مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

التفسير الهندسي: اللواحق، التعامد، المثلثات و مجموعات النقط

🔊 La maîtresse lit pour toi
أنت تعرف أن العدد المركب يُمثَّل بنقطة من المستوي. لكن الفائدة الحقيقية تبدأ حين ننقلب في الاتّجاه المعاكس: نأخذ سؤالا هندسيا — كم يبعد هذان الرأسان؟ هل هذان المستقيمان متعامدان؟ ما طبيعة هذا المثلث؟ — و نحوّله إلى حساب على الأعداد. فما هي القواعد التي تترجم الهندسة إلى حساب مركب، و تترجم نتيجة الحساب إلى جواب هندسي؟

الجواب في جملة واحدة: الطويلة تقيس، و العمدة توجّه. كل سؤال عن مسافة يصير سؤالا عن طويلة، و كل سؤال عن زاوية يصير سؤالا عن عمدة. و ما دام الحساب على الأعداد المركبة آليّا، فإن أسئلة هندسية كانت تحتاج إنشاءات و مبرهنات تُحلّ هنا في ثلاثة أسطر.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب المسافة بين نقطتين انطلاقا من لاحقتيهما
  • قراءة زاوية موجهة على عمدة عدد مركب، بترديد 2π
  • إثبات تعامد مستقيمين بإثبات أن عددا مركبا تخيلي صرف
  • تعيين طبيعة مثلث انطلاقا من لواحق رؤوسه الثلاثة
  • تعيين مجموعة النقط المعرَّفة بشرط على طويلة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • طويلة عدد مركب و حسابها، و أن الطويلة عدد موجب دائما
  • عمدة عدد مركب غير معدوم، و أنها معرَّفة بترديد 2π لا أكثر
  • خواص الطويلة و العمدة على الجداء و على القسمة

1. من النقطة إلى العدد: اللاحقة

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. النقطة التي فاصلتها x و ترتيبها y هي صورة العدد المركب المكتوب على الشكل الجبري، و هذا العدد يسمّى لاحقة تلك النقطة. الكلمة الوحيدة الجديدة هنا هي « لاحقة »: هي الاسم العددي للنقطة.

طويلة عدد مركب

مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم الذي ضلعاه القائمان هما الفاصلة و الترتيب. لهذا كانت الطويلة موجبة دائما: هي طول، و الأطوال لا تكون سالبة.

|z| = √(x² + y²)
xالجزء الحقيقي للعدد المركب zyالجزء التخيلي للعدد المركب z
🔍التفسير الهندسي للطويلة

⭐ هذه هي القاعدة الأولى للترجمة: طويلة اللاحقة هي البعد عن المبدأ. من هنا يبدأ كل شيء في هذا الدرس.

OM = |z|

و الخطوة الحاسمة هي المرور من البعد عن المبدأ إلى البعد بين نقطتين أيّا كانتا. تقول خاصية اللواحق إن فرق اللاحقتين هو لاحقة الشعاع الذي ينطلق من الأولى إلى الثانية، فيكفي أن نأخذ طويلة هذا الفرق.

المسافة بين نقطتين

اقرأها من اليمين إلى اليسار: نطرح لاحقة نقطة الانطلاق من لاحقة نقطة الوصول، ثم نأخذ طويلة الفرق. الترتيب في الطرح لا يغيّر المسافة، لأن طويلة العدد و طويلة معاكسه متساويتان.

AB = |zB − zA|
سطران يختصران الدرس كله: طويلة الفرق هي المسافة، و عمدة الفرق هي الاتجاه.
⭐ نصيحة في الجذور: بسّط دائما إلى النهاية. إن خرج لك جذر مثل الجذر التربيعي للعدد 68 فاستخرج منه أكبر مربع كامل. الكتابة المبسّطة تُقارَن بغيرها بسهولة، و غير المبسّطة لا. و هذه عادة نلتزم بها في كل الدرس، حتى لا تختلف كتابتان لعدد واحد.
مثال 1: طويلة عدد و تبسيط جذره

🎯المطلوب: احسب طويلة العدد المركب المعطى ثم بسّط الجذر إلى أبسط كتابة

📌المعطى
z = 2 + 8i
🔹الخطوة 1: تطبيق الدستور

نعوّض الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي في دستور الطويلة، و ننتبه إلى أن كليهما يُربَّع.

|z| = √(2² + 8²)
🔹الخطوة 2: حساب المربعين
|z| = √(4 + 64)
🔹الخطوة 3: جمع ما تحت الجذر
|z| = √68
🔹الخطوة 4: تبسيط الجذر

نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 68، و هو 4، فنكتب 68 على شكل جداء ثم نُخرج الجذر.

