Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

ترميز أولير ⁦e^(iα)⁩: الشكل الأسي و قواعد الحساب

🔊 La maîtresse lit pour toi

رأينا أن الضرب في الشكل المثلثي يجمع العمدتين. و نعرف من قبل دالة واحدة تحوّل الجمع إلى جداء، هي الدالة الأسية. فهل يمكن أن نستعير ترميزها لنكتب الأعداد المركبة كتابة أقصر؟

نأخذ الأعداد المركبة التي طويلتها تساوي واحدا: صورها كلها تقع على دائرة مركزها المبدأ و نصف قطرها واحد. مثل هذا العدد لا يتعلق إلا بعمدته، فيمكن اعتباره صورة لتلك الزاوية بدالة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

أن تبرهن أن دالة التجيب و الجيب تحوّل الجمع إلى جداء
أن تكتب عددا مركبا غير معدوم على الشكل الأسي
أن تنتقل بين الشكل الأسي و الشكل الجبري في الاتجاهين
أن توظف قواعد الحساب على الشكل الأسي في الجداء و الحاصل و المرافق

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

كتابة عدد مركب على الشكل المثلثي
دساتير جمع الجيب و التجيب
خاصية الدالة الأسية الحقيقية في تحويل المجموع إلى جداء

نقطة تقع على دائرة نصف قطرها واحد و مركزها المبدأ: بعدها عن المبدأ ثابت، فلا يتغير إلا اتجاهها، أي الزاوية التي يصنعها نصف قطرها مع محور الفواصل. — على هذه الدائرة، العمدة وحدها تحدد العدد: هذا ما يسمح باختصار كتابته في رمز واحد.

دالة تحوّل الجمع إلى جداء

نرفق بكل عدد حقيقي العدد المركب الذي طويلته واحد و الذي يقبل هذا العدد الحقيقي عمدة له. ثم نحسب صورة مجموع عددين، و نقارنها بجداء صورتيهما.

الدالة المرفقة بالزاوية

f(θ) = cos θ + i sin θ

جداء الصورتين

f(θ) × f(θ') = (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ')

بعد النشر و تعويض مربع الوحدة التخيلية بـ ⁦−1⁩

f(θ) × f(θ')=(cos θ cos θ' − sin θ sin θ') + i(sin θ cos θ' + sin θ' cos θ)

صورة المجموع

f(θ + θ')=cos(θ + θ') + i sin(θ + θ')

نطبّق الآن دستوري جمع التجيب و جمع الجيب على الطرف الأيمن، فنجد بالضبط التعبير الذي حصلنا عليه قبل قليل بنشر الجداء.

دستور جمع التجيب

cos(θ + θ') = cos θ cos θ' − sin θ sin θ'

دستور جمع الجيب

sin(θ + θ') = sin θ cos θ' + cos θ sin θ'

صورة المجموع بعد التعويض

f(θ + θ')=(cos θ cos θ' − sin θ sin θ') + i(sin θ cos θ' + sin θ' cos θ)

✅النّتيجة

f(θ + θ') = f(θ) × f(θ')

هذه هي بالضبط الخاصية التي تميز الدالة الأسية: صورة المجموع تساوي جداء الصورتين. من هنا جاءت فكرة استعارة ترميز الأسية لهذه الدالة، و هو ما نسميه ترميز أولير.

ترميز أولير

e^iα = cos α + i sin α

αقيس بالرديان لعمدة العدد المركب

الرمز الموجود على اليسار ليس قوة بالمعنى المعتاد، و الأس ليس عددا حقيقيا: إنه اصطلاح كتابة اختير لأن قواعد حسابه هي نفسها قواعد حساب الأسية الحقيقية، لا أكثر و لا أقل.

