الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التحويلات النقطية z′ = a·z + b و برهان خواصها
الجواب نعم، و هو المكسب الكبير لهذا الباب: الكتابة واحدة، و العدد a هو الذي يقرّر. إن كان a يساوي 1 فالتحويل انسحاب، و إن كان a عددا حقيقيا يخالف 1 فهو تحاك، و إن كان a عددا مركبا غير حقيقي طويلته 1 فهو دوران. ثلاث بطاقات تصير سطرا واحدا و ثلاثة شروط على عدد واحد.
- التعرّف على التحويل انطلاقا من كتابته المركبة
- تعيين الكتابة المركبة لانسحاب أو تحاك أو دوران
- برهان خواص التحويلات الثلاثة بالأعداد المركبة
- تعيين مركز التحويل بحلّ معادلة النقطة الصامدة
- أن فرق لاحقتي نقطتين هو لاحقة الشعاع الذي يصل بينهما
- طويلة و عمدة عدد مركب غير معدوم، و قراءتهما هندسيا
- تعريف الانسحاب و التحاكي و الدوران في الهندسة المستوية
1. تذكير: التحويلات الثلاثة كما تعرفها
قبل الترجمة إلى الأعداد، نعيد كتابة التعاريف الثلاثة، كل واحد في سطر واحد و بلغة اللواحق. و نستعمل الحرف اليوناني أوميغا لتسمية لاحقة مركز التحويل، و نلتزم به إلى آخر الدرس حتى لا يتغيّر اسم شيء في منتصف الطريق.
الفرق بين لاحقة الصورة و لاحقة النقطة ثابت لا يتعلّق بالنقطة: هذا بالضبط معنى « كل النقط تنزلق بالمقدار نفسه و في الاتجاه نفسه ».
الشعاع المنطلق من المركز إلى الصورة هو الشعاع المنطلق من المركز إلى النقطة مضروبا في عدد حقيقي: لهذا تبقى النقطة و صورتها و المركز على استقامة واحدة.
طويلة العامل هي 1، فالبعد عن المركز لا يتغيّر؛ و عمدته θ، فالاتجاه يدور بهذا القيس. البعد محفوظ و الاتجاه يدور: هذا هو الدوران.
| التحويل | الشرط على العامل | العناصر المميّزة |
|---|---|---|
| انسحاب | a = 1 | شعاع لاحقته b |
| تحاك | a عدد حقيقي يخالف 0 و يخالف 1 | مركز و نسبة تساوي a |
| دوران | a عدد مركب غير حقيقي طويلته 1 | مركز و زاوية قيسها عمدة a |
2. مفتاح البراهين الثلاثة: النقطة الصامدة
البراهين الثلاثة الآتية تمرّ كلها من الباب نفسه: نبحث عن نقطة لا تتحرّك، تُسمّى نقطة صامدة، أي نقطة صورتها هي نفسها. و ما إن نجدها حتى تصير مرجعا نطرح منه كل شيء.
نكتب ببساطة أن صورة النقطة التي لاحقتها ω هي النقطة نفسها. المجهول هنا هو ω، و المعادلة من الدرجة الأولى فيه.
⭐ القسمة مشروطة بأن يكون a مخالفا لـ 1، و إلا انعدم المقام. و هذا بالضبط ما يفصل الحالة الأولى عن الحالتين الأخريين: حين يكون a يساوي 1، لا توجد نقطة صامدة أصلا إن كان b غير معدوم.
نطرح مساواة النقطة الصامدة من مساواة التحويل، طرفا من طرف: يذهب الحدّ الثابت تماما، و يبقى الفرق مضروبا في العامل. ⭐ هذه المساواة الواحدة تحمل الحالتين الثانية و الثالثة.
3. الحالة الأولى: العامل يساوي 1
إن كان العامل يساوي 1 فالكتابة تصير أبسط ما يمكن، و لا حاجة إلى نقطة صامدة: يكفي أن ننقل الحدّ.
فرق لاحقتي النقطة و صورتها ثابت لا يتعلّق بالنقطة: هذا هو تعريف الانسحاب بعينه، كما كتبناه في التذكير.
4. الحالة الثانية: العامل عدد حقيقي يخالف 1
هنا توجد نقطة صامدة وحيدة، فنستعمل المساواة التي حصّلناها بالطرح. الجديد الوحيد هو أن العامل عدد حقيقي.
ضرب فرق في عدد حقيقي هو بالضبط ما يعرّف التحاكي: الشعاع من المركز إلى الصورة هو الشعاع من المركز إلى النقطة مضروبا في العدد نفسه، فتبقى النقط الثلاث على استقامة واحدة.
5. الحالة الثالثة: العامل غير حقيقي و طويلته 1
نأخذ المساواة نفسها، لكننا نقرأها هذه المرّة بالطويلة و العمدة بدل أن نقرأها بالضرب في عدد حقيقي. و نبدأ بعزل العامل.
طويلة الحاصل هي نسبة البعدين عن المركز. و ما دامت تساوي 1، فالبعدان متساويان: الصورة على الدائرة نفسها التي تحمل النقطة، و مركزها هو المركز.