√68=√(4 × 17)=2√17
✅النّتيجة
|z| = 2√17
لا تحسب الجذر بالآلة الحاسبة: القيمة العشرية تقريبية و تضيّع الدقّة، أما الكتابة المبسّطة فهي دقيقة تماما و هي التي تُقبَل في التصحيح.
مثال 2: المسافة بين نقطتين

النقطتان مأخوذتان من تمرين محلول في المرجع، و ستُستعملان مباشرة في المثال الموالي.

🎯المطلوب: احسب المسافة بين النقطتين انطلاقا من لاحقتيهما

📌المعطى: لاحقة نقطة الانطلاق
zA = −i√3
📌المعطى: لاحقة نقطة الوصول
zB = 3 + 2i√3
🔹الخطوة 1: لاحقة الشعاع

نطرح اللاحقتين. انتبه إلى الإشارة: طرح عدد سالب يضيف.

zB − zA=3 + 2i√3 − (−i√3)
🔹الخطوة 2: جمع الجزأين التخيليين
zB − zA = 3 + 3i√3
🔹الخطوة 3: طويلة الفرق

نطبّق دستور الطويلة على هذا الفرق. الجزء التخيلي هو الجداء ⁦3√3⁩، و مربعه 27.

AB=√(3² + (3√3)²)=√(9 + 27)
✅النّتيجة
AB=√36=6

2. من الاتجاه إلى العدد: العمدة

الطويلة أجابت عن « كم يبعد ». بقي « في أي اتجاه ». عمدة العدد المركب غير المعدوم هي قيس بالرديان للزاوية الموجهة التي يصنعها الشعاع المتجه من المبدأ إلى صورة العدد مع اتجاه محور الفواصل.

⚠️ العمدة ليست عددا واحدا، بل عائلة أعداد. إذا كان θ عمدة للعدد فإن كل عدد من الشكل θ زائد مضاعف صحيح لـ 2π هو عمدة له أيضا، لأن الدورة الكاملة تعيدنا إلى الاتجاه نفسه. لهذا تُكتب كل مساواة بين عُمَد بالترديد، و ليس بمساواة جافّة.
كتابة العمدة بالترديد

⭐ الرمز بين المعقوفتين ليس زينة: هو الذي يقول إن الطرفين متساويان إلى غاية مضاعف لـ 2π. من كتب المساواة بدونه كتب شيئا غير صحيح تماما.

arg(z) ≡ θ [2π]

و كما مرّت المسافة من المبدأ إلى نقطتين أيّا كانتا، تمرّ الزاوية بالطريقة نفسها: عمدة فرق اللاحقتين هي الزاوية التي يصنعها الشعاع المتجه من الأولى إلى الثانية مع محور الفواصل.

اتجاه شعاع محدَّد بنقطتين

الرمز على اليمين يعني الزاوية الموجهة من اتجاه محور الفواصل إلى اتجاه الشعاع المنطلق من A نحو B. هي الأخت التوأم لمساواة المسافة التي كتبناها قبل قليل: تلك تقيس الطول، و هذه تعطي الاتجاه.

arg(zB − zA) ≡ (OI , AB) [2π]

و أنفع صيغة في التمارين هي زاوية بين شعاعين، و هي التي تُحصَّل بقسمة لاحقتين. تقول خاصية عمدة الحاصل إن عمدة القسمة هي فرق العمدتين، فتتحوّل الزاوية بين الشعاعين إلى عمدة عدد واحد.

عمدة حاصل قسمة
arg(zz') ≡ arg(z) − arg(z') [2π]
الزاوية بين شعاعين لهما نفس الأصل

⭐ هذا هو الدستور الذي يفتح الباب الثالث و الرابع من هذا الدرس: بضربة واحدة يعطي نسبة الطولين في طويلته، و الزاوية بينهما في عمدته.

arg((zB − zA) / (zC − zA)) ≡ (AC , AB) [2π]
طويلة الحاصل نفسه

طويلة الحاصل هي حاصل الطويلتين، و كل طويلة منهما مسافة: البسط يعطي AB و المقام يعطي AC.

|zB − zAzC − zA|=ABAC
⭐ جسر إلى درس التحويلات النقطية: هذا الحاصل نفسه هو الذي يظهر حين نبحث عن طبيعة تحويل نقطي انطلاقا من كتابته المركبة. الطويلة تعطي النسبة، و العمدة تعطي الزاوية، هناك أيضا. الدستور واحد و الاستعمالان مختلفان.

