Mathématiques🎓 objectif bac

الدالتان الأسية واللوغاريتمية الدالة اللوغاريتمية النيبيرية التغيرات و النهايات

دراسة الدالة ⁦ln⁩ و حل معادلات و متراجحات لوغاريتمية

🔊 La maîtresse lit pour toi

نعرف الآن ما هي الدالة ln و كيف تتصرّف جبريا. لكنّنا لا نعرف بعد إلى أين تذهب عند الحافّتين، و لا كيف نحلّ معادلة يظهر فيها اللوغاريتم. فما هي نهايتا الدالة ln، و كيف نحلّ معادلة أو متراجحة لوغاريتمية دون أن نخسر شرط الوجود؟

النهايتان تُبرهنان من تزايد الدالة وحده، و المشتقّة تُستنتج بحيلة جميلة: نشتقّ الدالة ⁦exp(ln x)⁩ بطريقتين، و نقارن.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب نهايتَي الدالة ln عند 0 و عند +∞
إثبات أنّ مشتقّة الدالة ln هي مقلوب x، و قراءة جدول تغيّراتها
كتابة معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة 1 و توظيف النهاية الشهيرة
حلّ معادلة و متراجحة لوغاريتميتين مع تحديد شرط الوجود أوّلا

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعريف الدالة ln و خواصها الجبرية
نهاية دالة مركّبة و تعريف العدد المشتقّ

1. النهايتان

عند +∞

ليكن A عددا موجبا تماما. الدالة ln متزايدة تماما، فإذا كان ⁦x > exp(A)⁩ فإنّ ⁦ln x > A⁩. إذن قيم ln x تتجاوز أيّ عدد مهما كان كبيرا.

lim(x → +∞) ln x = +∞

عند 0

نضع ⁦X = 1/x⁩. لمّا يؤول x إلى الصفر بقيم موجبة يؤول X إلى +∞، و ⁦ln X = -ln x⁩، فيؤول ln x إلى -∞. المجال ⁦]0 ; +∞[⁩ يفرض الاقتراب من اليمين.

lim(x → 0) ln x = -∞

و منه قراءة بيانية فورية: المنحنى يقبل محور التراتيب مستقيما مقاربا.

2. الاستمرارية و المشتقّة

نقبل أنّ الدالة ln مستمرّة و قابلة للاشتقاق على ⁦]0 ; +∞[⁩. أمّا مشتقّتها فتُحسب، و لا تُقبل:

المشتقّة

نعتبر الدالة المعرّفة على ⁦]0 ; +∞[⁩ بـ ⁦exp(ln x)⁩. من جهة هي مركّب، فمشتقّتها ⁦ln'(x) × exp(ln x)⁩ أي ⁦ln'(x) × x⁩. و من جهة ثانية هي الدالة x نفسها، فمشتقّتها 1. المقارنة تعطي النتيجة.

ln'(x) = 1x

هذا البرهان يستحقّ أن يُفهم لا أن يُحفظ: هو نموذج لكلّ برهان على دالة عكسية — نُركّب، نشتقّ مرّتين بطريقتين مختلفتين، ثمّ نقارن.

المشتقّة موجبة تماما على المجال كلّه، إذن الدالة متزايدة تماما على ⁦]0 ; +∞[⁩، و منها تأتي المكافآت التي تحلّ المعادلات:

المكافآت

من أجل a و b موجبين تماما. هي المرآة الدقيقة لمكافآت الأسّية.

ln a = ln b ⟺ a = b ; ln a < ln b ⟺ a < b

المقارنة بالصفر

لأنّ ⁦ln 1 = 0⁩. هذه هي إشارة الدالة ln، و تُقرأ مباشرة دون أيّ حساب.

ln a > 0 ⟺ a > 1 ; ln a < 0 ⟺ 0 < a < 1

جدول تغيّرات الدالة اللوغاريتمية فوق منحناها: المنحنى يمرّ من النقطة ذات الفاصلة واحد، و يلامسه هناك المستقيم ⁦y = x - 1⁩، و يقترب من محور التراتيب. — المماس ⁦y = x - 1⁩ يبقى فوق المنحنى في كلّ مكان — مرآة تامّة لحالة الأسّية.

