الاحتمالات والإحصاء
الاحتمالات المتساوية: احتمال حادثة و قانون احتمال متغير عشوائي
الاحتمال ليس رأيا و لا إحساسا: هو عدد بين صفر و واحد نعلّقه على حادثة. و كلّ هذا الباب يقوم على فكرة واحدة — نمذجة التجربة أوّلا، ثمّ العدّ.
- تعيين مجموعة مخارج تجربة عشوائية و التعرّف على حادثة منها
- التحقّق من أنّ متتالية أعداد تعرّف قانون احتمال
- حساب احتمال حادثة في حالة تساوي الاحتمال بالعدّ
- توظيف خواصّ الاحتمال، و خاصّة الحادثة العكسية
- تعيين قانون احتمال متغيّر عشوائي انطلاقا من تجربة
- مفهوم التجربة العشوائية و الحادثة من السنة الثانية
- حساب النسب و التعامل مع الكسور
1. التجربة العشوائية و مجموعة المخارج
التجربة العشوائية تجربة نعرف كلّ نتائجها الممكنة مسبقا، لكنّنا لا نستطيع التنبّؤ بالنتيجة التي ستقع. مجموعة نتائجها الممكنة تسمّى مجموعة المخارج و نرمز لها بـ E.
- الحادثة: كلّ جزء من E. تتحقّق إذا كان المخرج المحصّل عليه ينتمي إليها
- الحادثة الأوّلية: جزء يحوي مخرجا واحدا فقط
- الحادثة الأكيدة: المجموعة E نفسها، فهي تتحقّق دائما
- الحادثة المستحيلة: المجموعة الخالية، فهي لا تتحقّق أبدا
- الحادثة العكسية للحادثة A، و نرمز لها بـ A: تتحقّق لمّا لا تتحقّق A
- حادثتان غير متلائمتين: تقاطعهما خال، أي لا يمكن أن تتحقّقا معا
2. قانون الاحتمال
نمذجة تجربة عشوائية عدد مخارجها منته معناها: إعطاء كلّ مخرج عددا يقيس حظّه. هذه المتتالية من الأعداد تسمّى قانون احتمال على E، و شرطاها اثنان فقط:
حظّ لا يكون سالبا، و لا يتجاوز اليقين.
لأنّ أحد المخارج يقع حتما. هذا الشرط هو أوّل ما تتحقّق منه في كلّ تمرين: قانون مجموعه ليس 1 ليس قانون احتمال.
3. حالة تساوي الاحتمال
لمّا تكون لكلّ المخارج الحظوظ نفسها — قطعة نقد متوازنة، نرد غير مزوّر، كريات لا نميّز بينها باللمس — نقول إنّ قانون الاحتمال متساوي التوزيع. عندئذ يؤول حساب أيّ احتمال إلى مسألة عدّ، و هذا بالضبط سبب وجود دروس العدّ التي تليه.
r مخرجا متساوية الحظوظ و مجموع احتمالاتها 1.
احتمال حادثة هو مجموع احتمالات المخارج التي تكوّنها؛ و لمّا تتساوى كلّها يصير المجموع عددها مقسوما على العدد الكلّي.
4. خواصّ الاحتمال
لا مخرج مشترك بينهما، فلا شيء يُحسب مرّتين.
A و عكسيتها غير متلائمتين و اتّحادهما E. هذه الخاصّية هي أنفع ما في الفصل كلّه: كلّما قرأت «على الأقلّ» فكّر فيها.
لأنّ المخارج المشتركة تُحسب مرّتين في المجموع، فنطرحها مرّة.
5. المتغيّر العشوائي و قانونه
كثيرا ما لا يهمّنا المخرج في ذاته، بل عدد مرفق به: ربح لاعب، عدد الكريات البيضاء، مجموع نقاط نردين. المتغيّر العشوائي X هو بالضبط هذا: دالة عددية معرّفة على مجموعة المخارج E.
الكتابة (X = xᵢ) تعني الحادثة المكوّنة من كلّ المخارج التي تعطي القيمة xᵢ. إرفاق كلّ قيمة باحتمالها هو قانون احتمال جديد، يسمّى قانون المتغيّر X.