3. التعامد: عدد تخيلي صرف

التعامد حالة خاصة من الزاوية: زاوية قائمة. و القائمة قيسها π على 2 أو مقابله. فإذا كانت عمدة الحاصل تساوي أحد هذين القيسين، فإن جزءه الحقيقي معدوم، أي إنه عدد تخيلي صرف. و العكس صحيح: عدد تخيلي صرف غير معدوم عمدته إحدى الزاويتين القائمتين.

العدد التخيلي الصرف

صورة عدد تخيلي صرف غير معدوم تقع على محور التراتيب، و هذا المحور عمودي على محور الفواصل: من هنا تأتي الزاوية القائمة، و ليس من اصطلاح.

Re(z) = 0
عمدتا العدد التخيلي الصرف
arg(i) ≡ π2 [2π] ; arg(−i) ≡ −π2 [2π]
معيار التعامد: المستقيمان المحدَّدان بأربع نقط متعامدان إذا و فقط إذا كان حاصل قسمة فرق لاحقتي الأول على فرق لاحقتي الثاني عددا تخيليا صرفا. تحقّق واحد من الجزء الحقيقي يكفي، بلا رسم و بلا قياس.
معيار التعامد بالحاصل

⭐ لاحظ أن الطويلة لا تدخل في المعيار إطلاقا: التعامد شأن الاتجاه وحده، و الاتجاه شأن العمدة وحدها.

(AB) ⊥ (CD) ⟺ Re(zB − zAzD − zC) = 0
⛔ الشرط « غير معدوم » ليس تفصيلا. العدد 0 جزؤه الحقيقي معدوم أيضا، و مع ذلك لا يوجد له اتجاه و لا عمدة. فقبل أن تستنتج التعامد، تأكّد أن النقطتين في كل مستقيم مختلفتان، و إلا فلا مستقيم أصلا.
مثال 3: إثبات تعامد مستقيمين

النقط الأربع مأخوذة من سؤال في المرجع يطلب إثبات تعامد مستقيمين بالأعداد المركبة.

🎯المطلوب: بيّن أن المستقيمين المحدَّدين بهاتين الثنائيتين متعامدان

📌المعطى: لاحقتا المستقيم الأول
zA = −7 + 5i ; zD = 1 + i
📌المعطى: لاحقتا المستقيم الثاني
zB = −7 − 5i ; zF = 1 + 11i
🔹الخطوة 1: فرق لاحقتي الأول

نحسب لاحقة كل شعاع على حدة، و نبدأ بشعاع المستقيم الأول.

zD − zA=1 + i − (−7 + 5i)=8 − 4i
🔹الخطوة 2: فرق لاحقتي الثاني
zF − zB=1 + 11i − (−7 − 5i)=8 + 16i
🔹الخطوة 3: الحاصل قبل الحساب

نقسم الفرقين. لإتمام القسمة نضرب البسط و المقام في مرافق المقام، فيصير المقام حقيقيا.

8 − 4i8 + 16i
🔹الخطوة 4: المقام بعد الضرب في المرافق

نضرب في المرافق: مقام الجداء هو مجموع مربّعي جزأي المقام، أي 64 زائد 256.

(8 + 16i)(8 − 16i)=64 + 256=320
🔹الخطوة 5: البسط بعد الضرب في المرافق

و في البسط نستبدل مربع الوحدة التخيلية بـ ناقص 1 قبل الجمع، فلا نترك أثرا لها.

(8 − 4i)(8 − 16i)=64 − 128i − 32i + 64i²=64 − 64 − 160i
🔹الخطوة 6: اختزال الحاصل
8 − 4i8 + 16i=−160i320=−i2
✅النّتيجة
Re(−i2) = 0 ⟹ (AD) ⊥ (BF)
لا تحسب الطويلتين هنا: المطلوب هو الجزء الحقيقي فقط. كثير من التلاميذ يضيّع خمس دقائق في حساب طولين لا يدخلان في الجواب.

4. المثلثات: طبيعة مثلث من لواحق رؤوسه

طبيعة المثلث تُقرأ من أطوال أضلاعه و من زواياه، و كلاهما صار في متناولنا. فالطريق مرسوم: نحسب الأضلاع بطويلات فروق اللواحق، و نحسب زاوية عند رأس بعمدة الحاصل الذي رأيناه.

