الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل معادلة من الشكل z² = z₀ و الجذران التربيعيان
الجواب في ثلاث جمل. أوّلا: نعم، لكلّ عدد مركب جذر تربيعي في ℂ ، و هذا هو الربح الكبير من بناء هذه المجموعة. ثانيا: كلّ عدد مركب غير معدوم له جذران تربيعيان لا ثالث لهما، و هما متعاكسان؛ أمّا العدد صفر فله جذر واحد هو صفر. ثالثا: لحسابهما نكتب الجذر المجهول على الشكل الجبري، فتتحوّل معادلة مركبة واحدة إلى جملة من ثلاث معادلات حقيقية تُحلّ بالجمع و الطرح.
- تعريف الجذرين التربيعيين لعدد مركب، و ربطهما بحلول المعادلة z² = z₀
- معرفة عدد الجذور التربيعية حسب ما إذا كان العدد معدوما أو غير معدوم
- كتابة الجذرين التربيعيين لعدد حقيقي سالب مباشرة، دون حساب
- بناء جملة المعادلات الثلاث التي تعطي الجذرين التربيعيين لعدد مركب أيّ
- استعمال إشارة جداء المجهولين لانتقاء الحلّين الصحيحين من بين أربعة
- التحقّق من كلّ جذر تربيعي بالتربيع قبل كتابة الجواب
- الشكل الجبري لعدد مركب، و تعيين جزأيه الحقيقي و التخيلي
- نشر مربّع مجموع و مربّع فرق، و تعويض i² بـ ناقص واحد
- تساوي عددين مركبين: تساوي الجزأين الحقيقيّين و التخيليّين معا
- طويلة عدد مركب: الجذر التربيعي لمجموع مربّعي جزأيه
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بالجمع و الطرح
1. ما هو جذر تربيعي لعدد مركب؟
التعريف يستنسخ ما تعرفه في ℝ ، حرفا بحرف: الجذر التربيعي لعدد هو ما يعطيه بالتربيع.
⭐ الجذر التربيعي ليس عملية، هو حلّ معادلة. كلّ حلّ لهذه المعادلة يسمّى جذرا تربيعيا للعدد المعطى، و البحث عن الجذور هو حلّ لهذه المعادلة بالضبط.
2. كم جذرا تربيعيا لعدد مركب؟
سؤال ينبغي حسمه قبل أيّ حساب، لأنّه هو الذي يقول لك متى تتوقّف. و الجواب يختلف في حالة واحدة فقط: حالة العدد صفر.
⭐ إذا كان ω جذرا تربيعيا فإنّ معاكسه جذر أيضا، لأنّ مربّع المعاكس هو المربّع نفسه. و ليس هناك ثالث: لو كان z مربّعه هو نفسه، لكان الفرق بين المربّعين معدوما، أي جداء مجموعهما في فرقهما معدوما، فيكون z مساويا لـ ω أو لمعاكسه.
⚠️ الاستثناء الوحيد، و لا يجوز إهماله: هنا الجذران يتطابقان، فليس للصفر إلا جذر تربيعي واحد هو الصفر. و الصفر ليس « معاكسا » لعدد آخر: هو معاكس نفسه.
3. الحالة السهلة: جذرا عدد حقيقي سالب
قبل الطريقة العامّة، هناك حالة تُحلّ في سطر واحد و تظهر كثيرا: أن يكون العدد المعطى حقيقيا سالبا. عندئذ لا حاجة إلى أيّ جملة معادلات.
⭐ التحقّق فوري: مربّع i√a هو مربّع i مضروبا في a ، أي ناقص a. و العدد الحقيقي الموجب a له جذر تربيعي حقيقي معروف، فيكفي أن نضربه في i.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد ناقص تسعة.
العدد حقيقي سالب، فنكتبه على شكل ناقص واحد مضروبا في عدد موجب.
نعوّض ناقص واحد بمربّع i ، فتصير العبارة مربّعا كاملا.
العدد الذي مربّعه هو مربّع 3i هو 3i أو معاكسه.
⭐ نتحقّق من كلّ جذر بالتربيع، لأنّ التحقّق هنا يكلّف سطرا واحدا.
الحالة نفسها، لكن العدد الموجب ليس مربّعا تامّا: يبقى الجذر أصمّ، و لا يغيّر ذلك شيئا في الطريقة.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد ناقص ثلاثة.
نعزل الإشارة كما في المثال السابق.
نعوّض ناقص واحد بمربّع i.
نكتب العبارة على شكل مربّع: مربّع i في مربّع الجذر الأصمّ.
نقرأ الجذرين المتعاكسين.
