الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التفسير الهندسي: اللواحق، الارتباط الخطي، التعامد و المثلثات
الجواب في جملة واحدة: فرق لاحقتين يحمل الشعاع كاملا. طويلته هي المسافة بين النقطتين، و عمدته هي اتجاه الشعاع. و من هاتين المعلومتين وحدهما تُقرأ المسافات و الزوايا و طبيعة الأشكال. هذا الدرس يبني هذه الترجمة، ثم يستعملها في ثلاث مسائل يتكرّر ورودها: الاستقامة، التعامد، و طبيعة المثلث.
- حساب لاحقة شعاع و لاحقة منتصف قطعة انطلاقا من لاحقتي طرفيهما
- التعبير عن مسافة بين نقطتين بطويلة فرق لاحقتيهما
- ترجمة عمدة فرق لاحقتين إلى زاوية موجهة بين شعاعين
- قراءة طويلة و عمدة نسبة فرقي لاحقتين على أنهما نسبة طولين و زاوية
- الفصل بين الارتباط الخطي و التعامد بالنظر إلى طبيعة هذه النسبة
- تعيين طبيعة مثلث انطلاقا من لواحق رؤوسه وحدها
- الشكل الجبري لعدد مركب، و جزؤه الحقيقي و جزؤه التخيلي
- طويلة عدد مركب، و عمدة عدد مركب غير معدوم
- الزوايا الموجهة و علاقة شال في الزوايا
- ضرب البسط و المقام في مرافق المقام لجعل المقام حقيقيا
1. من لاحقة نقطة إلى لاحقة شعاع
النقطة تُعرَّف بلاحقتها، و هذا معروف. لكن الشعاع أيضا له لاحقة، و هي التي تفتح الباب كلّه: لاحقة الشعاع المتّجه من نقطة إلى أخرى هي فرق اللاحقتين، مرتّبا من النهاية نحو البداية.
البرهان مباشر: الشعاع المتّجه من A إلى B هو فرق الشعاعين المتّجهين من المبدأ إلى B و من المبدأ إلى A، و لاحقة الفرق هي فرق اللاحقتين. لاحظ الترتيب: لاحقة النهاية ناقص لاحقة البداية، و عكسه يعطي الشعاع المضاد.
و ما إن يصير الشعاع عددا مركبا، حتى يصير طوله طويلة و اتجاهه عمدة. هذه هي الجملة التي يقوم عليها الدرس كلّه.
المسافة AB هي طول الشعاع المتّجه من A إلى B، و طول شعاع هو طويلة لاحقته. لهذا تُحسب كل مسافة في هذا الباب بطويلة فرق، لا بشيء آخر.
و للمرجّح لاحقة أيضا، و منها نستنتج لاحقة المنتصف. هذه صيغة تُستعمل كثيرا في تعيين مركز دائرة أو رأس رابع لمتوازي أضلاع.
الشرط الوحيد هو أن يكون مجموع المعاملين غير معدوم، و إلّا لم يوجد المرجّح أصلا. و الصيغة نفسها تُستعمل لعدة نقط: نجمع الجداءات في البسط، و المعاملات في المقام.
هي الحالة الخاصة التي يكون فيها المعاملان متساويين: المنتصف هو مرجّح النقطتين بمعاملين متساويين، فيصير البسط مجموع اللاحقتين و المقام 2.
2. العمدة تُقرأ زاوية موجهة
إذا كانت الطويلة تعطي المسافة، فالعمدة تعطي الاتجاه: عمدة فرق لاحقتين هي قيس الزاوية الموجهة بين محور الفواصل و الشعاع الذي يحمله الفرق.
الشعاع المتّجه من A إلى B، و الشعاع المطبّق في المبدأ الذي لاحقته هي هذا الفرق نفسه، لهما الاتجاه نفسه، فلهما الزاوية نفسها مع محور الفواصل.
بعلاقة شال في الزوايا: الزاوية من الشعاع الأول إلى الثاني هي زاوية الثاني مع المحور ناقص زاوية الأول معه.
