Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء الجداء السلمي الهندسة في الفضاء

الجداء السلمي في الفضاء: التعريف و العبارة التحليلية

🔊 La maîtresse lit pour toi

تعرف الجداء السلمي في المستوي منذ السنة الماضية، و تعرف أنّه يقيس التعامد بعدد واحد. لكنّ مسائل الباكالوريا تُطرح في مكعّب أو في رباعي وجوه، حيث الشعاعان لا يقعان دائما في الورقة نفسها. فهل يبقى للجداء السلمي معنى بين شعاعين من الفضاء، و كيف يُحسب بالإحداثيات؟

الجواب في ملاحظة واحدة، و كلّ الدرس مبنيّ عليها: مهما كان الشعاعان u و v من الفضاء، يوجد دائما مستو واحد على الأقلّ يشمل ممثّلَيهما. فنحسب فيه جداءهما السلمي كما تعلّمنا في المستوي، ثمّ نبرهن أنّ النتيجة لا تتعلّق بالمستوي المختار. و منها يمتدّ كلّ شيء: الخواص، العبارة التحليلية، و أداة التعامد التي تحلّ مسائل الفضاء.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف الجداء السلمي لشعاعين من الفضاء و التحقّق من أنّه لا يتعلّق بالمستوي المختار
استعمال الخواص الخمس للجداء السلمي في حساب مباشر
حساب جداء سلمي بالعبارة التحليلية في معلم متعامد و متجانس
حساب طويلة شعاع و المسافة بين نقطتين بالإحداثيات
إثبات تعامد مستقيمين، و تعامد مستقيم و مستو، بالجداء السلمي

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الجداء السلمي في المستوي و علاقة الطويلة به
علاقة شال و تفكيك شعاع إلى مجموع شعاعين
المعلم المتعامد و المتجانس في الفضاء و إحداثيات نقطة

1. التعريف: كيف يمتدّ الجداء السلمي إلى الفضاء

ليكن u و v شعاعين من الفضاء. نختار نقطة A و نعرّف النقطتين B و C بحيث يكون u ممثّلا بالشعاع الذاهب من A إلى B، و v ممثّلا بالشعاع الذاهب من A إلى C. يوجد دائما مستو يشمل النقط الثلاث، نسمّيه ⁦(P)⁩. و الجداء السلمي للشعاعين u و v في الفضاء هو جداؤهما السلمي محسوبا داخل هذا المستوي.

و يبقى سؤال مشروع: لو اخترنا نقطة A أخرى، لتغيّر المستوي ⁦(P)⁩. فهل تتغيّر النتيجة معه؟ الجواب لا، و الدليل هو العبارة التالية، التي تحسب الجداء السلمي بالطوائل وحدها، و الطويلة لا تتعلّق بأيّ مستو.

عبارة لا تتعلّق بالمستوي المختار

⭐ هذه هي حجّة الاستقلال: الطرف الأيمن لا يحتوي إلّا على طوائل، و طويلة شعاع عدد واحد مهما كان المستوي الذي نرسم فيه. إذن الجداء السلمي في الفضاء معرّف تعريفا سليما.

u.v= ‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖² 2

مستو في الفضاء يشمل نقطة و ممثّلي شعاعين، مع الشعاعين نفسيهما مرسومين خارج المستوي. — مهما كان الشعاعان، يوجد مستو يشملهما معا: و في ذلك المستوي نحسب الجداء السلمي.

⛔ الجداء السلمي عدد حقيقي، و ليس شعاعا. هذا أوّل ما يُفقد في الامتحان: من كتب نتيجة جداء سلمي بسهم فوقها فقد أخطأ في طبيعة الكائن نفسه، لا في الحساب فقط.

2. الخواص التي تُستعمل في كلّ تمرين

كلّ خواص الجداء السلمي في المستوي تنتقل إلى الفضاء، لأنّ الحساب يجري في مستو. و هذه الخمس هي التي تعمل في التمارين:

التناظر

u.v = v.u

الجداء السلمي لشعاع في نفسه

⭐ هذه الخاصية هي الجسر بين الطويلة و الجداء السلمي، و هي التي تسمح بتحويل شرط على مسافة إلى شرط على جداء سلمي، و العكس. احفظها بهذا الشكل: جداء الشعاع في نفسه هو مربّع طويلته، بلا أيّ معامل.

u.u = ‖u‖²

التوزيعية بالنسبة للجمع

u.( v + w ) = u.v + u.w

التجانس بالنسبة للضرب في عدد

( k u ).v=u.( k v )=k ( u.v )

مربّع مجموع شعاعين

‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u.v + ‖v‖²

⭐ الخاصيتان الثانية و الثالثة هما آلة العمل كلّها: نفكّك أحد الشعاعين بعلاقة شال، ثمّ نوزّع الجداء السلمي على الحدود، ثمّ نحذف كلّ حدّ يحوي شعاعين متعامدين. هذه هي بعينها الحركة المطلوبة في أسئلة المكعّب.

