مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الحساب التكاملي

توظيف الحساب التكاملي لحل مشكلات بسيطة

🔊 La maîtresse lit pour toi
عدّاد السيّارة يقيس السرعة لحظة بلحظة، و لا يقيس المسافة. عدّاد الكهرباء يقيس الاستطاعة، و ما تدفعه في آخر الشهر هو الطاقة. في الحالتين، الكمّية المطلوبة هي تراكم كمّية أخرى عبر الزمن. فما الأداة التي تحوّل معدّل التغيّر إلى الكمّية المتراكمة؟

الأداة هي التكامل، و العلاقة بينه و بين الاشتقاق تُقرأ في الاتّجاهين: الاشتقاق ينزل من الكمّية إلى معدّلها، و التكامل يصعد من المعدّل إلى الكمّية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • ربط السرعة بالمسافة المقطوعة عبر التكامل
  • دراسة دالة معرّفة بتكامل و حساب مشتقّتها
  • حساب مساحة حيّز محدّد بمنحنى و بمستقيمه المقارب
  • إعطاء حصر عددي لمساحة انطلاقا من حصر عدد
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف التكامل و المكاملة بالتجزئة
  • المستقيم المقارب المائل و دراسة الوضع النسبي

1. الدالة المعرّفة بتكامل

إلى الآن كان التكامل عددا. لكن إذا تركنا الحدّ الأعلى متغيّرا، صار دالة — و هي الدالة الأصلية التي تنعدم عند نقطة معلومة:

مبرهنة

البرهان: إذا كانت G دالة أصلية لـ f فإنّ ⁦F(x) = G(x) - G(a)⁩، و ⁦G(a)⁩ ثابت مشتقّته معدومة، فـ ⁦F′ = G′ = f⁩. و التعويض بـ a يعطي ⁦F(a) = 0⁩ مباشرة.

F(x) = ∫ax f(t) dt ⟹ F' = f ; F(a) = 0
Fالدالة الأصلية الوحيدة لـ f التي تنعدم عند a
⛔ المتغيّر داخل التكامل يجب أن يخالف الحدّ الأعلى. نكتب ⁦∫ₐx f(t)dt⁩ و ليس ⁦∫ₐx f(x)dx⁩: الأوّل متغيّر صامت، و الثاني هو متغيّر الدالة. الخلط بينهما يجعل العبارة بلا معنى.
مثال مشهور

لأنّ مشتقّة اللوغاريتم النيبيري هي ⁦1/x⁩ و لأنّ ⁦ln 1 = 0⁩. هذا في الحقيقة تعريف اللوغاريتم في كثير من المراجع: المساحة تحت الهذلول بين 1 و x.

ln x = ∫1x (1t) dt

2. المسافة المقطوعة

السرعة اللحظية هي مشتقّة المسافة بالنسبة للزمن. و بقلب العلاقة، المسافة المقطوعة بين لحظتين، إذا بقيت السرعة موجبة بينهما، هي تكامل السرعة بينهما:

المسافة

بشرط ⁦t₁ < t₂⁩. و التفسير البياني مباشر: المسافة هي المساحة تحت منحنى السرعة. لهذا يكفي في حركة منتظمة أن نضرب السرعة في الزمن — مساحة مستطيل.

x = ∫t₁t₂ v(t) dt
vالسرعة اللحظية(m/s)xالمسافة المقطوعة بين اللحظتين(m)
مثال 1: من السرعة إلى المسافة

نقطة متحرّكة سرعتها اللحظية ⁦v(t) = 2t + et⁩ بالمتر في الثانية، من أجل t موجب.

🎯المطلوب: احسب المسافة المقطوعة بين اللحظتين ⁦t₁ = 1 s⁩ و ⁦t₂ = 2 s⁩.

🔹الخطوة 1: الدستور

المسافة تكامل السرعة بين اللحظتين.

x = ∫1² (2t + et) dt
🔹الخطوة 2: دالة أصلية

دالة أصلية، حدّا بحدّ.

F(t) = t² + et
🔹الخطوة 3: القيمة عند 2

عند اللحظة الثانية.

F(2) = 4 + e²
🔹الخطوة 4: القيمة عند 1

و عند اللحظة الأولى.

F(1) = 1 + e
✅النّتيجة

نطرح، مع توزيع الإشارة: ⁦4 - 1 = 3⁩.

x=(4 + e²) - (1 + e)=e² - e + 3
النتيجة بالمتر، لأنّ السرعة بالمتر في الثانية و الزمن بالثانية. تحقّق دائما من تجانس الوحدات: تكامل ⁦m/s⁩ في s يعطي m، و هذا في ذاته مراقبة للحساب.
مثال 2: دالة أصلية للوغاريتم بالتجزئة

نعتبر الدالة x ↦ ln x على المجال ⁦]0 ; +∞[⁩.