⭐ هي علاقة شال نفسها، لكن مطبّقة عند الرأس A بدل المبدأ: نطرح الزاويتين اللتين يصنعهما الضلعان مع محور الفواصل. هذه الصيغة هي التي ستعطينا زاوية المثلث.
3. نسبة فرقي اللاحقتين: عددان في عدد واحد
الآن نجمع ما سبق في أداة واحدة. خذ ثلاث نقط، و اجعل واحدة منها رأسا، ثم اقسم فرق لاحقتي الضلعين الخارجين منه. العدد الذي تحصل عليه يحمل في طويلته نسبة الطولين، و في عمدته الزاوية بين الضلعين. عدد واحد، و معلومتان.
الشرط: أن تكون النقطتان B و C مختلفتين عن A، و إلّا انعدم بسط أو مقام.
لأن طويلة حاصل قسمة هي حاصل قسمة الطويلتين، و كل طويلة منهما مسافة.
لأن عمدة حاصل قسمة هي فرق العمدتين، و هذا الفرق هو بالضبط الزاوية عند الرأس A، كما رأينا في علاقة شال.
| ما تقرؤه في النسبة | ما يقابله في الشكل |
|---|---|
| طويلتها تساوي 1 | الضلعان الخارجان من الرأس متساويان |
| طويلتها تساوي k | الضلع الأول يساوي k مرة الضلع الثاني |
| عمدتها توافق 0 بترديد π | النقط الثلاث على استقامة واحدة |
| عمدتها توافق نصف π بترديد π | الضلعان متعامدان |
| عمدتها توافق ثلث π أو ناقص ثلث π بترديد دورة كاملة | الزاوية عند الرأس تساوي ثلث π |
4. الارتباط الخطي و التعامد: معياران في سطرين
نحتاج أوّلا إلى تذكير بسيط عن الأعداد المركبة: العدد يكون حقيقيا إذا انعدم جزؤه التخيلي، و يكون تخيليا صرفا إذا انعدم جزؤه الحقيقي. و لهذين الشرطين ترجمة مباشرة بالعمدة.
العدد الحقيقي غير المعدوم صورته على محور الفواصل: إمّا على نصفه الموجب فعمدته معدومة، و إمّا على نصفه السالب فعمدته π. و الحالتان معا تُختصران في توافق مع الصفر بترديد π.
العدد التخيلي الصرف غير المعدوم صورته على محور التراتيب: عمدته نصف π أو ناقص نصف π، و الحالتان تُختصران في توافق مع نصف π بترديد π.
و بما أن عمدة النسبة هي الزاوية عند الرأس، فإن الشرطين السابقين يصيران معيارين هندسيين مباشرين. هذان السطران هما أكثر ما يُستعمل في تمارين البكالوريا.
⭐ النسبة عدد حقيقي غير معدوم معناه أن الزاوية عند A توافق 0 بترديد π، أي أن الضلعين على استقامة واحدة: النقط A و B و C على استقامة واحدة.
⭐ النسبة تخيلي صرف غير معدوم معناه أن الزاوية بين الشعاعين توافق نصف π بترديد π، أي أن المستقيمين المحمولين على الشعاعين متعامدان.
5. طبيعة مثلث تُقرأ من نسبة واحدة
طبيعة المثلث سؤال عن أطوال و عن زوايا معا، و النسبة تحمل الاثنين. لهذا يكفي حسابها عند رأس واحد للإجابة في أغلب الحالات.
طويلة النسبة هي نسبة الطولين، فإذا ساوت 1 تساوى الضلعان الخارجان من A.
عمدة النسبة هي الزاوية عند A، فإذا وافقت نصف π بترديد π كانت الزاوية قائمة.
و المثلث متقايس الأضلاع يجمع الشرطين معا: ساقان متساويتان، و زاوية بينهما تساوي ثلث π. و هذا ليس شرطا زائدا: مثلث متساوي الساقين زاويته الرأسية ثلث π تكون زاويتاه الأخريان متساويتين و مجموعهما ثلثي π، أي أن كلّا منهما ثلث π كذلك.
ساقان متساويتان: الضلعان الخارجان من الرأس لهما الطول نفسه.
