الدالتان الأسية واللوغاريتمية
دراسة الدالة ln ∘ u و تعريف اللوغاريتم العشري
القواعد الثلاث هي نفسها التي رأيناها مع الأسّية، مع شرط إضافي واحد: الدالة الداخليّة يجب أن تكون موجبة تماما، و إلاّ لم يكن للوغاريتم معنى.
- تعيين مجموعة تعريف دالة على صيغة ln ∘ u
- حساب نهايات دالة على صيغة ln ∘ u باستعمال نهاية دالة مركّبة
- حساب مشتقّة دالة على صيغة ln ∘ u و استنتاج اتجاه تغيّرها
- تعريف اللوغاريتم العشري و استعماله في تأطير عدد
- دراسة الدالة ln و خواصها
- نهاية و اشتقاق دالة مركّبة
1. مجموعة التعريف و النهايات
ثمّ تُحسب النهاية على مرحلتين، كما في كلّ دالة مركّبة: نهاية الداخليّة أوّلا، ثمّ نهاية اللوغاريتم عند تلك القيمة.
2. اتجاه التغيّر
إذا كانت u معرّفة و موجبة تماما على مجال I، فللدالتين u و ln ∘ u نفس اتجاه التغيّر على I، لأنّ ln متزايدة تماما.
3. المشتقّة
إذا كانت u قابلة للاشتقاق و موجبة تماما على مجال I، فـ ln ∘ u قابلة للاشتقاق على I و مشتقّتها هي حاصل قسمة مشتقّة الداخليّة على الداخليّة نفسها.
4. دالة اللوغاريتم العشري
في الفيزياء و الكيمياء نحتاج لوغاريتما يعطي 1 عند 10، لا عند e. نبنيه من ln مباشرة:
معرّفة على ]0 ; +∞[. ليست دالة جديدة: هي الدالة ln مضروبة في الثابت الموجب 1 ÷ ln 10، و لهذا ترث كلّ خواصها.
الأولى لأنّ ln 1 = 0، و الثانية لأنّ البسط و المقام متساويان.
كلّ خواص ln تبقى محقّقة، لأنّ القسمة على الثابت ln 10 لا تغيّر شيئا في البنية.
من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n، لأنّ log 10 = 1. هذه هي فائدة اللوغاريتم العشري: يقرأ رتبة العدد مباشرة.
نعتبر الدالة f المعرّفة بـ f(x) = ln(x - 2).
🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة f ثمّ احسب نهايتيها عند حافّتي هذه المجموعة.
نحلّ المتراجحة التي تعرّف الدالة.
نهاية الداخليّة عند الحافّة اليسرى للمجال.
و نهاية اللوغاريتم عند الصفر هي -∞.
نعيد العمل عند +∞.
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ f(x) = ln(x² + x + 1) و g(x) = ln(ex + 1).
🎯المطلوب: احسب مشتقّة كلّ من الدالتين f و g، ثمّ حدّد إشارة كلّ مشتقّة.
الداخليّة كثير حدود موجب تماما، فالدالة معرّفة على ℝ.
نطبّق القاعدة: مشتقّة الداخليّة على الداخليّة.
الداخليّة الثانية موجبة تماما لأنّ الأسّية كذلك.
نطبّق القاعدة نفسها.
نعتبر العدد الحقيقي x حيث x = 3,87 × 10⁷.
🎯المطلوب: أطّر العدد log x بين عددين صحيحين متتاليين.
نؤطّر العدد بين قوّتين متتاليتين للعشرة.
الدالة log متزايدة تماما، فالتأطير محفوظ.
و log لقوّة العشرة هو الأسّ نفسه.
Page 1/7
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net