الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل مسائل هندسية بواسطة الانسحابات و التحاكيات و الدورانات
الجواب في سطرين: نكتب التحويل على الشكل الذي يرفق باللاحقة z اللاحقة z' ، ثم ننظر إلى المعامل الذي يضرب z وحده. هذا المعامل يقول الطبيعة، و الحد الثابت يقول أين يقع الشعاع أو المركز. لا حاجة إلى أي رسم.
- التعرّف على انسحاب أو تحاك أو دوران انطلاقا من عبارته التحليلية
- تعيين العناصر المميّزة: شعاع الانسحاب، أو المركز مع النسبة، أو المركز مع الزاوية
- كتابة العبارة المركّبة لانسحاب أو تحاك أو دوران معلوم
- توظيف هذه الكتابات لحل مسألة هندسية دون رسم
- حساب طويلة عدد مركب و تعيين عمدة له
- الضرب و القسمة في مجموعة الأعداد المركبة
- لاحقة نقطة و لاحقة شعاع في المستوي المركب
التعرّف على التحويل انطلاقا من عبارته التحليلية
يُعطى التحويل أحيانا بجملة تربط إحداثيّي الصورة بإحداثيّي النقطة. عندئذ نتبع ترتيبا ثابتا: نبحث أولا عن النقط الصامدة، أي النقط التي تنطبق على صورتها. عدد هذه النقط يفصل بين الحالات: لا نقطة صامدة يعني انسحابا بشعاع غير معدوم، و نقطة صامدة وحيدة تعني تحاكيا أو دورانا.
بعد ذلك نطرح إحداثيّي النقطة الصامدة من إحداثيّي كل نقطة و من إحداثيّي صورتها: إن ظهر عامل مشترك حقيقي فالتحويل تحاك و هذا العامل هو نسبته، و إن حُفظت المسافة إلى النقطة الصامدة و دار الشعاع بزاوية ثابتة فالتحويل دوران.
التحويل النقطي f يرفق بكل نقطة M ذات الإحداثيتين x و y النقطة M′ ذات الإحداثيتين x' و y' وفق الجملة أدناه.
🎯المطلوب: أثبت أن التحويل f انسحاب، ثم عيّن شعاعه.
نحسب فرق الإحداثيتين لأنه هو بالضبط إحداثيا الشعاع المرفق بالنقطة و صورتها.
الفرقان عددان ثابتان لا يتعلّقان بالنقطة M ، إذن الشعاع نفسه من أجل كل نقطة.
أما إذا تعلّق الفرق بالنقطة، فالتحويل ليس انسحابا. نبحث عندئذ عن النقطة الصامدة بحل الجملة التي نحصل عليها بتعويض الصورة بالنقطة نفسها.
التحويل النقطي g يرفق بكل نقطة M ذات الإحداثيتين x و y النقطة M′ وفق الجملة أدناه.
🎯المطلوب: عيّن النقط الصامدة بالتحويل g.
النقطة الصامدة تحقّق x' = x ، فنعوّض و نحل معادلة من الدرجة الأولى.
نجمع x/2 إلى الطرفين.
نعيد العمل نفسه على الترتيبة.
المركز وحده لا يكفي: علينا أن نُظهر النسبة. لذلك نطرح إحداثيتي المركز من الطرفين، ثم نُخرج العامل المشترك. الكتابة التي نصل إليها هي بالضبط ترجمة المساواة الشعاعية للتحاكي.
🎯المطلوب: أثبت أن التحويل g تحاك، ثم عيّن نسبته.
نطرح فاصلة المركز من الطرفين، أي نضيف 8/3 إلى كل طرف.
نُجري الطرح العددي في الطرف الأيمن.
نُخرج العامل −1/2 ، و ننتبه إلى أن 4/3 مقسوما على 1/2 يساوي 8/3.
نعيد العمل نفسه على الترتيبة، بطرح 2/3 هذه المرة.
السطران معا يقولان إن شعاع المركز نحو الصورة هو مضاعف شعاع المركز نحو النقطة.
نأخذ نقطة يسهل حسابها، فاصلتها معدومة، و نُخضع كتابتنا للاختبار.
🎯المطلوب: تحقّق من صحّة الكتابة المعمّلة عند الفاصلة المعدومة.
نحسب الصورة مباشرة من الجملة.
نطرح فاصلة المركز من الصورة.
نحسب الطرف الأيمن بالكتابة التي وجدناها.
الدوران: الطول محفوظ و الزاوية قائمة
الحالة الثالثة هي الدوران. علامتها أن المسافة إلى المركز محفوظة، و أن الزاوية بين شعاع النقطة و شعاع صورتها ثابتة. نتحقّق من الطول بمقارنة المربّعين، لأن المربّع يتخلّص من الجذر، و نتحقّق من الزاوية بالجداء السلّمي.
التحويل النقطي يرفق بكل نقطة M ذات الإحداثيتين x و y النقطة M′ وفق الجملة أدناه.
🎯المطلوب: أثبت أن المسافة من المبدأ إلى الصورة تساوي المسافة من المبدأ إلى النقطة.
