الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
ترميز أولير e^(iα): الشكل الأسي و قواعد الحساب
الجواب في جملة واحدة: نكتب العدد الذي طويلته 1 و عمدته θ على صورة أسّ. هذا الترميز ليس برهانا على أنّ رفع عدد إلى أسّ تخيلي له معنى في حدّ ذاته، و ليس تعريفا جديدا للقوى: هو اصطلاح، اختير لأنّ الدالّة التي نبنيها بعد قليل تحترم بالضبط القاعدة التي تحترمها الدالّة الأسية. و متى قُبل الاصطلاح، صار الجداء جمعا في الأسّ، و صارت القسمة طرحا.
- بناء الدالّة التي ترفق بكلّ زاوية العدد المركب الذي طويلته 1 و عمدته تلك الزاوية
- إثبات أنّ صورة مجموع زاويتين هي جداء الصورتين، بدستوري الجمع
- كتابة عدد مركب طويلته 1 بترميز أولير، و التعرّف على الأعداد المألوفة به
- كتابة عدد مركب غير معدوم على الشكل الأسي، بطويلته و عمدته
- تطبيق قواعد الحساب على الشكل الأسي: الجداء و القسمة و المرافق
- الانتقال بين الشكل الأسي و الشكل الجبري في الاتّجاهين
- الشكل المثلثي لعدد مركب غير معدوم، و قراءة الطويلة و العمدة عليه
- خواصّ الطويلة و العمدة في الجداء و في القسمة
- دستورا تجيب و جيب مجموع زاويتين
- خاصية الدالّة الأسية الحقيقية: صورة مجموع هي جداء الصورتين
1. البناء: دالّة تحوّل الجمع إلى جداء
نعتبر الدالّة التي ترفق بكلّ عدد حقيقي θ العدد المركب الذي طويلته 1 و θ عمدة له. و بما أنّ الطويلة تساوي 1، فإنّ شكله المثلثي لا يحمل معاملا: نكتبه بالتجيب و الجيب مباشرة.
⭐ هي الشكل المثلثي في الحالة الخاصّة التي تكون فيها الطويلة 1. و لاحظ الوحدة التخيلية أمام الجيب: بدونها لا يكون الطرف الثاني عددا مركبا أصلا، بل عددا حقيقيا.
مربّع الطويلة هو مربّع التجيب زائد مربّع الجيب، و هو يساوي 1 مهما كانت الزاوية. فصور هذه الدالّة كلّها تقع على دائرة مركزها المبدأ و نصف قطرها 1.
نحسب الآن جداء صورتين، و نقارن النتيجة بصورة المجموع. الحساب كلّه مكتوب هنا خطوة خطوة، و لا خطوة فيه مقفوزة — لأنّ هذا الحساب بالضبط هو سبب وجود الترميز.
توزيع عادي: كلّ حدّ من القوسين الأوّلين في كلّ حدّ من القوسين الثانيين، أربعة حدود لا أكثر.
⭐ الخطوة التي تُنسى في كلّ صفحة: مربّع الوحدة التخيلية ليس رمزا يُترك كما هو، بل يساوي ناقص 1، و هو الذي ينقل الحدّ الرابع من التخيلي إلى الحقيقي بإشارة سالبة.
نجمع الحدّين الحقيقيين معا و الحدّين التخيليين معا، ثمّ نُخرج الوحدة التخيلية عاملا مشتركا من الحدّين الأخيرين.
و هنا نستعمل دستوري الجمع في حساب المثلثات، و هما مكتسبان من السنوات السابقة. نكتبهما صراحة لأنّ الحدّين اللذين وجدناهما هما بالضبط طرفاهما الأيمنان.
لاحظ الإشارة السالبة في تجيب المجموع: هي التي أنتجها مربّع الوحدة التخيلية في الخطوة 2. التقاء المصادفتين هو كلّ سرّ هذا البناء.
و هذا هو الحدّ التخيلي الذي وجدناه، حرفا بحرف.
ليست خطوة حساب، بل تطبيق للتعريف على الزاوية θ زائد θ' — و الوحدة التخيلية أمام الجيب هنا أيضا، كما في التعريف تماما.
⭐ الطرفان متساويان لأنّ الخطوة 3 و الخطوة 4 تعطيان العبارة نفسها بعد تعويض الدستورين. هذه المساواة هي كلّ ما يبرّر الترميز الآتي.