طويلة العدد المكتوب بهذا الترميز

|e^iα| = 1

كل عدد يُكتب بهذا الترميز تقع صورته على الدائرة التي نصف قطرها واحد. و إذا تذكرت أن الضرب في مثل هذا العدد لا يغير الطويلة، فهمت لماذا سيصبح الضرب فيه دورانا حول المبدأ في درس التحويلات النقطية.

الشكل الأسي لعدد مركب غير معدوم

العدد المركب غير المعدوم ليست طويلته واحدا بالضرورة. لكننا نستطيع دائما كتابته جداء طويلته في عدد طويلته واحد و له العمدة نفسها. فنحصل على كتابة مختصرة تسمى الشكل الأسي.

الشكل الأسي

z = r e^iα

rطويلة العدد المركب، و هي موجبة تماماαعمدة للعدد المركب، بالرديان

الانتقال بين الشكل المثلثي و الشكل الأسي لا يتطلب أي حساب: العامل الموضوع أمام القوس يبقى كما هو، و الزاوية تنتقل إلى الأس مضروبة في الوحدة التخيلية. لهذا نحسب دائما الطويلة و العمدة أولا، ثم نختار الكتابة التي يطلبها التمرين.

مثال 1: الشكل الأسي للعدد ⁦1 + i⁩

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد المركب على الشكل الأسي

📌المعطى

z₁ = 1 + i

🔹الخطوة 1: مربع الطويلة

|z₁|²=1² + 1²=2

🔹الخطوة 2: الطويلة

|z₁| = √2

🔹الخطوة 3: التجيب

cos α=1√2=√22

🔹الخطوة 4: الجيب

sin α=1√2=√22

🔹الخطوة 5: تعيين الزاوية

القيمتان متساويتان و موجبتان: الزاوية هي ثمن الدورة.

α = π4

✅النّتيجة

z₁ = √2 e^iπ4

الطريق إلى الشكل الأسي هو نفسه الطريق إلى الشكل المثلثي: الطويلة ثم التجيب ثم الجيب ثم الزاوية. لا تحفظ طريقتين، احفظ واحدة و غيّر الكتابة في السطر الأخير.

مثال 2: الشكل الأسي للعدد ⁦−√3 + i⁩

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على الشكل الأسي بعد تعيين الربع الذي تقع فيه صورته

📌المعطى

z₂ = −√3 + i

🔹الخطوة 1: مربع الطويلة

|z₂|²=(−√3)² + 1²=3 + 1=4

🔹الخطوة 2: الطويلة

|z₂| = 2

🔹الخطوة 3: التجيب

cos α = −√32

🔹الخطوة 4: الجيب

sin α = 12

🔹الخطوة 5: تعيين الزاوية

التجيب سالب و الجيب موجب: الزاوية في الربع الثاني.

α = 5π6

✅النّتيجة

z₂ = 2 e^i5π6

حدّد الربع من إشارتي الجزأين قبل اختيار الزاوية: هذا وحده يمنع الخلط بين خمسة أسداس الدورة النصفية و مقابلها.

مثال 3: من الشكل الأسي إلى الشكل الجبري

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد المعطى على الشكل الأسي على شكله الجبري

📌المعطى

z₃ = 2 e^iπ3

🔹الخطوة 1: العودة إلى الشكل المثلثي

نعود أولا إلى الشكل المثلثي، فالترميز الأسي ليس إلا اختصارا له.

z₃=2(cos(π3) + i sin(π3))

🔹الخطوة 2: قيمة التجيب

cos(π3) = 12

🔹الخطوة 3: قيمة الجيب

sin(π3) = √32

🔹الخطوة 4: التعويض

z₃=2(12 + i(√32))

✅النّتيجة

z₃ = 1 + i√3

مرّ دائما بالشكل المثلثي في هذا الاتجاه: القفز مباشرة إلى الجزأين مصدر أخطاء، خاصة عندما تكون الزاوية خارج الربع الأول.

