مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الاحتمالات والإحصاء

الأمل الرياضياتي، التباين و الانحراف المعياري

🔊 La maîtresse lit pour toi
صندوق فيه 37 قريصة لا نميّز بينها باللمس، منها 18 حمراء. لعبتان: في الأولى تدفع 10 دنانير و تربح 10 إن سحبت حمراء، و في الثانية تدفع 10 دنانير و تعيّن رقما فتربح 350 دينارا إن خرج. أيّهما تختار؟ الأولى تُربح كثيرا و قليلا، و الثانية نادرا و كثيرا. فبأيّ عدد نقارن لعبتين لا تشبه إحداهما الأخرى؟

الأمل و التباين ليسا جديدين عليك: هما الوسط الحسابي و التباين في الإحصاء، بعينهما، و قد استبدل بالتكرارات النسبية احتمالات. ما تغيّر هو أنّ الأعداد لم تعد مقروءة من سلسلة وقعت، بل متوقّعة من تجربة لم تقع بعد.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب الأمل الرياضياتي لمتغيّر عشوائي و تفسيره كربح متوسّط
  • حساب التباين و الانحراف المعياري بالتعريف و بالدستور المختصر
  • توظيف خواصّ الخطّية لحساب أمل مجموع متغيّرات
  • الحكم على لعبة بأنّها عادلة أو لا انطلاقا من أملها
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعيين قانون احتمال متغيّر عشوائي
  • الوسط الحسابي المرجّح و الانحراف المعياري في الإحصاء

1. الأمل الرياضياتي

الأمل الرياضياتي

كلّ قيمة تُوزن باحتمالها: القيم ذات الحظّ الكبير تجرّ الأمل نحوها. و لأنّ مجموع الأوزان يساوي واحدا، فالنتيجة معدّل مرجّح، لا مجموعا.

E(X)=p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
E(X)أمل المتغيّر العشوائي Xxiالقيمة ذات الرتبة i التي يأخذها Xpiاحتمال الحادثة التي عندها يأخذ X القيمة xᵢ

معنى الأمل هو الربح المتوسّط على المدى الطويل: لو أعدت التجربة آلاف المرّات لاقترب معدّل ما تحصّلت عليه من ⁦E(X)⁩. و لهذا لا يلزم أن تكون قيمة الأمل من بين قيم المتغيّر — معدّل عائلة جزائرية ليس عددا صحيحا من الأطفال، و مع ذلك يفيد.

الأمل ليس وسط القيم، بل نقطة توازنها موزونة بالاحتمالات؛ و الانحراف المعياري يقيس تشتّتها حوله.
⭐ الأمل هو نقطة التوازن. تخيّل الأعمدة أثقالا موضوعة على مسطرة: الموضع الوحيد الذي تتوازن عنده المسطرة هو الأمل. هذه الصورة تجعلك تخمّن النتيجة قبل الحساب، و تكشف لك الخطأ الجسيم: أمل خارج مجال القيم مستحيل.

2. التباين و الانحراف المعياري

الأمل وحده لا يكفي: لعبتان لهما الأمل نفسه قد تكونان مختلفتين تماما، إحداهما هادئة و الأخرى متقلّبة. ما ينقص هو قياس التشتّت حول الأمل.

التباين بالتعريف

نقيس بعد كلّ قيمة عن الأمل، نربّعه حتّى لا تتقاصّ الأبعاد الموجبة و السالبة، ثمّ نأخذ معدّلها المرجّح.

V(X)=p1 (x1 − E(X))² + ... + pn (xn − E(X))²
V(X)تباين المتغيّر العشوائي X
الدستور المختصر

أسرع في الحساب لأنّه لا يحتاج طرح الأمل من كلّ قيمة؛ يكفي جدول ثالث للمربّعات. و هو الدستور نفسه الذي رأيته في الإحصاء.