3. العبارة التحليلية في معلم متعامد و متجانس

عندما يُنسب الفضاء إلى معلم متعامد و متجانس، يصير الجداء السلمي حسابا على الإحداثيات: نضرب الفواصل في الفواصل، و التراتيب في التراتيب، و الرواقم في الرواقم، ثمّ نجمع. و منها تخرج الطويلة، و منها تخرج المسافة.

العبارة التحليلية للجداء السلمي

u.v = x x' + y y' + z z'

x ; y ; zإحداثيات الشعاع الأوّلx' ; y' ; z'إحداثيات الشعاع الثاني

طويلة شعاع

‖u‖ = √( x² + y² + z² )

المسافة بين نقطتين

AB=√( (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)² )

⛔ العبارة التحليلية صالحة في معلم متعامد و متجانس فقط. إن لم يقل النصّ ذلك صراحة، فلا يُسمح لك بضرب الإحداثيات: تعود عندئذ إلى التفكيك بعلاقة شال و إلى الخواص.

مثال 1: تعامد مستقيمين بالإحداثيات

في معلم متعامد و متجانس من الفضاء، نعتبر النقط ⁦A( −1 ; −2 ; 0 )⁩ و ⁦B( 3 ; 1 ; −2 )⁩ و ⁦C( −2 ; 0 ; 1 )⁩ و ⁦D( 2 ; −1 ; 0 )⁩.

🎯المطلوب: بيّن إن كان المستقيمان الحاملان للشعاعين متعامدين في كلّ من الحالتين.

🔹الخطوة 1: الشعاع الأوّل

نحسب إحداثيات كلّ شعاع بطرح إحداثيات المبدأ من إحداثيات النهاية.

AB = ( 3 − (−1) ; 1 − (−2) ; −2 − 0 ) = ( 4 ; 3 ; −2 )

🔹الخطوة 2: الشعاع الثاني

ثمّ الشعاع الثاني، بالطريقة نفسها.

CD = ( 2 − (−2) ; −1 − 0 ; 0 − 1 ) = ( 4 ; −1 ; −1 )

🔹الخطوة 3: الشعاع الثالث

و أخيرا الشعاع الثالث، الذي سنحتاجه في السؤال الثاني.

AC = ( −2 − (−1) ; 0 − (−2) ; 1 − 0 ) = ( −1 ; 2 ; 1 )

🔹الخطوة 4: الجداء السلمي الأوّل

نطبّق العبارة التحليلية على الشعاعين الأوّلين.

AB.CD=16 − 3 + 2=15

🔹الخطوة 5: قراءة النتيجة الأولى

العدد 15 يخالف الصفر، فالشعاعان غير متعامدين، و كذلك المستقيمان اللذان يوجّهانهما.

AB.CD ≠ 0

🔹الخطوة 6: الجداء السلمي الثاني

نعيد الحساب مع الشعاع الثالث.

AB.AC=−4 + 6 − 2=0

✅النّتيجة

انعدام الجداء السلمي يكافئ التعامد.

AB ⊥ AC

⭐ لاحظ أنّ الجواب في السؤال الأوّل هو عدد، لا كلمة: من كتب « غير متعامدين » دون أن يُظهر العدد 15 لا يبرهن شيئا. العدد هو البرهان.

4. التعامد و الإسقاط العمودي

انعدام الجداء السلمي هو تعريف التعامد بين شعاعين من الفضاء، لا نتيجة له. و هذا التعريف يشمل الشعاع المعدوم: فهو عمودي على كلّ شعاع، لأنّ جداءه السلمي في أيّ شعاع معدوم.

تعريف التعامد

u ⊥ v ⟺ u.v = 0

و الإسقاط العمودي هو الأداة التي تحوّل مسألة في الفضاء إلى مسألة في مستو أو على مستقيم. لتكن M نقطة من الفضاء و ⁦(P)⁩ مستويا: المستقيم العمودي على ⁦(P)⁩ و الذي يشمل M يقطع ⁦(P)⁩ في نقطة وحيدة، تسمّى المسقط العمودي للنقطة M على ⁦(P)⁩. و بالمثل، المستوي العمودي على مستقيم ⁦(D)⁩ و الذي يشمل M يقطع ⁦(D)⁩ في نقطة وحيدة: هي المسقط العمودي للنقطة M على ⁦(D)⁩.

