الاحتمالات والإحصاء
الاحتمالات الشرطية
الاحتمال الشرطي ليس مفهوما جديدا بقدر ما هو تضييق لمجموعة المخارج: نستبدل بالكون كلّه الجزء الذي نعلم أنّه تحقّق، ثمّ نعيد الحساب داخله.
- حساب احتمال شرطي بالتعريف و بالقراءة المباشرة من جدول
- توظيف دستور الجداء لحساب احتمال تقاطع في تجربة على مراحل
- التمييز بين الاحتمال الشرطي و معكوسه
- حساب احتمال شرطي معكوس بالتعريف
- احتمال حادثة و الحادثة العكسية و خواصّ الاحتمال
- قراءة جدول ذي مدخلين
1. تعريف الاحتمال الشرطي
لتكن A حادثة احتمالها غير معدوم. نعرّف على مجموعة المخارج احتمالا جديدا يرفق بكلّ حادثة B العدد الآتي، و نقرؤه «احتمال B علما أنّ A محقّقة».
البسط يعدّ المخارج الملائمة لـ B داخل A، و المقام يقيس A التي صارت الكون الجديد. القسمة على احتمال A هي بالضبط ما يعيد المجموع إلى الواحد.
2. دستور الجداء
التعريف نفسه مكتوبا بشكل آخر، و هو الأنفع عمليّا: في السحب المتتالي دون إرجاع نعرف احتمال السحبة الأولى، ثمّ احتمال الثانية بعدما تغيّر الصندوق.
الشجرة المرجّحة هي دستور الجداء مرسوما: وزن الفرع الأوّل احتمال بسيط، و وزن الفرع الثاني احتمال شرطي، و احتمال المسار جداء أوزانه. و مجموع الأوزان الخارجة من عقدة واحدة يساوي واحدا — و هو أوّل تحقّق تجريه.
3. قلب الشرط
السؤال الأخير في تمارين الشجرة يقلب الاتّجاه: نعرف احتمال النتيجة علما بالسبب، و نطلب احتمال السبب علما بالنتيجة. لا دستور جديد هنا — التعريف وحده يكفي، بشرط أن يُكتب أوّلا.
البسط يُحسب بدستور الجداء في الاتّجاه المعروف، و المقام بجمع كلّ المسارات المؤدّية إلى B. اكتب التعريف، ثمّ املأ البسط و المقام كلاّ على حدة.
يتوزّع أربعمائة تلميذ في الأقسام النهائية حسب اللغة الحيّة و الجنس: 130 من البنين يدرسون الإنجليزية و 50 الألمانية، و 140 من البنات يدرسن الإنجليزية و 80 الألمانية. نختار تلميذا عشوائيا. نسمّي F الحادثة «التلميذ المختار بنت» و D الحادثة «التلميذ المختار يدرس الألمانية».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تكون بنتا، ثمّ احتمال أن تدرس الألمانية علما أنّها بنت، و قارن النتيجة بالتعريف.
البنات هنّ مجموع سطر البنات: مائة و أربعون في الإنجليزية و ثمانون في الألمانية.
نقسم على العدد الكلّي و نختزل بالقسمة على عشرين.
«علما أنّها بنت» يعني أنّ الكون صار البنات وحدهنّ: نعدّ داخل السطر.
و نحسبه الآن بالتعريف: التقاطع هو خانة البنات الدارسات للألمانية.
نقسم على احتمال البنات، فيبسّط المقام أربعمائة، و نجد العدد نفسه.
صندوق فيه خمس قريصات مرقّمة 0 و 2 و 4 و 6 و 8، و ثلاث قريصات مرقّمة 1 و 3 و 5، لا نميّز بينها باللمس. نسحب على التوالي و دون إرجاع قريصتين. نسمّي A الحادثة «القريصة الأولى تحمل رقما زوجيا» و B الحادثة «القريصة الثانية تحمل رقما زوجيا».
🎯المطلوب: احسب احتمال الحصول على رقمين زوجيين.
القريصات ثماني في المجموع، منها خمس تحمل أرقاما زوجية.
بعد سحب قريصة زوجية دون إرجاعها، صار الصندوق يحوي سبع قريصات، منها أربع زوجية.
فالاحتمال الشرطي للسحبة الثانية يُقرأ من الصندوق الجديد.
نطبّق دستور الجداء.
نختزل بالقسمة على أربعة.
صندوق فيه ستّ كرات حمراء و ثلاث كرات خضراء، لا نميّز بينها باللمس. نسحب كرتين على التوالي و دون إرجاع. نسمّي A الحادثة «الكرة الأولى حمراء» و B الحادثة «الكرة الثانية خضراء».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تكون الأولى حمراء و الثانية خضراء، بطريقين مختلفين.
الطريق الأوّل بالاحتمال الشرطي: تسع كرات، منها ستّ حمراء.
بعد سحب حمراء دون إرجاع بقيت خمس حمراء و ثلاث خضراء، أي ثمان كرات.
نطبّق دستور الجداء.
الطريق الثاني بالعدّ: عدد الترتيبات ذات عنصرين من تسع كرات.
و الحالات الملائمة: حمراء من ستّ ثمّ خضراء من ثلاث، بالمبدأ الأساسي.
نقسم و نختزل.
صندوقان: الأوّل فيه ستّ كرات بيضاء و ثلاث سوداء، و الثاني فيه أربع بيضاء و خمس سوداء، و لا نميّز بين الكرات باللمس. نأخذ صندوقا عشوائيا ثمّ نسحب منه كرة واحدة عشوائيا. نسمّي B الحادثة «الكرة المسحوبة بيضاء».
🎯المطلوب: احسب احتمال أن تكون الكرة بيضاء، ثمّ احتمال أن تكون قد سُحبت من الصندوق الأوّل علما أنّها بيضاء.
اختيار الصندوق عشوائي بين اثنين، فلكلّ منهما نصف الحظّ.
في الصندوق الأوّل ستّ بيضاء من تسع، و في الثاني أربع من تسع.
الكرة البيضاء تُبلغ بمسارين: عبر الصندوق الأوّل أو الثاني. نجمعهما.
نوحّد على تسعة داخل القوسين ثمّ نأخذ النصف.
ثمّ نكتب التعريف للاتّجاه المعكوس، و نحسب بسطه بدستور الجداء.
نقسم، و القسمة على كسر ضرب في مقلوبه.
فنختزل بالقسمة على ثلاثة.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net