V(X) = E(X²) − (E(X))²
الانحراف المعياري

التباين بوحدة مربّعة (دينار مربّع لا معنى له)، فنأخذ جذره لنعود إلى وحدة المتغيّر نفسها. لهذا يُقارن بالانحراف المعياري، لا بالتباين.

σ(X) = √(V(X))
⛔ التباين لا يكون سالبا أبدا: هو مجموع مربّعات موزونة بأعداد موجبة. تباين سالب في ورقتك يعني خطأ حسابيا، غالبا في الدستور المختصر حيث يُنسى تربيع الأمل أو يُقلب الترتيب. و انعدامه يعني أنّ المتغيّر ثابت: يأخذ القيمة نفسها مهما كانت نتيجة التجربة.

3. خواصّ الأمل و التباين

خطّية الأمل

⭐ خاصّية الجمع صحيحة حتّى لو كان المتغيّران مرتبطين، و هذا ما يجعلها قويّة جدّا: تحسب أمل مجموع دون أن تعرف قانون المجموع.

E(X + Y) = E(X) + E(Y) ; E(a X) = a E(X)
Yمتغيّر عشوائي آخر معرّف على الوضعية نفسهاaعدد حقيقي ثابت
الانسحاب بثابت

إضافة ثابت تحرّك كلّ القيم معا: الأمل ينتقل معها، و التشتّت لا يتغيّر.

E(X + b) = E(X) + b ; V(X + b) = V(X) ; σ(X + b) = σ(X)
bعدد حقيقي ثابت
الضرب في ثابت

التمديد بمعامل a يضاعف الأبعاد بـ a، فيضاعف مربّعاتها بـ a². و القيمة المطلقة لازمة لأنّ الانحراف المعياري موجب دائما، و لو كان a سالبا.

V(a X) = a² V(X) ; σ(a X) = |a| σ(X)

4. اللعبة العادلة

لتكن X ربح اللاعب. اللعبة عادلة إذا انعدم أملها: على المدى الطويل لا يربح أحد و لا يخسر أحد. و إذا كان الأمل موجبا فاللعبة في مصلحة اللاعب، و إذا كان سالبا فهي في مصلحة منظّمها. كلّ الألعاب المنظّمة في العالم لها أمل سالب بالنسبة للاعب، و هذا بالضبط ما يموّل المنظّم.

شرط العدالة

X هو ربح اللاعب. فمن قرأ الإشارة على أنّها ربح المنظّم قلب الاستنتاج كلّه: حدّد صاحب الربح قبل أن تحكم.

E(X) = 0
مثال 1: أمل و تباين قانون ربح

نستعمل قانون الربح X المعيّن في الدرس السابق: القيم ⁦−30⁩ و 0 و 30 و 60 باحتمالات ⁦1/8⁩ و ⁦3/8⁩ و ⁦3/8⁩ و ⁦1/8⁩ على الترتيب. الوحدة هي الدينار.

🎯المطلوب: احسب الأمل الرياضياتي و التباين و الانحراف المعياري لهذا الربح.

🔹الخطوة 1: كتابة الأمل

نضرب كلّ قيمة في احتمالها ثمّ نجمع.

E(X)=(−30)(18) + (0)(38) + (30)(38) + (60)(18)
🔹الخطوة 2: الحساب

نحسب البسوط على مقام موحّد هو 8.

E(X)=−30 + 0 + 90 + 608=1208
🔹الخطوة 3: الأمل

فالربح المتوسّط خمسة عشر دينارا للعبة.

E(X) = 15
🔹الخطوة 4: كتابة التباين

ثمّ نطبّق التعريف: بعد كلّ قيمة عن 15، مربّعا، موزونا.

V(X)=(18)(−45)² + (38)(−15)² + (38)(15)² + (18)(45)²
🔹الخطوة 5: المربّعات

نحسب المربّعات: 45 مربّعا يساوي 2025 و 15 مربّعا يساوي 225.

