Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية)

المشتقات المتتابعة

🔊 La maîtresse lit pour toi

المشتقّة دالة مثل غيرها. و ما دامت دالة، فلا شيء يمنع من اشتقاقها هي أيضا، ثمّ اشتقاق ما نتج، و هكذا. و ما الفائدة من اشتقاق المشتقّة؟

الفائدة تأتي لاحقا و هي كبيرة: المشتقّة الثانية تقول إن كان المنحنى محدّبا أو مقعّرا، و هي التي تعطي نقطة الانعطاف. أمّا الآن فنتعلّم كيف نحسبها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب المشتقّات المتتابعة لدالة
التمييز بين الاستمرارية و قابلية الاشتقاق
تفسير عدم قابلية الاشتقاق بيانيا

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب مشتقّة دالة كثير حدود أو ناطقة
تعريف العدد المشتق كنهاية نسبة

1. التعاريف

إذا قبلت المشتقّة الاشتقاق بدورها، سمّينا دالتها المشتقّة المشتقّة الثانية، و هكذا:

السلسلة

كلّ حدّ من السلسلة هو مشتقّة الذي يسبقه، بشرط أن يقبل هذا الأخير الاشتقاق.

f → f' → f'' → f''' → … → f⁽ⁿ⁾

2. الاشتقاقية أقوى من الاستمرارية

الخاصية: القابلة للاشتقاق مستمرّة

وجود العدد المشتق عند a يفرض أن تساوي النهاية الصورة، و هذا هو تعريف الاستمرارية بالحرف.

f'(a) ∈ ℝ ⟹ lim(x → a) f(x) = f(a)

العكس ليس صحيحا. دالة مستمرّة قد لا تكون قابلة للاشتقاق: يكفي أن ينكسر منحناها عند نقطة. الاستمرارية تمنع القفزة، لا الزاوية.

و نهاية النسبة، حسب قيمتها، تُقرأ على الرسم في ثلاث صور — أُولاها و ثانيتها من مثالَي هذا الدرس، و الثالثة هي الحالة التي تبقى فيها الدالة قابلة للاشتقاق:

نهاية لانهائية: المماس عمودي، موازٍ لمحور التراتيب — الدالة غير قابلة للاشتقاق
نهايتان مختلفتان من اليمين و من اليسار: نصفا مماسين، و المنحنى ينكسر — الدالة غير قابلة للاشتقاق
نهاية معدومة: المماس أفقي — و هنا الدالة قابلة للاشتقاق، و عددها المشتق صفر

ثلاثة مشاهد: مماس عمودي عند نقطة انطلاق منحنى الجذر، منحنى ينكسر على شكل زاوية، و مماس أفقي عند أدنى نقطة من منحنى — الحالتان الأوليان غير قابلتين للاشتقاق. — النهاية تقرّر: لانهائية فمماس عمودي، مختلفتان فزاوية، معدومة فمماس أفقي.

مثال 1: ثلاث مشتقّات متتابعة

🎯المطلوب: احسب المشتقّات الثلاث الأولى المتتابعة للدالة المعطاة.

📌المعطى

f(x) = x³ - 1x ; x ∈ ℝ - {0}

🔹الخطوة 1: الأولى

نشتقّ الحدّين: الأوّل بقاعدة القوّة، الثاني بقاعدة المقلوب.

f'(x) = 3x² + 1x²

🔹الخطوة 2: الثانية

نعيد الكرّة على ما تحصّلنا عليه.

f''(x) = 6x - 2x³

🔹الخطوة 3: الثالثة

f'''(x) = 6 + 6x⁴

✅النّتيجة

f'''(x) = 6 + 6x⁴

راقب الإشارة عند كلّ اشتقاق لمقلوب: مشتقّة ⁦1/x⁩ هي ⁦-1/x²⁩، فالسالب يظهر ثمّ يختفي ثمّ يظهر. أكثر الأخطاء في هذا التمرين إشارة، لا حساب.

مثال 2: مستمرّة و غير قابلة للاشتقاق

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة مستمرّة عند الصفر لكنّها غير قابلة للاشتقاق عنده.

📌المعطى

f(x) = |x| ; a = 0

🔹الخطوة 1: الاستمرارية

الاستمرارية أوّلا: النهاية عند الصفر تساوي الصورة.

lim(x → 0) |x| = 0 = f(0)

🔹الخطوة 2: على اليسار

ثمّ النسبة، من اليسار.

lim(h → 0, h < 0) |h|h = -1

🔹الخطوة 3: على اليمين

lim(h → 0, h > 0) |h|h = 1

✅النّتيجة: مستمرّة، غير قابلة للاشتقاق

النهايتان مختلفتان، فالنسبة لا تقبل نهاية.

-1 ≠ 1

هذا المثال المضادّ يُطلب حرفيا في الامتحانات لأنّه يفصل بين المفهومين. احفظه بحسابه، لا بنتيجته.

مثال 3: مماس عمودي

🎯المطلوب: أدرس قابلية اشتقاق الدالة عند العدد واحد ثمّ فسّر النتيجة بيانيا.

📌المعطى

g(x) = √(x - 1) ; a = 1

🔹الخطوة 1: النسبة

نحسب النسبة عند العدد واحد.

g(1 + h) - g(1)h=√hh

🔹الخطوة 2: التبسيط

نبسّط: جذر h على h يساوي مقلوب جذر h.

√hh = 1√h

🔹الخطوة 3: النهاية

lim(h → 0) 1√h = +∞

✅النّتيجة: مماس موازٍ لمحور التراتيب

نهاية لانهائية تعني ميلا يكبر بلا حدّ: المماس ينتصب.

g'(1) ∉ ℝ

نهاية لانهائية للنسبة ليست « لا يوجد مماس »: المماس موجود، لكنّه عمودي فلا معامل توجيه له. التمييز بين الحالتين يُنقّط.

سؤال « أدرس قابلية الاشتقاق عند a » يُنتظر منه دائما تفسير بياني، لا حساب فقط. اربط صراحة: نهاية منتهية تعطي مماسا مائلا، معدومة مماسا أفقيا، لانهائية مماسا عموديا، و نهايتان مختلفتان نصفَي مماسين.

الخلاصة: المشتقّة دالة تُشتقّ بدورها، و السلسلة تعطي المشتقّات المتتابعة. و قابلية الاشتقاق أقوى من الاستمرارية: كلّ قابلة للاشتقاق مستمرّة، و العكس غير صحيح.

Page 1/6