2. ترميز أولير: كتابة العدد الذي طويلته 1
بما أنّ دالّتنا تتصرّف مع الجمع كما تتصرّف الدالّة الأسية، نصطلح على كتابتها كتابة أسية. و هذا الترميز يحمل اسم صاحبه: ترميز أولير.
⭐ الأسّ ليس عددا حقيقيا هنا، بل هو الوحدة التخيلية في الزاوية. و الحرف الذي يمثّل الزاوية اصطلاح: نكتب أحيانا α مكان θ، و المعنى واحد.
هي الخاصية التي أثبتناها للدالّة قبل قليل: كلّ الأعداد المكتوبة بهذا الترميز تقع على الدائرة التي مركزها المبدأ و نصف قطرها 1، لا خارجها و لا داخلها.
و أربعة أعداد مألوفة تُقرأ بهذا الترميز مباشرة، دون أيّ حساب: يكفي أن تعوّض الزاوية بقيمها الأربع الأولى في الجدول. احفظها، فهي تختصر أسطرا كثيرة في الامتحان.
تجيب الصفر يساوي 1 و جيبه يساوي 0. و هذا يوافق قاعدة الأسّ المعدوم في الحالة الحقيقية، و هو تناسق مطمئن لا مصادفة.
تجيب نصف π معدوم و جيبه يساوي 1، فلا يبقى إلّا الوحدة التخيلية. ⭐ الضرب في الوحدة التخيلية هو إذن دوران بربع دورة، لا أكثر.
تجيب π يساوي ناقص 1 و جيبه معدوم. ⭐ و هذه المساواة تربط في سطر واحد عددين من أشهر أعداد الرياضيات بالوحدة التخيلية.
تجيب ناقص نصف π معدوم و جيبه يساوي ناقص 1. لاحظ أنّ تغيير إشارة الزاوية غيّر إشارة الجزء التخيلي وحده: هذا هو المرافق، و سنعود إليه بعد قليل.
3. الشكل الأسي لعدد مركب غير معدوم
بقي أن نخرج من الدائرة. كلّ عدد مركب غير معدوم هو عدد طويلته 1 مضروب في عدد حقيقي موجب هو طويلته: يكفي إذن أن نضع الطويلة معاملا أمام ترميز أولير.
⭐ هو الشكل المثلثي نفسه، مكتوبا بترميز أولير: المعامل هو الطويلة، و الأسّ يحمل العمدة. ⚠️ و الشرط على المعامل هو الشرط نفسه: موجب تماما، و إلّا فالإشارة السالبة نصف دورة مخبوءة يجب ردّها إلى الزاوية.
و هذه أربعة أعداد كُتبت على الشكل الأسي، و هي تغطّي الأرباع الأربعة. اقرأ الجدول سطرا سطرا و تحقّق من كلّ سطر بالعودة إلى الشكل الجبري: هي أفضل تمرين على هذه الفقرة.
| الشكل الجبري | الطويلة | الشكل الأسي |
|---|---|---|
| 1 + i | √2 | √2 eiπ4 |
| −1 − i√3 | 2 | 2 ei4π3 |
| 1 − i | √2 | √2 e−iπ4 |
| −√3 + i | 2 | 2 ei5π6 |
نعتبر العدد المركب z الذي كتابته الجبرية هي 1 زائد i.
🎯المطلوب: اكتب العدد z على شكله الأسي.
نحسب مربّع الطويلة: مجموع مربّعي 1 و 1.
نأخذ الجذر.
نقسم الجزأين على الطويلة، فنجد القيمة نفسها مرّتين، و كلتاهما موجبة.
الربع الأوّل، و الزاوية هي ربع π.
نضع الطويلة معاملا و العمدة في الأسّ.
نعتبر العدد المركب w الذي كتابته الجبرية هي ناقص جذر 3 زائد i.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد w و عمدة له، ثمّ أكتبه على شكله الأسي.
نحسب مربّع الطويلة: مربّع ناقص جذر 3 يساوي 3، و مربّع 1 يساوي 1.
نأخذ الجذر.
نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة: تجيب سالب.
و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة: جيب موجب.
تجيب سالب و جيب موجب: الربع الثاني، و الزاوية هي خمسة أسداس π.
نكتب الشكل الأسي.
نعتبر العدد المركب z المكتوب على الشكل الأسي بمعامل 2 و بزاوية ثلث π.
🎯المطلوب: اكتب العدد z على شكله الجبري.