🎯المطلوب: عيّن الدالة الأصلية للوغاريتم النيبيري التي تنعدم عند 1.

🔹الخطوة 1: كتابة الدالة

نبحث عن الدالة الأصلية التي تنعدم عند 1، فنكتبها تكاملا.

F(x) = ∫1x ln t dt
🔹الخطوة 2: الاختيار

لا دالة أصلية للوغاريتم في الجدول، فنجزّئ بوضع الوحدة مشتقّة ثانية.

u(t) = ln t ; v'(t) = 1
🔹الخطوة 3: المشتقّة و الدالة الأصلية

فتصير المشتقّة كسرا نسبيا و الدالة الأصلية هي المتغيّر.

u'(t) = 1t ; v(t) = t
🔹الخطوة 4: تطبيق الدستور

نطبّق الدستور: الجداء داخل التكامل يبسّط تماما لأنّ t تختصر مع مقامها.

F(x)=[t ln t]1x - ∫1x (1t) × t dt=[t ln t]1x - ∫1x dt
🔹الخطوة 5: الحدّان

الحدّ المُقوَّس: عند x نجد x ln x، و عند 1 نجد ⁦ln 1 = 0⁩. و التكامل الباقي هو طول المجال.

[t ln t]1x = x ln x - 0 ; ∫1x dt = [t]1x = x - 1
✅النّتيجة

نطرح مع توزيع الإشارة.

F(x)=x ln x - (x - 1)=x ln x - x + 1
⭐ الحيلة تُحفظ: لمكاملة دالة وحيدة لا نعرف لها دالة أصلية، نكتبها جداء في 1 و نأخذ ⁦v′ = 1⁩. تصلح للوغاريتم و لدالة قوس الظلّ. و تحقّق: ⁦F(1) = 1×0 - 1 + 1 = 0⁩، كما هو مطلوب.

3. مساحة بين منحنى و مقاربه

المستقيم المقارب المائل يقترب من المنحنى دون أن يلتقيه عند اللانهاية، لكنّهما قد يتقاطعان في مجال متناه. و هذا ما يريه الشكل المقابل: المنحنى فوق مقاربه إلى غاية النقطة ذات الفاصلة 1، ثمّ تحته بعدها. فيكون بينهما حيّزان، لا حيّز واحد، و تُحسب مساحتهما كأيّ حيّز بين منحنيين — بشرط تقطيع المجال حسب الوضع النسبي.

التقارب لا يقول شيئا إلاّ عن اللانهاية: في مجال متناه يجوز للمنحنى أن يقطع مقاربه، و هنا يقطعه فعلا.
مثال 3: بين منحنى و مستقيمه المقارب

نعتبر الدالة f المعرّفة على ⁦]0 ; +∞[⁩ بـ ⁦f(x) = x - (ln x)/x⁩، و مستقيمها المقارب المائل الذي معادلته ⁦y = x⁩، في معلم وحدة الطول فيه 2 سنتيمترين.

🎯المطلوب: احسب بالسنتيمتر المربّع مساحة الحيّز المحدّد بالمنحنى، بالمستقيم المقارب و بالمستقيمين اللذين معادلتاهما ⁦x = 1/e⁩ و ⁦x = e⁩.

🔹الخطوة 1: الفرق

الفرق بين الدالة و المستقيم يعطي إشارة الوضع النسبي.

f(x) - x = -ln xx
🔹الخطوة 2: الوضع النسبي

المقام موجب تماما، فالإشارة إشارة ناقض اللوغاريتم: تنقلب عند 1.

x ∈ [1e ; 1] ⟹ ln x ≤ 0 ⟹ f(x) ≥ x ; x ∈ [1 ; e] ⟹ f(x) ≤ x
🔹الخطوة 3: التقطيع

فنقطّع عند 1، و في كلّ قطعة نكتب الأعلى ناقص الأدنى.

A=∫1e¹ [-ln xx] dx + ∫1e [ln xx] dx
🔹الخطوة 4: دالة أصلية

دالة أصلية للعبارة: مربّع اللوغاريتم على اثنين، لأنّها من صيغة ⁦u′u⁩.

G(x) = (ln x)²2
🔹الخطوة 5: قيم الدالة الأصلية

نحسب القيم الثلاث للدالة الأصلية: ⁦ln 1 = 0⁩، ⁦ln(1/e) = −1⁩، ⁦ln e = 1⁩.

G(1) = 0 ; G(1e) = (-1)²2 = 12 ; G(e) = 1²2 = 12
🔹الخطوة 6: القطعة الأولى

القطعة الأولى، بالإشارة السالبة أمام الفرق.