3. المماس عند 1 و النهاية الشهيرة

معادلة المماس

عند ⁦x₀ = 1⁩ لدينا ⁦ln 1 = 0⁩ و ⁦ln'(1) = 1/1 = 1⁩، فتصير المعادلة ⁦y = 1 × (x - 1) + 0⁩.

y = x - 1

🔹النهاية الشهيرة

هي بالتعريف العدد المشتقّ ⁦ln'(1)⁩، لأنّ ⁦ln 1 = 0⁩. و تُكتب كذلك بوضع ⁦x = 1 + h⁩.

lim(h → 0) ln(1 + h)h = 1

التقريب التآلفي

من أجل h قريب من الصفر. المستقيم ⁦y = x - 1⁩ هو أحسن تقريب تآلفي للدالة ln بجوار 1.

ln(1 + h) ≈ h

مثال 1: معادلة لوغاريتمية

نعتبر المعادلة ⁦ln x + ln(x + 3) = ln 4⁩.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ هذه المعادلة، مع تحديد شرط الوجود.

🔹الخطوة 1: شرط الوجود

⛔ أوّلا شرط الوجود: كلا الطرفين يجب أن يكون لوغاريتم عدد موجب تماما.

x > 0 ; x + 3 > 0 ⟹ x > 0

🔹الخطوة 2: التجميع

نجمع الطرف الأيسر بخاصية الجداء.

ln x + ln(x + 3) = ln(x² + 3x)

🔹الخطوة 3: حذف اللوغاريتم

نطبّق مكافأة التساوي.

x² + 3x = 4

✅النّتيجة

جذرا المعادلة 1 و ⁦−4⁩، و الثاني مرفوض بشرط الوجود.

S = {1}

⛔ شرط الوجود يُكتب قبل أيّ حساب، لا بعده. الجذر ⁦−4⁩ يحقّق المعادلة الجبرية و لا يحقّق المعادلة اللوغاريتمية: بدون السطر الأوّل تكتب جوابا خاطئا بحساب صحيح.

مثال 2: متراجحة لوغاريتمية

نعتبر المتراجحة ⁦ln(2x - 1) > 0⁩.

🎯المطلوب: حلّ في ℝ هذه المتراجحة.

🔹الخطوة 1: شرط الوجود

شرط الوجود أوّلا.

2x - 1 > 0 ⟹ x > 12

🔹الخطوة 2: توحيد الكتابة

نكتب 0 على صيغة لوغاريتم.

ln(2x - 1) > ln 1

🔹الخطوة 3: حذف اللوغاريتم

التزايد التامّ يحفظ الترتيب.

2x - 1 > 1

✅النّتيجة

نقاطع مع شرط الوجود، و هو محقّق تلقائيا.

S = ]1 ; +∞[

مجموعة الحلول هي دائما تقاطع ما وجدته مع شرط الوجود. اكتب التقاطع صراحة حتّى لمّا يكون بديهيا: إنّه سطر يُنقّط.

مثال 3: نهاية بتوظيف النهاية الشهيرة

نعتبر النهاية ⁦lim(x → 0) (ln(1 + 2x))/x⁩، و هي عدم تعيين من النوع صفر على صفر.

🎯المطلوب: احسب هذه النهاية.

🔹الخطوة 1: تهيئة الكتابة

نُظهر الصيغة الشهيرة بضرب و قسمة على 2.

ln(1 + 2x)x=2 × ln(1 + 2x)2x

🔹الخطوة 2: تغيير المتغيّر

نضع ⁦h = 2x⁩، فيؤول h إلى الصفر مع x.

lim(h → 0) ln(1 + h)h = 1

✅النّتيجة

يبقى العامل 2.

lim(x → 0) ln(1 + 2x)x = 2

نفس الحيلة التي استعملناها مع الأسّية: اجعل ما تحت الكسر مطابقا لما داخل اللوغاريتم، و العامل الذي تضربه هو الجواب.

في كلّ دراسة دالة لوغاريتمية، مجموعة التعريف تُنقّط قبل كلّ شيء. ابدأ بها، اكتبها على صيغة اتّحاد مجالات، و لا تحسب أيّ نهاية قبل أن تعرف على أيّ مجال تعمل. من نسي هذا السطر خسر أحيانا سلسلة الأسئلة كلّها.

الخلاصة: ln تنطلق من -∞ ملتصقة بمحور التراتيب، تمرّ من ⁦(1 ; 0)⁩ بمماس ⁦y = x - 1⁩، ثمّ تصعد ببطء نحو +∞. مشتقّتها مقلوب x، و هي متزايدة تماما — و من هذا التزايد تأتي كلّ المكافآت. و شرط الوجود يُكتب دائما أوّلا.

Page 1/7