⭐ عمدة الحاصل هي الزاوية الموجهة التي يُدار بها الشعاع المنطلق من المركز. البعد محفوظ و الزاوية ثابتة لكل النقط: هذا هو الدوران.
6. الاتجاه الأول: التعرّف على التحويل من كتابته
🎯المطلوب: أثبت أن هذا التحويل انسحاب، ثم عيّن شعاعه
نحسب فرق الفاصلتين ثم فرق الترتيبين، و ننظر هل يتعلّقان بالنقطة أم لا.
نجمع الفرقين في لاحقة واحدة: الفرق في الفاصلة جزء حقيقي، و الفرق في الترتيب جزء تخيلي.
الفرق عدد ثابت لا يتعلّق بالنقطة إطلاقا: هذا هو تعريف الانسحاب.
🎯المطلوب: أثبت أن هذا التحويل تحاك، ثم عيّن مركزه و نسبته
نبحث أولا عن النقطة الصامدة: نكتب أن الصورة هي النقطة نفسها في كل من الإحداثيتين.
ننقل الحدّ الذي يحمل المجهول إلى الطرف الأيسر: نصف زائد واحد يساوي ثلاثة أنصاف.
الآن نطرح إحداثيتي المركز من الطرفين لنُظهر الفرقين. انتبه إلى الإشارات: نطرح ناقص ثمانية أثلاث، أي نضيف ثمانية أثلاث.
الفرقان مضروبان في العدد الحقيقي نفسه: هذا هو التحاكي، و العدد هو نسبته.
🎯المطلوب: أثبت أن هذا التحويل دوران، ثم عيّن مركزه و زاويته
نحسب مربّع البعد عن المبدأ قبل الصورة و بعدها. ⚖️ المربّع لا الطول: البعد هو الجذر التربيعي لمجموع المربّعين.
نعوّض الإحداثيتين الجديدتين: مربّع ناقص الترتيب هو مربّع الترتيب.
المربّعان متساويان و البعدان موجبان، فالبعدان متساويان.
نحسب الجداء السلمي للشعاعين المنطلقين من المبدأ: جداء الفاصلتين زائد جداء الترتيبين.
الجداء السلمي معدوم و الشعاعان غير معدومين: الزاوية قائمة.
و نميّز بين الزاويتين القائمتين بتعويض نقطة واحدة: صورة النقطة التي فاصلتها 1 و ترتيبها 0 هي النقطة التي فاصلتها 0 و ترتيبها 1، أي في الجهة الموجبة. ⚖️ هذا التمييز لا يكتبه المرجع، و بدونه تبقى زاويتان ممكنتان.
7. الاتجاه الثاني: تعيين الكتابة المركبة لتحويل معلوم
الاتجاه المعاكس أسهل: نعرف التحويل و نبحث عن كتابته. و الطريقة واحدة في الحالات الثلاث: نعيّن العامل a من طبيعة التحويل، ثم نعيّن الحدّ b بتعويض نقطة نعرف صورتها.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركبة لهذا الانسحاب، ثم احسب لاحقة صورة النقطة التي لاحقتها 3 − i
لاحقة شعاع هي الفاصلة زائد الوحدة التخيلية في الترتيب: خطوة يمرّ عليها الكثيرون بسرعة.
العامل في الانسحاب يساوي 1 دائما، فلا يبقى إلا إضافة اللاحقة.
نعوّض لاحقة النقطة المطلوب صورتها.
نجمع الجزأين الحقيقيين وحدهما و التخيليين وحدهما: الوحدة التخيلية تختفي.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركبة لهذا التحاكي، ثم احسب لاحقة صورة النقطة التي لاحقتها −3 − 2i
العامل في التحاكي هو النسبة نفسها، فالكتابة تبدأ بالضرب في 3.
المركز صامد: صورته هو نفسه. نعوّض لاحقته في الطرفين لنستخرج الحدّ b.
ننقل الحدّ المنشور إلى الطرف الأيسر: نطرح جزءا حقيقيا من جزء حقيقي و تخيليا من تخيلي.
نعوّض لاحقة النقطة المطلوب صورتها، ثم نجمع.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركبة لهذا الدوران، ثم احسب لاحقة صورة النقطة التي لاحقتها 1 − i√3
العامل في الدوران طويلته 1 و عمدته هي زاوية الدوران: نكتبه بجيب التمام و الجيب.
⚖️ المركز صامد بالدوران: صورته هي نفسه. و هنا يجب الانتباه: التحويل هنا دوران، فنكتب صمود المركز به هو، لا بتحويل آخر.
لاحقة المركز طويلتها 1 و عمدتها 4π على 3، فنكتبها أسّيا حتى يصير الجداء جمع عُمَد.
جداء عددين طويلتهما 1 هو عدد طويلته 1 و عمدته مجموع العمدتين: π على 3 زائد 4π على 3.
نطرح الجداء من لاحقة المركز لنستخرج الحدّ b: الجزآن التخيليان يتلاشيان.
⚖️ نعوّض لاحقة النقطة المطلوب صورتها و ننشر. المرجع يعطي النتيجة دون هذا السطر.
مربع الوحدة التخيلية يساوي ناقص 1، فالحدّ الأخير يصير زائد ثلاثة أنصاف.
Page 1/12
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net