نكتب مربّع المسافة من المبدأ إلى النقطة، لأن المسافة نفسها تحمل جذرا.
نعوّض إحداثيّي الصورة.
مربّع العدد المقابل يساوي مربّع العدد.
مربّعان متساويان لعددين موجبين يعطيان عددين متساويين.
🎯المطلوب: بيّن أن الشعاعين متعامدان من أجل كل نقطة M تخالف المبدأ.
الجداء السلّمي في معلم متعامد و متجانس هو مجموع جداءي الإحداثيات المتقابلة.
الحدّان متقابلان.
جداء سلّمي معدوم بين شعاعين غير معدومين يعني تعامدهما.
الطول محفوظ و الزاوية قائمة: التحويل إذن دوران مركزه المبدأ و قيس زاويته ربع دورة. لكن ربع الدورة له اتجاهان، و المعطيان السابقان لا يفصلان بينهما. لذلك نأخذ نقطة واحدة يسهل حسابها و ننظر إلى أين ذهبت.
نختار النقطة التي فاصلتها 1 و ترتيبتها معدومة لأن حسابها فوري.
🎯المطلوب: حدّد اتجاه الدوران، أي بيّن أي القيسين ربع دورة هو الصحيح.
نطبّق الجملة على هذه النقطة بالذات.
النقطة كانت على نصف محور الفواصل الموجب، و صارت على نصف محور التراتيب الموجب: الشعاع صعد، و هذا هو الاتجاه المباشر.
من التحويل إلى عبارته المركّبة
الطريق الثاني معاكس: التحويل معلوم بعناصره المميّزة، و المطلوب كتابته. كل هذه التحويلات تُكتب على شكل واحد يرفق باللاحقة z اللاحقة z' ، و يتألّف من معامل يضرب z و حدّ ثابت. المعامل هو الذي يقول الطبيعة، على النحو التالي.
| قيمة المعامل a | طبيعة التحويل | العناصر المميّزة |
|---|---|---|
| a = 1 | انسحاب | الشعاع الذي لاحقته b |
| a عدد حقيقي يخالف 0 و يخالف 1 | تحاك | النسبة a و مركز وحيد |
| |a| = 1 و a يخالف 1 | دوران | الزاوية arg(a) و مركز وحيد |
الانسحاب شعاعه معطى بإحداثيتيه، و النقطة A لاحقتها 3 ناقص الوحدة التخيلية.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركّبة للانسحاب ثم احسب لاحقة صورة النقطة A.
لاحقة شعاع إحداثياه معلومان هي الفاصلة زائد الترتيبة مضروبة في الوحدة التخيلية.
في الانسحاب، لاحقة الصورة تساوي لاحقة النقطة زائد لاحقة الشعاع.
نعوّض لاحقة النقطة المعطاة.
نجمع الأجزاء الحقيقية وحدها و الأجزاء التخيلية وحدها.
التحاكي مركزه النقطة A التي لاحقتها ناقص واحد زائد ضعف الوحدة التخيلية، و نسبته 3.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركّبة للتحاكي.
النسبة عدد حقيقي، فهي هي معامل الكتابة.
مركز التحاكي صامد، أي أن صورته هي هو، فنعوّض لاحقته في الطرفين.
نستخرج الحد الثابت.
نعوّض لاحقة المركز.
🎯المطلوب: احسب لاحقة النقطة صورة B بالتحاكي السابق.
نعوّض في العبارة التي وجدناها.
نوزّع الضرب على الحدّين.
نجمع الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين.
يبقى الدوران، و هو الحالة التي يظهر فيها الشكل الأسّي أنفع ما يكون: معامل الدوران طويلته تساوي 1، و عمدته هي زاوية الدوران بالذات.
🎯المطلوب: احسب معامل الدوران الذي قيس زاويته ثلث نصف الدورة.
نعوّض في تعريف المعامل.
نستعمل القيمتين المعروفتين للجيب و تجيب التمام.
نتحقّق من الطويلة لأنها يجب أن تساوي 1.
الدوران مركزه النقطة A التي لاحقتها معطاة، و قيس زاويته ثلث نصف الدورة.
🎯المطلوب: عيّن العبارة المركّبة للدوران المذكور.
مركز الدوران صامد، أي أن صورته هي هو.
نعزل الحد الثابت و نُخرج لاحقة المركز عاملا مشتركا.
نحسب ما بين القوسين.
ننشر الجداء، مع تعويض مربّع الوحدة التخيلية بناقص واحد.
الحدّان التخيليان متقابلان، و مربّع الوحدة التخيلية يساوي ناقص واحد.
🎯المطلوب: احسب لاحقة النقطة صورة B بالدوران السابق.
نعوّض في العبارة المركّبة، و نبدأ بالجداء وحده.
ننشر الأقواس حدّا حدّا.
الحدّان التخيليان متقابلان، و مربّع الوحدة التخيلية يساوي ناقص واحد.
نطرح الحد الثابت.
Page 1/16
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net