V(X)=2025 + 3(225) + 3(225) + 20258
🔹الخطوة 6: التباين

نجمع البسط: ⁦2025 + 675 + 675 + 2025 = 5400⁩.

V(X)=2025 + 675 + 675 + 20258=54008=675
✅النّتيجة

و الانحراف المعياري جذره.

σ(X) = √675 ≈ 25,98
⭐ لاحظ أنّ الأمل 15 دينارا ليس من بين قيم X: لا يمكنك أن تربح 15 دينارا في لعبة واحدة. الأمل ليس نتيجة ممكنة، بل معدّل نتائج كثيرة.
مثال 2: التحقّق من التباين بالدستور المختصر

نبقى مع قانون الربح X نفسه، الذي وجدنا أمله يساوي 15 و تباينه 675 بالتعريف.

🎯المطلوب: تحقّق من قيمة التباين باستعمال الدستور المختصر.

🔹الخطوة 1: أمل المربّع

نحسب أوّلا أمل مربّع المتغيّر: نربّع القيم و نوزنها بالاحتمالات نفسها.

E(X²)=(900)(18) + (0)(38) + (900)(38) + (3600)(18)
🔹الخطوة 2: الحساب

نجمع البسوط: ⁦900 + 0 + 2700 + 3600 = 7200⁩.

E(X²)=72008=900
🔹الخطوة 3: مربّع الأمل

ثمّ نربّع الأمل نفسه.

(E(X))²=15²=225
✅النّتيجة

و نطرح.

V(X)=900 − 225=675
⭐ احسب دائما بالطريقتين في التمارين الطويلة: التطابق يقين، و الاختلاف يدلّك على مكان الخطأ. و في الامتحان استعمل الدستور المختصر: هو أقصر بجدول كامل من الطرحات.
مثال 3: أمل مجموع، بلا قانون المجموع

نرمي ثلاثة أحجار نرد مكعّبة غير مزوّرة، مرقّمة من 1 إلى 6، و نسجّل مجموع الأرقام الظاهرة. نسمّي X و Y و Z الأرقام الثلاثة، و T مجموعها.

🎯المطلوب: احسب معدّل المجاميع الممكنة، أي أمل المتغيّر T.

🔹الخطوة 1: أمل نرد واحد

كلّ نرد غير مزوّر: أوجهه الستّة متساوية الاحتمال.

E(X)=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66=216
🔹الخطوة 2: القيمة

نختزل الكسر.

E(X) = 3,5
🔹الخطوة 3: التماثل

الأنرد متماثلة، فأملها الثلاثة متساوية.

E(X)=E(Y)=E(Z)=3,5
🔹الخطوة 4: الخطّية

نطبّق خطّية الأمل على المجموع.

E(T) = E(X) + E(Y) + E(Z)
✅النّتيجة

فنجمع ثلاث مرّات القيمة نفسها.

E(T)=3 × 3,5=10,5
⭐ هذه هي قوّة الخطّية: قانون المجموع T صعب (ستّ عشرة قيمة من 3 إلى 18، باحتمالات مختلفة)، و لم نحتج إليه إطلاقا. من أراد تعيين قانون T أوّلا أضاع الحصّة كلّها ليجد العدد نفسه.
مثال 4: لعبتان لهما الأمل نفسه

صندوق فيه 37 قريصة لا نميّز بينها باللمس، منها 18 حمراء، و نفترض أنّ القريصات مرقّمة بأرقام متمايزة، لكلّ رقم قريصة واحدة. اللعبة الأولى: تدفع 10 دنانير و تسحب قريصة، فتربح 10 دنانير إن كانت حمراء و تخسر ما دفعت إن لم تكن. اللعبة الثانية: تدفع 10 دنانير و تعيّن رقما قبل السحب، فتربح 350 دينارا إن خرج رقمك و تخسر ما دفعت إن لم يخرج.

