الاحتمالات والإحصاء
دستور الاحتمالات الكلية و الحوادث المستقلة
لتقسم مسألة إلى حالات، لا يكفي أن تكون الحالات ممكنة: يجب أن لا تلتقي و أن لا يفوتها شيء. هذا الشرط المزدوج له اسم واحد — التجزئة — و منه يخرج كلّ الدرس.
- التعرّف على تجزئة للمجموعة الشاملة و التحقّق من شروطها
- تطبيق دستور الاحتمالات الكلّية على شجرة مرجّحة
- إثبات استقلال حادثتين أو نفيه بالتعريف
- توظيف الاستقلال في تجربة مكرّرة و في وضعية بمصدرين
- الاحتمال الشرطي و دستور الجداء
- الحادثة العكسية و دستور اتّحاد حادثتين
1. التجزئة
تجزئة المجموعة الشاملة هي عائلة أجزاء منها، غير خالية، منفصلة مثنى مثنى، و اتّحادها المجموعة كلّها. بعبارة أخرى: كلّ مخرج يقع في جزء واحد لا أكثر و لا أقلّ.
الشرط الثاني يمنع الحساب مرّتين، و الثالث يمنع النسيان. و أبسط تجزئة على الإطلاق هي حادثة و عكسيتها.
2. دستور الاحتمالات الكلّية
لتكن الحوادث الأولى تجزئة للمجموعة الشاملة، احتمالاتها غير معدومة. عندئذ تنقسم كلّ حادثة B إلى قطع منفصلة، قطعة في كلّ جزء، فيكون احتمالها مجموع احتمالات القطع.
لأنّ العائلة المكوّنة من تقاطعات B مع أجزاء التجزئة هي تجزئة لـ B نفسها: لا مخرج من B يفوتها و لا مخرج يُحسب مرّتين.
نعوّض كلّ تقاطع بدستور الجداء. هذه هي الصيغة التي تُستعمل فعلا، لأنّ المعطى يعطي دائما احتمالات الأجزاء و الاحتمالات الشرطية داخلها، لا التقاطعات.
- مجموع الأوزان الخارجة من عقدة واحدة يساوي واحدا — أوّل تحقّق تجريه على الشجرة
- وزن فرع في المستوى الثاني احتمال شرطي، لا احتمال بسيط
- احتمال مسار جداء أوزانه، و احتمال حادثة مجموع مساراتها
3. الحوادث المستقلة
أحيانا لا تغيّر المعلومة شيئا: أن تعرف أنّ A تحقّقت لا يبدّل حظّ B. عندئذ نقول إنّ الحادثتين مستقلّتان.
هذا هو التعريف المعتمد، لأنّه متناظر و لا يشترط أن يكون أيّ احتمال غير معدوم.
نعوّض في التعريف الشرطي. و هي الصيغة الأقرب إلى الحدس: العلم بـ A لا يغيّر حظّ B.
نطرح: التقاطع مع العكسية هو A ناقص التقاطع مع B، أي p(A) − p(A)p(B)، و هو p(A)[1 − p(B)]. فإذا استقلّت A عن B استقلّت عن عكسيتها، و كذلك عكسيتاهما معا. ⭐ هذه النتيجة تُستعمل في كلّ تمرين عن قاذفين أو آلتين.
صندوقان: الأوّل فيه خمس كرات خضراء و ثلاث حمراء، و الثاني فيه ثلاث خضراء و ستّ حمراء، و لا نميّز بين الكرات باللمس. نرمي حجر نرد غير مزوّر مرقّما من 1 إلى 6: إن حصلنا على 5 أو 6 سحبنا كرة من الصندوق الأوّل، و إلاّ سحبنا من الثاني. نسمّي B الحادثة «نحصل على 5 أو 6» و A الحادثة «الكرة المسحوبة خضراء».
🎯المطلوب: أنشئ الشجرة المرجّحة و أكملها بالقيم، ثمّ استنتج احتمال أن تكون الكرة خضراء.
الرقمان 5 و 6 من ستّة أرقام متساوية الاحتمال.
و عكسيتها بالمتمّمة إلى الواحد.