صندوق فيه ستّ كريات لا نميّز بينها باللمس: ثلاث منها تحمل الرقم 1، و كريتان تحملان الرقم 2، و كرية واحدة تحمل الرقم 3. نسحب عشوائيا كرية واحدة.
🎯المطلوب: عيّن قانون احتمال الرقم المسحوب، ثمّ تحقّق من أنّه قانون احتمال فعلا.
نعيّن مجموعة المخارج: الأرقام الثلاثة المكتوبة على الكريات.
الكريات لا نميّز بينها باللمس، فالكريات الستّ متساوية الحظوظ، لا الأرقام الثلاثة. نعدّ إذن الكريات.
احتمال رقم هو عدد الكريات التي تحمله على ستّة.
نتحقّق من شرط المجموع بتوحيد المقامات على ستّة.
فالمتتالية تحقّق الشرطين، و هي إذن قانون احتمال.
في مدينة ما، احتمالا ميلاد ذكر و ميلاد أنثى متساويان. نختار عشوائيا عائلة ذات خمسة أطفال، و نرمز للذكر بـ G و للأنثى بـ F، فيكون كلّ مخرج قائمة مثل (F, G, F, G, G).
🎯المطلوب: احسب احتمال الحادثة A: «من بين الأطفال الخمسة يوجد أربعة ذكور على الأقلّ».
ميلاد كلّ طفل يعطي حرفين ممكنين، و الأطفال خمسة، فالمخرج قائمة ذات خمسة عناصر.
الحادثة «أربعة على الأقلّ» تنقسم إلى حالتين لا تلتقيان: أربعة بالضبط، أو خمسة.
عدد المخارج ذات أربعة ذكور هو عدد اختيارات موضع البنت الوحيدة بين خمسة مواضع.
و حالة الخمسة ذكور مخرج واحد لا غير.
الحادثتان غير متلائمتين، فنجمع العددين.
و الميلادان متساويا الاحتمال، فنقسم على 32 ثمّ نختزل بالقسمة على 2.
نبقى مع العائلة ذات خمسة أطفال في الوضعية السابقة نفسها.
🎯المطلوب: احسب احتمال الحادثة B: «عدد الإناث أكبر من عدد الذكور».
بما أنّ الأطفال خمسة، فالعدد فردي و لا يمكن التساوي: الإناث أكثر إذا كنّ ثلاثا أو أربعا أو خمسا.
خمس إناث: مخرج واحد. أربع إناث: موضع الذكر الوحيد، خمسة اختيارات.
ثلاث إناث: نختار موضعي الذكرين من بين خمسة. للأوّل خمسة مواضع و للثاني أربعة، لكنّ كلّ زوج يُحسب مرّتين لأنّ ترتيب الذكرين بينهما لا يهمّ، فنقسم على اثنين.
الحالات الثلاث منفصلة مثنى مثنى، فنجمع.
نقسم على 32.
صندوق فيه كريتان لا نميّز بينهما باللمس: إحداهما بيضاء B و الأخرى سوداء N. نسحب ثلاث مرّات كرية واحدة بإرجاعها في كلّ مرّة. سحب البيضاء يربح 20 دينارا و سحب السوداء يخسر 10 دنانير. نسمّي X الربح المحصّل عليه.
🎯المطلوب: عيّن قانون احتمال المتغيّر العشوائي X.
السحب بإرجاع ثلاث مرّات من كريتين، فالمخرج قائمة ذات ثلاثة عناصر من حرفين.
كلّ كرية بيضاء تزيد الربح عشرين دينارا و كلّ سوداء تنقصه عشرة. المخرج ذو ثلاث سوداوات يعطي الحدّ الأدنى.
و بإبدال كلّ سوداء ببيضاء يزيد الربح ثلاثين، فالقيم تتقدّم بخطوة ثابتة قدرها ثلاثون.
قيمة 30 تعني بيضاوين و سوداء واحدة، و مواضع السوداء ثلاثة.
و بالطريقة نفسها نعدّ مخارج القيم الثلاث الباقية: مخرج واحد للحدّ الأدنى، و ثلاثة للقيمة صفر، و مخرج واحد للحدّ الأعلى.
نقسم كلّ عدد على ثمانية.
نتحقّق من المجموع قبل الإجابة.
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net