الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
الشكل المثلثي و الانتقال من الشكل الجبري إليه و العكس
تعلم النقطة في المستوي إما بإحداثييها الديكارتيتين، أي فاصلتها و ترتيبتها، و إما بإحداثييها القطبيتين، أي بعدها عن المبدأ و الزاوية الموجهة التي يصنعها نصف المستقيم الحامل لها مع محور الفواصل. و بين الكتابتين علاقة بسيطة تعطيها المثلثات.
- أن تكتب عددا مركبا غير معدوم على الشكل المثلثي
- أن تنتقل من الشكل الجبري إلى الشكل المثلثي في خطوات مضبوطة
- أن تعود من الشكل المثلثي إلى الشكل الجبري
- أن توظف خواص العمدة في الجداء و الحاصل و القوة
- حساب طويلة عدد مركب و تعيين عمدة له
- دساتير جمع الجيب و التجيب
- قراءة الربع انطلاقا من إشارتي الجزأين
من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية
نعوض الفاصلة و الترتيبة في الشكل الجبري بقيمتيهما، ثم نضع الطويلة عاملا مشتركا. فنحصل على كتابة جديدة للعدد نفسه، تظهر فيها الطويلة و العمدة بدل الجزأين.
في هذه الكتابة، العامل الموضوع أمام القوس هو الطويلة، و الزاوية الموجودة داخل التجيب و الجيب هي العمدة. و لاحظ أن الجيب مضروب في الوحدة التخيلية: بدونها يصبح الطرف الأيمن عددا حقيقيا، و تنهار المساواة.
متى يكون شكلان مثلثيان لعدد واحد
عددان مكتوبان على الشكل المثلثي يتساويان إذا و فقط إذا كانت لهما الطويلة نفسها و كانت عمدتاهما متوافقتين بترديد دورة كاملة. الشرطان معا، لا واحد منهما.
و العكس صحيح أيضا، و هو الأنفع في التمارين: إذا كُتب العدد على شكل عامل موجب تماما مضروب في قوس من الشكل السابق، فإن ذلك العامل هو الطويلة، و الزاوية هي عمدة للعدد. تُقرأ الطويلة و العمدة إذن مباشرة، دون أي حساب.
بشرط أن يكون العامل λ موجبا تماما: الطويلة لا تكون سالبة أبدا.
من الشكل الجبري إلى الشكل المثلثي
- نحسب الطويلة انطلاقا من الجزأين الحقيقي و التخيلي.
- نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة فنحصل على تجيب العمدة.
- نقسم الجزء التخيلي على الطويلة فنحصل على جيب العمدة.
- نعين الزاوية التي تحقق القيمتين معا، مستعينين بإشارتي الجزأين لمعرفة الربع.
- نكتب الطويلة أمام القوس، و الزاوية داخل التجيب و الجيب، دون نسيان الوحدة التخيلية.
🎯المطلوب: اكتب هذا العدد المركب على الشكل المثلثي
نقسم كل جزء على الطويلة، ثم ننطق المقام بالضرب في الجذر.
القيمتان متساويتان و موجبتان: الزاوية في منتصف الربع الأول، أي ثمن الدورة.
🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على الشكل المثلثي بعد تعيين طويلته و عمدة له
لا نترك الجذر على حاله: 8 = 4 × 2، و الجذر يُخرج المربع الكامل.
التجيب موجب و الجيب سالب: الزاوية في الربع الرابع، إذن هي سالبة.
من الشكل المثلثي إلى الشكل الجبري
الاتجاه المعاكس أسهل: نعوض التجيب و الجيب بقيمتيهما المعروفتين على الدائرة المثلثية، ثم ننشر الجداء. النتيجة هي الشكل الجبري، أي جزء حقيقي و جزء تخيلي.
🎯المطلوب: اكتب هذا العدد المعطى على الشكل المثلثي على شكله الجبري
الزاوية تتجاوز نصف الدورة: صورتها في الربع الثالث، إذن التجيب و الجيب سالبان معا.
🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على شكل مثلثي صحيح، أي بعامل موجب تماما
العامل سالب، إذن هذه ليست كتابة مثلثية: الطويلة لا تكون سالبة أبدا.
نستعمل أن مقابل عدد صورته النقطة المقابلة بالنسبة إلى المبدأ، أي دوران بنصف دورة.
خواص العمدة
الشكل المثلثي ليس كتابة أخرى فحسب: هو الذي يجعل الجداء و القسمة و القوة سهلة. فعند الضرب تُضرب الطويلتان و تُجمع العمدتان، و عند القسمة تُقسم الطويلتان و تُطرح العمدتان.
من أجل كل عدد طبيعي n غير معدوم، و العددان غير معدومين.
من أين تأتي هذه الخواص
نأخذ عددين مكتوبين على الشكل المثلثي و نضربهما. بعد نشر الجداء نجد بين قوسين تعبيرين نعرفهما جيدا: هما بالضبط طرفا دستوري جمع التجيب و جمع الجيب.
أما الحاصل فنضرب فيه البسط و المقام في مرافق المقام. و لاحظ جيدا: المرافق هو مرافق المقام، أي الذي عمدته مقابل عمدة المقام، لذلك يظهر في المقام مجموع مربعي تجيب و جيب زاوية المقام، و هو يساوي واحدا.
🎯المطلوب: اكتب هذا الجداء على الشكل المثلثي دون نشره
نكتب كل عامل على شكله المثلثي أولا، ثم نطبّق الخاصيتين.
🎯المطلوب: اكتب هذا الحاصل على الشكل المثلثي دون جعل مقامه حقيقيا
نستعمل الشكلين المثلثيين نفسيهما، لكن بالخاصية الخاصة بالحاصل.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net