4. الطريقة العامّة: جملة من ثلاث معادلات
إذا لم يكن العدد المعطى حقيقيا، لم تعد الحيلة السابقة صالحة. نعود عندئذ إلى الطريقة الوحيدة الصالحة دائما: نكتب الجذر المجهول على الشكل الجبري، و نستعمل تساوي عددين مركبين لتحويل المعادلة المركبة إلى معادلات حقيقية.
نسمّي الجذر المبحوث عنه بحرف، و نكتبه بجزأين حقيقيّين مجهولين. المجهول الواحد المركب صار مجهولين حقيقيّين.
ننشر مربّع المجموع: مربّع الأوّل، زائد ضعف الجداء، زائد مربّع الثاني الذي يحمل i² فينقلب إلى ناقص. فالجزء الحقيقي هو فرق المربّعين، و الجزء التخيلي هو ضعف الجداء.
و الآن نكتب المساواة بين هذا المربّع و العدد المعطى. تساوي عددين مركبين يعطي معادلتين، و نضيف إليهما معادلة ثالثة هي تساوي الطويلتين:
| المعادلة | من أين تأتي | ما فائدتها |
|---|---|---|
| x² + y² = |z0| | تساوي طويلتي العددين، و طويلة المربّع هي مربّع الطويلة | تعطي مجموع المربّعين |
| x² − y² = Re(z0) | تساوي الجزأين الحقيقيّين | تعطي فرق المربّعين |
| 2 x y = Im(z0) | تساوي الجزأين التخيليّين | تعطي إشارة الجداء |
الأولى بجمع المعادلتين الأوليين من الجملة، و الثانية بطرحهما. ⭐ و الطرفان موجبان دائما، لأنّ الطويلة أكبر من القيمة المطلقة للجزء الحقيقي أو تساويها.
⭐ هذه هي المعادلة الثالثة، و دورها ليس حسابيا بل انتقائيا: إذا كان طرفها الأيمن موجبا كان المجهولان من إشارة واحدة، فنحتفظ بالزوجين الموجب و السالب معا؛ و إذا كان سالبا كانا من إشارتين مختلفتين، فنحتفظ بالزوجين المختلطين. ⛔ لا تكتب « لأنّ الجداء موجب » و تمضي: اكتب صراحة الزوجين اللذين تحتفظ بهما و الزوجين اللذين تحذفهما.
أوّل تطبيق كامل للطريقة العامّة. تابع الخطوات الثماني: هي نفسها في كلّ مرّة، مهما تغيّرت الأعداد.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد 3 − 4i.
نحسب طويلة العدد المعطى: الجذر التربيعي لمجموع مربّعي جزأيه.
نكتب الجملة الثلاثية بالقيم العددية.
نجمع المعادلتين الأوليين: يزول مربّع y.
نقسم على اثنين.
نطرح الثانية من الأولى: يزول مربّع x.
نقسم على اثنين.
⭐ المعادلة الثالثة تعطي جداء المجهولين، و هو سالب: فالمجهولان من إشارتين مختلفتين، و هذا يُسقط الزوجين اللذين يكونان فيهما من إشارة واحدة.
⭐ نتحقّق من أحد الجذرين بالتربيع: مربّع الأوّل، ناقص ضعف الجداء، زائد مربّع الثاني الذي يحمل i².
المثال نفسه بأعداد أخرى، و الفرق الوحيد في الخطوة السابعة: هنا الجداء موجب، فتنقلب عملية الانتقاء.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد ناقص ثمانية زائد ستّة i.
نحسب الطويلة.
نكتب الجملة الثلاثية.
نجمع المعادلتين الأوليين.
نقسم على اثنين.
نطرح الثانية من الأولى.
نقسم على اثنين.
⭐ الجداء هنا موجب، فالمجهولان من إشارة واحدة: نحتفظ بالزوجين اللذين يكونان فيهما موجبين معا أو سالبين معا.
نتحقّق من أحد الجذرين بالتربيع.
هذا المثال ليس تمرينا مجرّدا: العدد المعطى فيه هو بالضبط مميّز معادلة من الدرجة الثانية سنحلّها في الدرس الموالي. و لهذا نسمّيه هنا باسمه.
🎯المطلوب: عيّن الجذرين التربيعيين للعدد ناقص خمسة عشر زائد ثمانية i.
نحسب الطويلة.
⚠️ ننتبه إلى أنّ الجملة تُكتب على المميّز، لا على مجهول المعادلة: ما نبحث عنه هو جذر تربيعي للمميّز.
نجمع المعادلتين الأوليين.
نقسم على اثنين.
نطرح الثانية من الأولى.
نقسم على اثنين.
الجداء موجب، فالمجهولان من إشارة واحدة.
نتحقّق بالتربيع.
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net