لا يغيّر شيئا: مرافق عدد حقيقي هو العدد نفسه. مرافق ناقص اثنين هو ناقص اثنين.
- 🟣 إذا كان العدد تخيليا صرفا فجزؤه الحقيقي معدوم، و لم يبق إلا الجزء التخيلي الذي انقلبت إشارته: مرافق عدد تخيلي صرف هو معاكسه. مرافق 4i هو ناقص 4i.
نأخذ عددا بجزأين غير معدومين لنرى العمليتين معا: الكتابة الجبرية، ثمّ الموضع في المستوي.
🎯المطلوب: اكتب مرافق العدد، ثمّ عيّن إحداثيات صورة كلّ من العددين.
نعيّن الجزأين قبل أيّ شيء: الجزء الحقيقي ثلاثة.
⚠️ الجزء التخيلي هو ناقص أحد عشر، و ليس ناقص أحد عشر i.
نبقي الجزء الحقيقي و نقلب إشارة الجزء التخيلي وحده.
صورة العدد نقطة فاصلتها الجزء الحقيقي و ترتيبها الجزء التخيلي.
4. التفسير الهندسي للمرافق
ما لاحظناه في المثال ليس صدفة، بل هو قاعدة عامّة. لتكن M صورة العدد z و M′ صورة مرافقه. للنقطتين الفاصلة نفسها x ، و ترتيباهما y و ناقص y ، أي متعاكسان. و نقطتان لهما الفاصلة نفسها و ترتيبان متعاكسان هما بالضبط نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى المحور الأفقي.
نبيّن كيف يستعمل هذا التفسير في الاتّجاه المعاكس: يعطى تناظر هندسي، فنستنتج منه لاحقة مباشرة، دون أيّ رسم.
🎯المطلوب: أوجد لاحقة النقطة A′ نظيرة A بالنسبة إلى محور الفواصل، ثمّ احسب لاحقة الشعاع الذي مبدؤه A و نهايته A′.
التناظر بالنسبة إلى محور الفواصل يقابل أخذ المرافق، فلا حاجة إلى الرسم.
نكتب المرافق: الجزء الحقيقي كما هو، و الجزء التخيلي بإشارة معاكسة.
نطبّق قاعدة لاحقة شعاع: النهاية ناقص البداية.
نرفع القوسين: يزول الجزء الحقيقي لأنّ العددين لهما الفاصلة نفسها.
5. خواص المرافق
الخواصّ التالية هي أدوات العمل. الأربع الأولى تخرج من التعريف مباشرة، و لهذا تحفظ بالفهم لا بالتكرار.
نقلب إشارة الجزء التخيلي مرّتين، فنعود إلى نقطة البداية. هندسيا: تناظران متتاليان بالنسبة إلى المحور نفسه يعيدان النقطة إلى موضعها. ⚠️ الحرف u هنا ليس عددا جديدا، هو مجرّد اسم مؤقّت للمرافق حتّى نأخذ مرافقه بدوره.
⭐ يزول الجزء التخيلي، و يبقى ضعف الجزء الحقيقي. النتيجة عدد حقيقي دائما.
⭐ يزول الجزء الحقيقي، و يبقى ضعف الجزء التخيلي مضروبا في i. النتيجة عدد تخيلي صرف دائما.
ننشر فنجد فرق مربّعين، ثمّ نعوّض i² بـ ناقص واحد، فينقلب الطرح إلى جمع. النتيجة عدد حقيقي موجب، و هي التي تفتح باب القسمة.
و أربع خواصّ أخرى تربط المرافق بالعمليات. اقرأها هكذا: المرافق يمرّ عبر العمليات دون أن يغيّرها.
مرافق المجموع هو مجموع المرافقين.
مرافق الجداء هو جداء المرافقين.
⚠️ من أجل n عدد طبيعي غير معدوم. و برهانها بالاستدلال بالتراجع انطلاقا من خاصّية الجداء: قوّة ليست إلا جداءات متتالية.
⚠️ بشرط أن يكون العدد z غير معدوم، و إلا فلا وجود لمقلوبه.
⚠️ بشرط أن يكون المقام غير معدوم. ⛔ و هاتان الخاصّيتان الأخيرتان لا يبرهنهما الدرس هنا: تُبرهنان بالطريقة نفسها تماما — نحسب كلّ طرف على حدة، نردّه إلى الشكل الجبري، ثمّ نقارن. أنجزهما بنفسك، فهما تمرين ممتاز على المثال 5.
هذه الخاصّية لا تُقبل، بل تُبرهن. و البرهان يشتغل بأداة واحدة: الشكل الجبري.
🎯المطلوب: برهن أنّ مرافق جداء عددين مركبين يساوي جداء مرافقيهما.
ننشر الجداء و نعوّض i² بـ ناقص واحد: هذا هو دستور الجداء الذي أثبتناه.
نأخذ المرافق: الجزء الحقيقي كما هو، و الجزء التخيلي بإشارة معاكسة.