نفكّ الترميز: الأسّ يعطي القوسين، و المعامل يبقى معاملا.
نعوّض تجيب ثلث π بقيمته المضبوطة.
و جيب ثلث π.
نوزّع المعامل على الحدّ الأوّل.
ثمّ على الحدّ الثاني.
نجمع.
نعتبر العدد المركب w المكتوب على الشكل الأسي بمعامل 8 و بزاوية ناقص ربع π.
🎯المطلوب: اكتب العدد w على شكله الجبري.
نفكّ الترميز بالزاوية السالبة كما هي.
تجيب الزاوية السالبة هو تجيب الزاوية الموجبة نفسه، لأنّ التجيب زوجي.
أمّا الجيب فيقلب إشارته، لأنّ الجيب فردي.
نوزّع المعامل على الحدّ الأوّل: 8 على 2 يساوي 4.
ثمّ على الحدّ الثاني، بالإشارة السالبة.
نجمع الحدّين.
4. قواعد الحساب على الشكل الأسي
ما تعبناه في بناء الدالّة نستوفيه هنا: قواعد الحساب الثلاث تُقرأ الآن كأنّها قواعد أسّ عادية، و هذا هو الربح كلّه.
⭐ هي المساواة التي أثبتناها في الفقرة الأولى، مكتوبة بالترميز الجديد: الجداء صار جمعا في الأسّ، تماما كما في القوى الحقيقية.
تُبرهن من الأولى: العدد الذي ضربه في مقام يعطي البسط هو العدد ذو الزاوية θ ناقص θ'. القسمة صارت طرحا في الأسّ.
نسمّي هذا العدد z لنتكلّم عن مرافقه في السطر الموالي دون لبس.
⭐ المرافق يغيّر إشارة الجزء التخيلي، أي إشارة الجيب وحده — و تغيير إشارة الزاوية يفعل ذلك بالضبط، لأنّ التجيب زوجي و الجيب فردي. ⟹ المرافق يقلب إشارة العمدة و لا يمسّ الطويلة.
و للقوى قاعدة رابعة تُقرأ على الترميز مباشرة: رفع عدد إلى القوّة يضرب الأسّ. هذه القاعدة هي دستور موافر، و لها درسها الخاصّ؛ لا نستعملها هنا إلّا أداة في المثالين الأخيرين.
الطويلة تُرفع إلى القوّة، و الزاوية تُضرب في الأسّ. تُبرهن بتكرار قاعدة الجداء n مرّة، و التفصيل في درس دستور موافر.
نريد حساب القوّة الثامنة للعدد المركب 1 ناقص i دون أن ننشر الجداء ثماني مرّات.
🎯المطلوب: احسب العدد المركب المرفوع إلى القوّة الثامنة، و بيّن أنّه عدد حقيقي.
نبدأ بكتابة الأساس على الشكل الأسي: مربّع طويلته هو 1 زائد 1.
تجيب عمدته موجب و جيبها سالب: الربع الرابع، أي ناقص ربع π.
نكتب الأساس على الشكل الأسي.
نرفع إلى القوّة 8: الطويلة تُرفع، و الزاوية تُضرب في 8.
نحسب الطويلة: جذر 2 مرفوعا إلى القوّة 8 هو 2 مرفوعا إلى القوّة 4.
و نبسّط الزاوية: 8 مضروبا في ناقص ربع π يساوي ناقص دورتين كاملتين.
⭐ و دورتان كاملتان تعيدان العدد إلى موضعه: تجيب ناقص 2π يساوي 1 و جيبه معدوم.
فيبقى المعامل وحده، و هو عدد حقيقي.
نريد حساب القوّة السادسة للعدد المركب جذر 3 زائد i.
🎯المطلوب: احسب العدد المركب المرفوع إلى القوّة السادسة، ثمّ استنتج طبيعته.
نحسب مربّع طويلة الأساس: مربّع جذر 3 يساوي 3، و مربّع 1 يساوي 1.
تجيب العمدة و جيبها موجبان: الربع الأوّل، و الزاوية هي سدس π.
نكتب الأساس على الشكل الأسي.
نرفع إلى القوّة 6.
نحسب المعامل.
و نبسّط الزاوية: ستّة أسداس π تساوي π.
⭐ و العامل الزاوي بزاوية π يساوي ناقص 1، كما رأينا في الفقرة الثانية.
نضرب المعامل في ناقص 1.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net