⭐ هنا الترديد دورة كاملة لا π: الزاوية ثلث π أو ناقص ثلث π حسب جهة الدوران، و القيمة المطلقة وحدها هي الزاوية الهندسية للمثلث.
المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. النقط A و B و C لواحقها معطاة أدناه، و نأخذ A رأسا لأن السؤال يدور حول الضلعين الخارجين منه.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة المثلث الذي رؤوسه A و B و C، مستعملا طويلة و عمدة نسبة فرقي اللاحقتين.
نبدأ بالفرقين لأنّهما لاحقتا الضلعين الخارجين من الرأس A. لاحظ أنّ طرح عدد سالب يعطي جمعا.
الآن نحسب طولي الضلعين، و كل طول هو طويلة فرق.
نمرّ إلى النسبة. لجعل المقام حقيقيا نضرب البسط و المقام في مرافق المقام، و مرافق −3 + 3i√3 هو −3 − 3i√3.
و هنا الخطوة التي لا تُقفز: نعوّض i² بـ −1، فيصير الحدّ الأخير موجبا.
نقرأ الآن المعلومتين اللتين تحملهما هذه النسبة: أوّلا طويلتها.
ثم عمدتها: نقسم الجزأين على الطويلة، و هي هنا 1، فيظهر جيب التمام و الجيب مباشرة.
الطويلة تساوي 1 معناه أنّ نسبة الطولين تساوي 1.
و العمدة تعطي الزاوية عند الرأس A ; إشارتها السالبة تدلّ على جهة الدوران لا على قيمة أخرى.
و للتحقّق نحسب الضلع الثالث بطريق مستقلّ تماما، لا يمرّ بأي زاوية.
نبقى في المعلم نفسه. النقطتان A و B لاحقتاهما تخيليتان صرفتان، و نضيف إليهما مبدأ المعلم O الذي لاحقته معدومة.
🎯المطلوب: بيّن أنّ النقط O و A و B على استقامة واحدة، دون أن ترسم شيئا.
نأخذ المبدأ رأسا، فنكتب لاحقتي الشعاعين الخارجين منه.
نقسم الأولى على الثانية. المقام هنا مضاد البسط، فالقسمة مباشرة و لا حاجة إلى مرافق.
نطبّق المعيار: ننظر إلى الجزء التخيلي للنسبة.
و بما أنّ النسبة سالبة، فالعمدة توافق π: الشعاعان متضادّان في الاتجاه، و النقطتان على جانبي المبدأ.
في المعلم نفسه، نضيف إلى النقطتين السابقتين النقطتين C و E اللتين لهما التّرتيبة نفسها و فاصلتان متضادّتان.
🎯المطلوب: أثبت أنّ المستقيم الحامل للقطعة الأولى و المستقيم الحامل للقطعة الثانية متعامدان.
نكتب لاحقة كل شعاع على حدة، دائما بفرق اللاحقتين.
في الفرق الثاني يزول الجزء التخيلي لأنّ التّرتيبتين متساويتان: يبقى عدد حقيقي.
نقسم. المقام حقيقي أصلا، فلا حاجة إلى المرافق: نقسم كل حدّ على 6 و نختزل.
نطبّق معيار التعامد: ننظر إلى الجزء الحقيقي.
نأخذ النقط A و B و C و D التي لواحقها أدناه، و ندّعي أنّ النقطة I التي لاحقتها 3 هي مركز دائرة تمرّ بالأربع.
🎯المطلوب: أثبت أنّ النقط الأربع تنتمي إلى دائرة واحدة، و عيّن مركزها و نصف قطرها.
أربع نقط تنتمي إلى دائرة مركزها I معناه أن أبعادها الأربعة عن I متساوية. و كل بعد يُحسب بطويلة فرق.
الفرق هنا يزيل الجزء الحقيقي لأنّ الفاصلتين متساويتان.
نختزل الجذر: 12 يساوي 4 في 3، و جذر 4 هو 2.
نبقى مع النقطتين C و D من المثال السابق.
🎯المطلوب: احسب لاحقة منتصف القطعة التي طرفاها C و D، ثم استنتج موقعه بالنسبة إلى الدائرة.
نطبّق صيغة المنتصف: مجموع اللاحقتين على 2.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net