📌المعطى: ما يترجم كل طبيعة إلى شرط عددي
طبيعة المثلثما الذي نتحقّق منه بالأعداد
متقايس الساقينتساوي طويلتي فرقين ينطلقان من الرأس نفسه
قائمانعدام الجزء الحقيقي للحاصل عند الرأس القائم
متقايس الأضلاعتساوي طويلات الفروق الثلاثة
قائم و متقايس الساقينحاصل عند الرأس طويلته 1 و جزؤه الحقيقي معدوم
العمود الأيسر هو كل ما تحتاج حسابه؛ لا رسم و لا قياس بالمنقلة.
⚠️ الزاوية الموجهة قد تخرج سالبة، و هذا لا يعني شيئا ناقصا. إذا وجدت أن قيس الزاوية هو ناقص π على 3، فالزاوية الهندسية للمثلث هي القيمة المطلقة، أي π على 3. الإشارة تقول جهة الدوران فقط، و هي تنقلب إذا عكست ترتيب الشعاعين.
و تذكّر المبرهنة الهندسية التي تختم الحساب: مثلث متقايس الساقين و إحدى زواياه تساوي π على 3 هو متقايس الأضلاع. لا يكفي أن نجد ضلعين متساويين، و لا أن نجد زاوية واحدة: الاثنان معا هما اللذان يقفلان البرهان.
الأضلاع الثلاثة متساوية، و مع ذلك الزاوية المكتوبة سالبة: الإشارة جهة، لا طول.
مثال 4: تعيين طبيعة مثلث

🎯المطلوب: عيّن طبيعة المثلث الذي لواحق رؤوسه معطاة أعلاه

📌المعطى: لاحقات الرؤوس الثلاثة
zA = −i√3 ; zB = 3 + 2i√3 ; zC = −3 + 2i√3
🔹الخطوة 1: الفرق الأول

نحسب الفرقين المنطلقين من الرأس الأول، لأنهما هما اللذان يدخلان في الحاصل.

zB − zA = 3 + 3i√3
🔹الخطوة 2: الفرق الثاني
zC − zA = −3 + 3i√3
🔹الخطوة 3: الضلع الأول

طويلة كل فرق تعطي ضلعا. المربعان هما 9 و 27، و مجموعهما 36.

AB=√(9 + 27)=6
🔹الخطوة 4: الضلع الثاني
AC=√(9 + 27)=6
🔹الخطوة 5: طويلة الحاصل

و الآن الزاوية عند الرأس الأول: نقسم الفرقين. طويلة الحاصل هي نسبة الضلعين، و هي 1.

|3 + 3i√3−3 + 3i√3|=66=1
🔹الخطوة 6: عمدة الحاصل
arg(3 + 3i√3−3 + 3i√3) ≡ −π3 [2π]
🔹الخطوة 7: الزاوية الهندسية عند الرأس

الإشارة تقول جهة الدوران فقط؛ الزاوية الهندسية للمثلث هي القيمة المطلقة للقيس.

|(AC , AB)| = π/3
✅النّتيجة: الضلعان المنطلقان من الرأس متساويان
AB=AC=6
و يوجد طريق ثان أقصر إن أردت التحقّق: احسب الضلع الثالث مباشرة. هنا فرق لاحقتي الرأسين العلويين هو ناقص 6، و طويلته 6 كذلك، فالأضلاع الثلاثة متساوية بلا زاوية و لا مبرهنة. ⚖️ هذا الحساب الثالث لا يوجد في المرجع، و هو أسرع تحقّق ممكن.
و بتطبيق المبرهنة المذكورة أعلاه على هذه النتيجة: المثلث متقايس الساقين، و الزاوية المحصورة بين ساقيه قيسها π على 3، إذن هو متقايس الأضلاع.

5. مجموعات النقط: من شرط على الطويلة إلى شكل هندسي

النمط الأخير في هذا الدرس يعطيك شرطا على لاحقة نقطة متغيّرة، و يطلب المجموعة التي تصفها هذه النقط. و الطريقة واحدة و لا تتغيّر: نعوّض اللاحقة بجزأيها، نحسب الطويلة، ثم نُربّع الطرفين لنتخلّص من الجذر، فنقع على معادلة في الفاصلة و الترتيب نعرف قراءتها.