مثال 4: عدد صورته في الربع الثاني

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على شكله الجبري ثم بيّن الربع الذي تقع فيه صورته

📌المعطى

z₄ = 6 e^i2π3

🔹الخطوة 1: العودة إلى الشكل المثلثي

z₄=6(cos(2π3) + i sin(2π3))

🔹الخطوة 2: قيمة التجيب

الزاوية بين ربع دورة و نصف دورة: صورتها في الربع الثاني، فالتجيب سالب و الجيب موجب.

cos(2π3) = −12

🔹الخطوة 3: قيمة الجيب

sin(2π3) = √32

🔹الخطوة 4: نشر الجداء

z₄=6 × (−12) + i × 6 × (√32)

✅النّتيجة

z₄ = −3 + 3i√3

اضرب الطويلة في الجزأين معا: نسيان ضرب الجزء التخيلي في الطويلة هو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الاتجاه.

مثال 5: عدد صورته في الربع الثالث

🎯المطلوب: اكتب هذا العدد على الشكل الأسي

📌المعطى

z₅ = −3 − 3i

🔹الخطوة 1: مربع الطويلة

|z₅|²=(−3)² + (−3)²=18

🔹الخطوة 2: الطويلة

|z₅|=√18=3√2

🔹الخطوة 3: التجيب

cos α=−33√2=−√22

🔹الخطوة 4: الجيب

sin α=−33√2=−√22

🔹الخطوة 5: تعيين الزاوية

القيمتان سالبتان معا: الزاوية في الربع الثالث.

α = 5π4

✅النّتيجة

z₅ = 3√2 e^i5π4

يمكنك أيضا أن تكتب هذه العمدة سالبة، بطرح دورة كاملة: الكتابتان صحيحتان لأن العمدة معرّفة بترديد الدورة، و الامتحان يقبل الاثنتين.

قواعد الحساب على الشكل الأسي

القواعد الثلاث الآتية هي ترجمة حرفية لخواص العمدة التي رأيناها في الشكل المثلثي: الضرب يجمع الأسّين، و القسمة تطرحهما، و المرافق يعكس إشارة الأس.

قاعدة الجداء

e^iα × e^iβ = e^i(α+β)

قاعدة الحاصل

e^iαe^iβ = e^i(α−β)

أما المرافق فنقرأه على الدائرة: صورة المرافق هي نظيرة الصورة بالنسبة إلى محور الفواصل، و هذا يعني أن الطويلة تبقى كما هي و أن العمدة تصير مقابلها.

عدد طويلته واحد

z = e^iα

مرافقه

z = e^−iα

هذه القواعد تخص الأسّ التخيلي فقط، و لا تنقل إلى الأسية الحقيقية شيئا جديدا. و انتبه: رفع الشكل الأسي إلى قوة صحيحة له دستور خاص باسم صاحبه، و هو موضوع درس لاحق: لا تستعمله هنا قبل أن تبرهنه هناك.

مثال 6: جداء عددين على الشكل الأسي

🎯المطلوب: احسب هذا الجداء و اكتب نتيجته على الشكل الجبري

📌المعطى

z=2 e^iπ6 × 4 e^iπ3

🔹الخطوة 1: جداء الطويلتين

نضرب الطويلتين و نجمع العمدتين، لا أكثر.

2 × 4 = 8

🔹الخطوة 2: توحيد مقامي الزاويتين

π6 + π3=π6 + 2π6=3π6

🔹الخطوة 3: اختزال الزاوية

3π6 = π2

🔹الخطوة 4: الشكل الأسي للجداء

z = 8 e^iπ2

🔹الخطوة 5: العودة إلى الشكل الجبري

ربع الدورة تجيبه معدوم و جيبه واحد، فالعدد تخيلي صرف.

z=8(cos(π2) + i sin(π2))=8(0 + i)

✅النّتيجة

z = 8i

لا تنشر الجداء أبدا في هذه الحالة: ضرب الطويلتين و جمع الزاويتين يعطي النتيجة في سطرين، بينما النشر يأخذ نصف صفحة.