⭐ الآن نشتغل على الطرف الآخر. ننشر جداء المرافقين حدّا حدّا: أربعة جداءات، و هذه هي الخطوة التي لا يجب القفز عليها.
نعوّض الحدّ الذي يحمل i² : جداء الجزأين التخيليّين يتحوّل إلى ناقص.
نعمل بالعامل المشترك i في الحدّين التخيليّين.
نقارن السطر الأخير بسطر الخطوة 2: العبارتان متطابقتان حرفا بحرف.
6. كيف نميّز عددا حقيقيا أو تخيليا صرفا بمرافقه؟
الخاصّيتان الثانية و الثالثة أعلاه تعطيان معيارين عمليّين، و هما من أكثر ما يُستعمل في التمارين. نستخرجهما بخطوة واحدة في كلّ مرّة.
⭐ الاستنتاج مباشر: المساواة تكافئ أنّ الفرق بين العدد و مرافقه معدوم، و هذا الفرق يساوي ضعف الجزء التخيلي مضروبا في i ، فينعدم إذا و فقط إذا انعدم الجزء التخيلي. أي العدد يساوي مرافقه إذا و فقط إذا كان حقيقيا.
⭐ بالطريقة نفسها: المساواة تكافئ أنّ مجموع العدد و مرافقه معدوم، و هذا المجموع يساوي ضعف الجزء الحقيقي، فينعدم إذا و فقط إذا انعدم الجزء الحقيقي.
7. مجموعات النقط في المستوي المركب
التمرين النموذجي في هذا الدرس هو: يعطى عدد مركب بدلالة إحداثيي نقطة، و يطلب مجموعة النقط التي يكون عندها هذا العدد حقيقيا، أو تخيليا صرفا. و الطريقة واحدة دائما، في ثلاث خطوات: ردّ العدد إلى الشكل الجبري، ثمّ كتابة الشرط على الجزء المناسب، ثمّ التعرّف على المنحنى.
نأخذ عددا مركبا يتعلّق بإحداثيي نقطة متغيّرة من المستوي، و نبحث متى يكون حقيقيا.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط التي يكون من أجلها العدد حقيقيا، ثمّ تعرّف على شكلها.
ننشر الجداء و نجمع الحدود التي تحمل i في جهة، و الباقي في جهة أخرى.
نعمل بالعامل المشترك i لنقرأ الجزأين بوضوح.
نقرأ الجزء التخيلي من الشكل الجبري: هو معامل i وحده.
العدد حقيقي إذا و فقط إذا انعدم جزؤه التخيلي.
نحلّ هذه المعادلة الحقيقية البسيطة.
المعطى نفسه تماما، و السؤال الثاني: ننتقل من الجزء التخيلي إلى الجزء الحقيقي، و يتغيّر معه شكل المجموعة تغيّرا كاملا.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط التي يكون من أجلها العدد تخيليا صرفا، ثمّ تعرّف على شكلها.
نقرأ الجزء الحقيقي من الشكل الجبري: هو الحدّ الذي لا يحمل i.
العدد تخيلي صرف إذا و فقط إذا انعدم جزؤه الحقيقي.
نعزل الترتيب في طرف.
المرافق ليس أداة نظرية: إليك أوّل استعماله العملي، حلّ معادلة معاملها مركب.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول z.
ننقل الحدّ الثابت إلى الطرف الآخر، كما في أيّ معادلة من الدرجة الأولى.
نقسم على معامل المجهول، و هو عدد مركب غير معدوم.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام لنجعل المقام حقيقيا.
نحسب المقام: جداء عدد في مرافقه، فهو مجموع مربّعي جزأيه.
نبسّط: العدد 26 يساوي 13 مضروبا في 2 ، فيبقى الجداء في 2.
ننشر الجداء بعدد حقيقي: نضرب كلّ جزء على حدة.
⭐ نتحقّق بالتعويض في المعادلة الأصلية قبل أن نكتب مجموعة الحلول.
8. و ماذا يقابل الجمع في المستوي؟
رأينا أنّ المرافق يقابل تناظرا. و الجمع كذلك له ترجمة هندسية: إذا كان z لاحقة الشعاع الأوّل و z' لاحقة الشعاع الثاني، فإنّ مجموعهما هو لاحقة محصّلة الشعاعين. أي إنّ جمع عددين مركبين هو جمع شعاعيهما، بقاعدة متوازي الأضلاع.
الرباعي الذي رؤوسه المبدأ و الصورتان و النقطة S هو متوازي أضلاع، و النقطة S هي رأسه المقابل للمبدأ.
⚠️ الحرف اليوناني هنا يرمز إلى عدد حقيقي كيفيّ: ضرب اللاحقة في عدد حقيقي يقابل ضرب الشعاع في العدد الحقيقي نفسه. و شعاعان متساويان لهما اللاحقة نفسها.
Page 1/16
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net