Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) الإشتقاقية 2

جدول المشتقات و العمليات على الدوال المشتقة

🔊 La maîtresse lit pour toi

حساب مشتقّة بالتعريف يأخذ صفحة كاملة. و مع ذلك، في الامتحان، تُحسب مشتقّة دالة معقّدة في سطر واحد. فما الذي يختصر كلّ هذا الطريق؟

جدول محفوظ و أربع قواعد. التعريف يُستعمل مرّة واحدة لبناء الجدول، ثمّ لا يُعاد أبدا إلّا إذا طُلب صراحة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

توظيف جدول مشتقّات الدوال المألوفة
حساب مشتقّة مجموع، جداء و حاصل قسمة
حساب مشتقّة دالة من الشكل ⁦u(a x + b)⁩

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعريف العدد المشتق كنهاية نسبة
تحديد مجال تعريف دالة ناطقة أو صمّاء

1. مشتقّات الدوال المألوفة

ثابت k ← مشتقّته 0، على ℝ
x ← مشتقّته 1، على ℝ
xⁿ مع n طبيعي أكبر من أو يساوي 2 ← مشتقّته ⁦n xⁿ⁻¹⁩، على ℝ
⁦1/x ←⁩ مشتقّته ⁦-1/x²⁩، على كلّ من المجالين المنفصلين
⁦√x ←⁩ مشتقّته ⁦1/(2√x)⁩، على المجال المفتوح الموجب فقط
cos x ← مشتقّته -sin x، و sin x ← مشتقّته cos x، على ℝ

انتبه إلى مجال قابلية الاشتقاق: الدالة الجذرية معرّفة عند الصفر لكنّها لا تقبل الاشتقاق عنده. المجال ليس تفصيلا يُكتب في آخر السطر، هو جزء من الجواب.

جدول من ثلاثة أعمدة يجمع الدوال المألوفة و مشتقّاتها و مجالات قابلية اشتقاقها. — جدول يُحفظ: لكلّ دالة مألوفة مشتقّتها و مجال قابلية اشتقاقها، و المجال جزء من الجواب.

2. العمليات على الدوال المشتقّة

المجموع و المضاعف

(u + v)' = u' + v' ; (k u)' = k u'

الجداء

ليست u'v' : هذا هو الخطأ الأوّل في هذا الدرس، و هو يكلّف السؤال كلّه.

(u v)' = u'v + v'u

المقلوب و القسمة

بشرط ألّا تنعدم v على المجال. لاحظ ترتيب البسط: u'v أوّلا، و السالب يلي.

(1v)' = -v'v² ; (uv)' = u'v - v'uv²

و منه نتيجتان تُعفيان من كلّ تحقّق: كثيرات الحدود قابلة للاشتقاق على ℝ، و الدوال الناطقة قابلة للاشتقاق على كلّ مجال محتوى في مجموعة تعريفها.

3. مشتقّة الدالة المركّبة مع دالة تآلفية

القاعدة

المعامل a يخرج أمام المشتقّة. نسيانه هو الخطأ الثاني الأكثر شيوعا.

f(x) = u(a x + b) ⟹ f'(x) = a u'(a x + b)

مثالان يُحفظان معا: مشتقّة ⁦sin(a x + b)⁩ هي ⁦a cos(a x + b)⁩، و مشتقّة ⁦cos(a x + b)⁩ هي ⁦-a sin(a x + b)⁩. السالب في الثانية، لا في الأولى.

مثال 1: ثلاث دوال، ثلاث قواعد

🎯المطلوب: عيّن مشتقّة كلّ دالة من الدوال الثلاث المعطاة على المجال الموجب.