-[G(1) - G(1e)]=-(0 - 12)=12
🔹الخطوة 7: القطعة الثانية

و القطعة الثانية، بلا إشارة.

G(e) - G(1)=12 - 0=12
🔹الخطوة 8: المساحة بوحدة المساحة

نجمع القطعتين.

A=12 + 12=1 u.a
✅النّتيجة

ثمّ نحوّل: وحدة الطول 2 سنتيمترين على المحورين معا.

1 u.a = 2 cm × 2 cm = 4 cm² ⟹ A = 4 cm²
⛔ المستقيم المقارب يقطع المنحنى هنا. كون المستقيم مقاربا لا يمنعه من التقاطع معه في مجال متناه؛ ما يقوله التقارب هو سلوك اللانهاية وحده. لهذا لزم التقطيع عند 1.
مثال 4: وضعية من نوع الباكالوريا

نعتبر الدالة g المعرّفة على ⁦]0 ; +∞[⁩ بـ ⁦g(x) = ln x - 2/x⁩، و x₀ حلّ المعادلة ⁦g(x) = 0⁩ حيث ⁦2,3 < x₀ < 2,4⁩. و نعتبر الدالة f المعرّفة بـ ⁦f(x) = 5 ln x / x⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الحيّز تحت منحنى f بين 1 و x₀ و المستطيل الذي بعداه 1 و ⁦f(x₀)⁩ لهما نفس المساحة، ثمّ أعط حصرا لهذه المساحة سعته 0,2.

🔹الخطوة 1: خاصية العدد

العدد x₀ حلّ للمعادلة ⁦g(x) = 0⁩، فنستخرج منه علاقة تربط اللوغاريتم بالمقلوب.

g(x₀) = 0 ⟺ ln x₀ = 2x₀
🔹الخطوة 2: صورة العدد

نعوّض في عبارة f فيختفي اللوغاريتم.

f(x₀)=5 ln x₀x₀=5 × 2x₀x₀=10x₀²
🔹الخطوة 3: دالة أصلية

العبارة من صيغة ⁦u′u⁩، فدالتها الأصلية معروفة.

F(x) = (52) (ln x)²
🔹الخطوة 4: التكامل من 1

و ⁦ln 1 = 0⁩، فالتكامل من 1 يبسط تماما.

∫1a f(t) dt=(52)(ln a)² - (52)(ln 1)²=(52)(ln a)² - 0
🔹الخطوة 5: مساحة الحيّز الأوّل

نأخذ ⁦a = x₀⁩ و نعوّض بالعلاقة الأولى، فيظهر المربّع نفسه.

(52)(ln x₀)²=(52) × (2x₀)²=(52) × 4x₀²=10x₀²
🔹الخطوة 6: مساحة الحيّز الثاني

و الحيّز الثاني مستطيل قاعدته 1 و ارتفاعه صورة العدد: نفس المقدار.

f(x₀) × 1 = 10x₀²
🔹الخطوة 7: الحصر

للحصر: التربيع يحفظ الترتيب على الموجبات، ثمّ المقلوب يقلبه.

2,3 < x₀ < 2,4 ⟹ 10(2,4)² < 10x₀² < 10(2,3)²
🔹الخطوة 8: الطرفان

نحسب الطرفين.

10(2,4)² = 105,76 ≈ 1,736 ; 10(2,3)² = 105,29 ≈ 1,890
✅النّتيجة

ثمّ نوسّع قليلا لنبلغ حصرا سعته 0,2 كما هو مطلوب.

1,736 < A < 1,890 ⟹ 1,7 < A < 1,9
⭐ العلاقة ⁦ln x₀ = 2/x₀⁩ هي مفتاح التمرين كلّه. حين يُعطى عدد بأنّه حلّ معادلة، لا تحسبه: استعمل المعادلة. حسابه بالحاسبة يعطي قيمة تقريبية و يفقدك الدقّة، بينما العلاقة تعطي نتيجة مضبوطة.
⛔ في تمارين الباكالوريا، سؤال المساحة يأتي آخر التمرين و يعتمد على كلّ ما سبقه: اتّجاه التغيّر، الوضع النسبي، أحيانا حصر عدد. من قفز إليه مباشرة يجد نفسه بلا معطيات. أجب بالترتيب، و أعد استعمال ما برهنته.
الخلاصة: التكامل يصعد من المعدّل إلى الكمّية المتراكمة — من السرعة إلى المسافة، و من الدالة إلى مساحتها. و بترك الحدّ الأعلى متغيّرا يصير التكامل دالة، هي الدالة الأصلية التي تنعدم عند الحدّ الأدنى، و مشتقّتها هي الدالة المكاملة.

Page 1/8

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net