إذا تحقّقت B نسحب من الصندوق الأوّل: خمس خضراء من ثمان.
و إذا تحقّقت عكسيتها نسحب من الثاني: ثلاث خضراء من تسع، أي الثلث.
الحادثتان B و عكسيتها تشكّلان تجزئة، فنطبّق دستور الاحتمالات الكلّية: مساران يؤدّيان إلى الكرة الخضراء.
نعوّض و نحسب كلّ مسار.
نوحّد المقامين على اثنين و سبعين: خمسة عشر و ستّة عشر.
يرمي قاذفان S و T في الوقت نفسه هدفا معيّنا. الحادثتان A «القاذف S يصيب الهدف» و B «القاذف T يصيب الهدف» مستقلّتان، و احتمالاهما 4/5 و 7/8 على الترتيب.
🎯المطلوب: احسب احتمال أن يصيب القاذفان معا، ثمّ أن يصيب الأوّل وحده، ثمّ أن لا يُصاب الهدف، ثمّ أن يُصاب، ثمّ أن يصيبه قاذف واحد فقط.
الحادثتان مستقلّتان، فاحتمال التقاطع جداء الاحتمالين.
«الأوّل فقط» يعني أنّه أصاب و الثاني أخطأ، و الاستقلال ينسحب على العكسيّتين.
«لم يُصب الهدف» يعني أنّ كليهما أخطأ.
«يُصاب الهدف» عكس «لم يُصب»، فأسرع طريق هو المتمّمة إلى الواحد.
و نتحقّق بدستور الاتّحاد: مجموع الاحتمالين ناقص جداءهما، بعد توحيد المقامات على أربعين.
«قاذف واحد فقط» اتّحاد حالتين غير متلائمتين. انتبه إلى تقاطع الدليلين.
الحدّ الأوّل حسبناه في الخطوة 2، و الثاني جداء سبعة أثمان في خمس.
نرمي n مرّة حجر نرد مكعّبا غير مزوّر، أوجهه مرقّمة من 1 إلى 6، حيث n عدد طبيعي أكبر من 1.
🎯المطلوب: احسب احتمال الحادثة A: «نحصل مرّة واحدة على الأقلّ على رقم فردي».
الحساب المباشر يعني جمع حالات كثيرة. نمرّ بالعكس.
نرمز بـ p₁ لاحتمال الحصول على رقم زوجي في رمية واحدة: ثلاثة أرقام زوجية من ستّة.
الرميات مستقلّة لأنّ كلّ واحدة تجربة قائمة بذاتها، فنضرب.
و العوامل n، فالجداء قوّة.
نعود إلى الحادثة الأصلية بالمتمّمة.
مصنع ينتج مفاتيح تخزين، منها 4 بالمائة غير صالحة. وحدة الفرز ترفض بالخطأ 3 بالمائة من المفاتيح الصالحة، و ترفض 95 بالمائة من المفاتيح غير الصالحة. نسمّي S الحادثة «المفتاح صالح» و N عكسها. تُعطى النتائج مدوّرة إلى الجزء من الألف.
🎯المطلوب: احسب احتمال قبول مفتاح غير صالح، ثمّ احتمال رفض مفتاح صالح، ثمّ احتمال وقوع خطأ في الفرز، ثمّ تحقّق من أنّ احتمال قبول مفتاح يساوي 0,933.
نصنّف المفاتيح أوّلا: الصالح و غير الصالح تجزئة للمجموعة الشاملة.
قبول مفتاح غير صالح يعني أنّه غير صالح و لم تُرفضه الوحدة، و هي ترفض خمسة و تسعين بالمائة منها.
رفض مفتاح صالح يعني أنّه صالح و رُفض خطأ، بنسبة ثلاثة بالمائة.
الخطأ في الفرز اتّحاد الحالتين، و هما غير متلائمتين.
و القبول يقع في مسارين: مفتاح صالح لم يُرفض — و احتمال ذلك 1 − 0,03 = 0,97 — أو مفتاح غير صالح قُبل خطأ.
نحسب المسارين.
و ندوّر إلى الجزء من الألف كما هو مطلوب.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net