📌المعطى

f(x)=-(12)x³ + 3x² - x + 3

🔹الخطوة 1: كثير الحدود

كثير حدود: نشتقّ حدّا حدّا.

f'(x)=-(32)x² + 6x - 1

🔹الخطوة 2: المعطى الثاني

جداء دالّتين: نطبّق قاعدة الجداء.

g(x) = (x + 1)√x

🔹الخطوة 3: الجداء

g'(x)=√x + (x + 1) × 12√x

🔹الخطوة 4: التبسيط

نوحّد المقام ثمّ نجمع.

g'(x) = 3x + 12√x

✅النّتيجة: القسمة

حاصل قسمة: البسط u'v - v'u على مربّع المقام.

h(x) = sin xx ⟹ h'(x) = x cos x - sin xx²

ابدأ دائما بالتعرّف على شكل الدالة: مجموع، جداء، أو قسمة. القاعدة تتبع الشكل، و من أخطأ في التعرّف أخطأ في كلّ ما بعده.

مثال 2: مشتقّة دون تعيين الدالة

🎯المطلوب: عيّن مشتقّتَي الدالّتين دون تعيين الدالّتين نفسيهما.

📌المعطى

نعلم فقط مشتقّة f، و لا نعرف f نفسها.

f'(x)=1x² + x + 1

🔹الخطوة 1: الأولى

الأولى هي f مركّبة مع الدالة المعاكسة: المعامل يساوي ناقص واحد.

g(x) = f(-x) ⟹ g'(x) = -f'(-x)

🔹الخطوة 2: التعويض

نعوّض بـ ناقص x في عبارة المشتقّة.

g'(x)=-1x² - x + 1

🔹الخطوة 3: الثانية

الثانية مركّبة مع دالة تآلفية معاملها اثنان.

h(x) = f(2x - 1) ⟹ h'(x) = 2f'(2x - 1)

✅النّتيجة

ننشر المقام: ⁦(2x-1)² + (2x-1) + 1 = 4x² - 2x + 1⁩.

h'(x)=24x² - 2x + 1

لم نحتج إلى معرفة f. القاعدة تعمل على المشتقّة المعطاة، و هذا بالضبط ما يجعل السؤال ممكنا. لا تضيّع وقتك في البحث عن f.

مثال 3: علاقة بين حدّين متتابعين

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة تقبل الاشتقاق على المجال الموجب، ثمّ عبّر عن مشتقّة الحدّ الموالي بدلالة الرتبة و الحدّ نفسه.

📌المعطى

f_n(x) = xⁿ√x ; x ≥ 0

🔹الخطوة 1: مجال قابلية الاشتقاق

جداء دالّتين: الأولى قابلة للاشتقاق على ℝ و الثانية على المجال المفتوح الموجب.

]0 ; +∞[

🔹الخطوة 2: الحدّ الموالي

f_n+1(x) = xⁿ⁺¹√x

🔹الخطوة 3: الجداء

نطبّق قاعدة الجداء على الحدّ الموالي.

f'_n+1(x)=(n + 1)xⁿ√x + xⁿ⁺¹ × 12√x

🔹الخطوة 4: التبسيط

الحدّ الثاني يُبسّط: x مرفوع إلى ⁦n+1⁩ على جذر x يعطي ⁦xⁿ√x⁩.

f'_n+1(x)=(n + 1)xⁿ√x + (12)xⁿ√x

✅النّتيجة

f'_n+1(x) = (n + 32) f_n(x)

النتيجة جميلة لأنّها تربط مشتقّة حدّ بالحدّ الذي يسبقه. هذا النوع من الأسئلة يحضّر البرهان بالتراجع: احتفظ بالعلاقة، ستعود.

لا يُطلب منك حفظ الجدول فحسب، بل إعلان المجال في كلّ مرّة. « f قابلة للاشتقاق على ℝ لأنّها كثير حدود » سطر يُنقّط. و في القسمة، تحقّق أنّ المقام لا ينعدم قبل أن تشتقّ: هذا السطر يُنقّط أيضا.

الخلاصة: جدول مشتقّات الدوال المألوفة و أربع قواعد للعمليات تُغنيان عن التعريف. القاعدة تتبع شكل الدالة، و المعامل a يخرج أمام المشتقّة في الدالة المركّبة مع تآلفية.

Page 1/7