🎯المطلوب: قارن بين اللعبتين بالأمل الرياضياتي، ثمّ بالانحراف المعياري. ماذا تستنتج؟

🔹الخطوة 1: أمل اللعبة الأولى

في اللعبة الأولى: 18 قريصة حمراء من 37، و الربح الصافي 10 دنانير عند الحمراء و ⁦−10⁩ عند غيرها.

E(X)=(10)(1837) + (−10)(1937)
🔹الخطوة 2: القيمة

نجمع البسوط: ⁦180 − 190 = −10⁩.

E(X)=180 − 19037=−1037 ≈ −0,27
🔹الخطوة 3: أمل اللعبة الثانية

في اللعبة الثانية: رقم واحد ملائم من 37، الربح 350 عنده و ⁦−10⁩ في الحالات الـ36 الباقية.

E(Y)=(350)(137) + (−10)(3637)
🔹الخطوة 4: القيمة

نجمع البسوط: ⁦350 − 360 = −10⁩، و هو البسط نفسه.

E(Y)=350 − 36037=−1037
🔹الخطوة 5: المقارنة بالأمل

فالأملان متساويان تماما: اللعبتان تكلّفان اللاعب المبلغ نفسه على المدى الطويل.

E(X)=E(Y)=−1037
🔹الخطوة 6: أملا المربّعين

لكنّ التشتّت مختلف. الربح في اللعبة الأولى إمّا 10 و إمّا ⁦−10⁩، فمربّعه 100 في الحالتين. و في الثانية إمّا 350 و إمّا ⁦−10⁩، فمربّعاهما 122500 و 100.

E(X²) = 100(1837) + 100(1937) = 100 ; E(Y²) = 122500(137) + 100(3637) = 12610037
🔹الخطوة 7: التباينان

نطرح مربّع الأمل بالدستور المختصر، و هو نفسه في الحالتين لأنّ الأملين متساويان: مربّع عشرة على سبعة و ثلاثين، أي مائة على 1369.

V(X) = 100 − 1001369 ≈ 99,93 ; V(Y) = 12610037 − 1001369 ≈ 3408,04
🔹الخطوة 8: توحيد مقام التباينين

نوحّد على المقام ⁦1369 = 37²⁩ قبل استخراج الجذرين، تفاديا لأيّ تقريب وسيط.

V(X) = 136900 - 1001369 = 1368001369 ; V(Y) = 4665700 - 1001369 = 46656001369
🔹الخطوة 9: الانحرافان المعياريّان

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

σ(X) = √(1368001369) ≈ 9,996 ; σ(Y) = √(46656001369) ≈ 58,378
✅النّتيجة

و الانحرافان المعياريّان جذراهما: التقلّب في الثانية نحو ستّة أضعافه في الأولى.

σ(X) ≈ 10,0 ; σ(Y) ≈ 58,4
⭐ الأمل وحده لا يفرّق بين اللعبتين، و الانحراف المعياري يفرّق فورا. هذا هو الدرس كلّه: عددان لا عدد واحد. و لاحظ الفرضية التي أعلنّاها في المعطى — لولاها لما أمكن حساب احتمال رقم واحد. النمذجة تُعلن، لا تُخمَّن.
⛔ سؤال «هل اللعبة عادلة؟» يعني احسب الأمل و قارنه بالصفر، لا شيء غير ذلك. و انتبه إلى المعطى: إن قيل «يدفع اللاعب مبلغا» فالربح المدروس هو الربح الصافي، أي بعد طرح ما دفع. أغلب النقاط الضائعة في هذا السؤال تضيع هنا، لا في الحساب.
الخلاصة: الأمل الرياضياتي هو الربح المتوسّط على المدى الطويل، و نقطة توازن قانون الاحتمال. و التباين و الانحراف المعياري يقيسان التشتّت حوله. عددان اثنان لا واحد: بهما معا يُقارن مجهولان، و بالأمل وحده تختلط الألعاب.

Page 1/9

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net