مثال 7: حاصل قسمة عددين على الشكل الأسي

🎯المطلوب: احسب هذا الحاصل ثم أكتبه على الشكل الجبري

📌المعطى

z=8e^i5π62 e^iπ2

🔹الخطوة 1: حاصل الطويلتين

نقسم الطويلتين و نطرح العمدتين، بالترتيب: عمدة البسط ناقص عمدة المقام.

82 = 4

🔹الخطوة 2: توحيد مقامي الزاويتين

5π6 − π2=5π6 − 3π6=2π6

🔹الخطوة 3: اختزال الزاوية

2π6 = π3

🔹الخطوة 4: الشكل الأسي للحاصل

z = 4 e^iπ3

🔹الخطوة 5: العودة إلى الشكل الجبري

z=4(12 + i(√32))

✅النّتيجة

z = 2 + 2i√3

اطرح دائما في الاتجاه الصحيح: عكس الترتيب يعطي الزاوية المقابلة، أي عددا آخر له الطويلة نفسها. تحقّق من الربع في النهاية، فهو ينبّهك إلى العكس.

الأشكال الثلاثة تصف العدد نفسه: الجبري يجيب عن « أين تقع الصورة »، و المثلثي و الأسي يجيبان عن « كم تبعد و في أي اتجاه ». اختر الشكل حسب العملية: الجمع و الطرح في الجبري، و الضرب و القسمة في الأسي.

في البكالوريا، الشكل الأسي يُطلب غالبا تمهيدا لحساب قوة أو لتفسير هندسي، و الانتقال بين الأشكال يُقيَّم كخطوة قائمة بذاتها. اكتب الطويلة و العمدة في سطر مستقل قبل الكتابة النهائية، و تحقّق دائما من الربع: هو الحارس الوحيد ضد خطأ الزاوية المقابلة.

الخلاصة: الدالة التي ترفق بالزاوية تجيبها و جيبها تحوّل مجموع زاويتين إلى جداء صورتيهما، و هي خاصية الدالة الأسية بعينها: لذلك نكتب العدد الذي طويلته واحد و عمدته زاوية معلومة بترميز أولير، و نكتب كل عدد غير معدوم جداء طويلته في هذا الترميز. و في هذه الكتابة يصبح الضرب جمعا للزوايا، و القسمة طرحا لها، و المرافق عكسا لإشارة الزاوية.

Page 1/12

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: الدالة التي ترفق بالزاوية تجيبها و جيبها تحوّل مجموع زاويتين إلى جداء صورتيهما، و هي خاصية الدالة الأسية بعينها: لذلك نكتب العدد الذي طويلته واحد و عمدته زاوية معلومة بترميز أولير، و نكتب كل عدد غير معدوم جداء طويلته في هذا الترميز. و في هذه الكتابة يصبح الضرب جمعا للزوايا، و القسمة طرحا لها، و المرافق عكسا لإشارة الزاوية.

الدالة المرفقة بالزاوية

f(θ) = cos θ + i sin θ

جداء الصورتين

f(θ) × f(θ') = (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ')

بعد النشر و تعويض مربع الوحدة التخيلية بـ ⁦−1⁩

f(θ) × f(θ') = (cos θ cos θ' − sin θ sin θ') + i(sin θ cos θ' + sin θ' cos θ)

صورة المجموع

f(θ + θ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ')

دستور جمع التجيب

cos(θ + θ') = cos θ cos θ' − sin θ sin θ'

دستور جمع الجيب

sin(θ + θ') = sin θ cos θ' + cos θ sin θ'

صورة المجموع بعد التعويض

f(θ + θ') = (cos θ cos θ' − sin θ sin θ') + i(sin θ cos θ' + sin θ' cos θ)

ترميز أولير

e^iα = cos α + i sin α

αقيس بالرديان لعمدة العدد المركب