  1. نعوّض اللاحقة بالكتابة الجبرية، و نجمع الجزء الحقيقي وحده و الجزء التخيلي وحده
  2. نكتب الطويلة بدستورها: الجذر التربيعي لمجموع المربعين
  3. نُربّع الطرفين، فالطرفان موجبان و التربيع لا يغيّر الحل
  4. نقسم على معامل المربعين إن لم يكن 1، ثم نُتمّ المربعين
  5. نقرأ المعادلة الناتجة: دائرة، أو مستقيم، أو غيرهما
⛔ لا تنس القسمة على معامل المربعين قبل إتمام المربّعين. المعادلة التي معاملها 2 ليست معادلة دائرة بشكلها المكتوب، و من أتمّ المربّعين قبل القسمة وجد مركزا خاطئا و نصف قطر خاطئا. القسمة أولا، ثم الإتمام.
الشرط على الطويلة و معادلة الدائرة يقولان الشيء نفسه: أحدهما بلغة الأعداد و الآخر بلغة الأشكال.
مثال 5: تعيين مجموعة نقط

🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط التي تحقّق لاحقتها الشرط المعطى

📌المعطى: الشرط على النقطة المتغيّرة
|(1 − i)z − 2i| = 2
🔹الخطوة 1: التعويض

نعوّض اللاحقة بكتابتها الجبرية داخل القوس، قبل أي حساب آخر.

|(1 − i)(x + i y) − 2i|=2
🔹الخطوة 2: نشر الجداء

ننشر الجداء. مربع الوحدة التخيلية يساوي ناقص 1، فالحدّ الذي يحمله يغيّر إشارته.

(1 − i)(x + i y)=x + i y − i x − i² y=x + y + i(y − x)
🔹الخطوة 3: طرح الحدّ الأخير
(1 − i)(x + i y) − 2i=(x + y) + i(−x + y − 2)
🔹الخطوة 4: كتابة الطويلة

نطبّق دستور الطويلة على هذه الكتابة: مجموع مربّعي الجزأين تحت جذر.

√((x + y)² + (−x + y − 2)²)=2
🔹الخطوة 5: نشر ما تحت الجذر

ننشر المربّعين. الحدّان اللذان يحملان جداء الفاصلة في الترتيب متعاكسان فيتلاشيان.

(x + y)² + (−x + y − 2)²=2x² + 2y² + 4x − 4y + 4
🔹الخطوة 6: التربيع

نُربّع الطرفين: الطرفان موجبان، فالتربيع لا يضيف حلولا و لا يحذف منها.

2x² + 2y² + 4x − 4y + 4=4
🔹الخطوة 7: القسمة على 2

⚖️ نطرح 4 من الطرفين ثم نقسم على 2: هذه الخطوة لا يكتبها المرجع، و بدونها يسقط الجواب من السماء.

x² + y² + 2x − 2y=0
🔹الخطوة 8: إتمام المربّعين

نُتمّ المربّعين: نضيف 1 لأجل الفاصلة و 1 لأجل الترتيب، و نعوّضهما في الطرف الآخر.

(x + 1)² − 1 + (y − 1)² − 1=0
✅النّتيجة
(x + 1)² + (y − 1)²=2
اقرأ الجواب كما يُقرأ: المركز هو النقطة التي فاصلتها ناقص 1 و ترتيبها 1، و نصف القطر هو الجذر التربيعي للعدد 2 — لا العدد 2 نفسه، لأن الطرف الأيمن هو مربع نصف القطر.
في البكالوريا نادرا ما يُسأل هذا الدرس مباشرة: يُسأل داخل تمرين طويل، في السؤال الأخير غالبا، بعد حلّ معادلة أو حساب لواحق. اكتب دائما الطويلة و العمدة في سطرين منفصلين — إن أخطأت في إحداهما احتفظت بنقطة الأخرى — و لا تختم بـ « إذن المثلث متقايس الأضلاع » دون أن تكتب المبرهنة التي تسمح لك بذلك: النقطة على التبرير، لا على الجواب.
الخلاصة في خمسة أسطر. ① فرق اللاحقتين هو لاحقة الشعاع بين النقطتين. ② طويلته هي المسافة، و عمدته هي الاتجاه بترديد 2π. ③ حاصل قسمة فرقين ينطلقان من رأس واحد يعطي نسبة الطولين في طويلته و الزاوية بينهما في عمدته. ④ التعامد يُقرأ على جزء حقيقي معدوم وحده. ⑤ و كل شرط على طويلة يصير، بعد التربيع، معادلة شكل هندسي مألوف.

Page 1/11

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net