الإسقاط لا يغيّر الجداء السلمي

A و B نقطتان من المستوي ⁦(P)⁩، و C نقطة خارجه، و ⁦C′⁩ مسقطها العمودي على ⁦(P)⁩. و البرهان في سطر: نكتب الشعاع الذاهب من A إلى C مجموعَ الشعاع الذاهب من A إلى ⁦C′⁩ و الشعاع الذاهب من ⁦C′⁩ إلى C، و هذا الأخير عمودي على المستوي، فجداؤه السلمي في شعاع من المستوي معدوم.

AB.AC = AB.AC'

نقطة خارج مستو، مسقطها العمودي داخله، و شعاعان من المستوي يبيّنان تساوي الجداءين. — متى كان أحد الشعاعين من المستوي، جاز تعويض الآخر بمسقطه دون أن تتغيّر النتيجة.

مثال 2: جداء سلمي موجب في المكعّب

نعتبر المكعّب الذي رؤوسه A و B و C و D في الوجه السفلي، و E و F و G و H فوقها على الترتيب، و طول حرفه a.

🎯المطلوب: احسب الجداء السلمي للشعاع الذاهب من A إلى B في الشعاع الذاهب من E إلى G.

🔹الخطوة 1: التفكيك

نفكّك الشعاع الذاهب من E إلى G بعلاقة شال، مارّين بالنقطة F.

EG = EF + FG

🔹الخطوة 2: التوزيع

ثمّ نوزّع الجداء السلمي على الحدّين.

AB.EG = AB.EF + AB.FG

🔹الخطوة 3: الحدّ المعدوم

الشعاع الذاهب من F إلى G يحمل حرفا عموديا على الوجه الذي يحمل الشعاع الأوّل، فالشعاعان متعامدان و جداؤهما السلمي معدوم.

AB.FG = 0

🔹الخطوة 4: تعويض الشعاع المتساوي

و يبقى الحدّ الأوّل؛ و الشعاع الذاهب من E إلى F يساوي الشعاع الذاهب من A إلى B لأنّ الرباعي الذي رؤوسه A و B و F و E مربّع.

EF = AB

🔹الخطوة 5: جداء الشعاع في نفسه

فيؤول الجداء إلى جداء الشعاع في نفسه، أي مربّع طويلته.

AB.EG=AB.AB=‖AB‖²

✅النّتيجة

و طويلة هذا الشعاع هي حرف المكعّب.

AB.EG = a²

⭐ الحركة الوحيدة هنا هي التفكيك ثمّ الحذف: نكتب أحد الشعاعين مجموع شعاعين، أحدهما عمودي على الآخر فيسقط، و الثاني يوازيه فيعطي مربّع الطويلة.

مثال 3: جداء سلمي سالب في المكعّب

في المكعّب نفسه، ذي الحرف a.

🎯المطلوب: احسب الجداء السلمي للشعاع الذاهب من A إلى E في الشعاع الذاهب من H إلى C.

🔹الخطوة 1: المسقط العمودي

نسقط النقطة C عموديا على المستوي المعيّن بالنقط A و E و H؛ مسقطها هو الرأس D.

AE.HC = AE.HD

🔹الخطوة 2: التحقّق بعلاقة شال

و نتحقّق من ذلك بعلاقة شال: الشعاع الذاهب من H إلى D هو مجموع الشعاعين الذاهبين من H إلى C ثمّ من C إلى D.

HD = HC + CD

🔹الخطوة 3: الحدّ المعدوم

الشعاع الذاهب من C إلى D عمودي على الشعاع الذاهب من A إلى E، فحدّه معدوم.

AE.CD = 0

🔹الخطوة 4: الشعاع المعاكس

و الشعاع الذاهب من H إلى D معاكس تماما للشعاع الذاهب من A إلى E: له طويلته و اتّجاه مضادّ.

HD = − AE

🔹الخطوة 5: الحساب

فيصير الجداء مقابل مربّع الطويلة.

AE.HC=− AE.AE=− ‖AE‖²

✅النّتيجة

و الطويلة هي حرف المكعّب.

AE.HC = − a²

⭐ الإشارة السالبة ليست خطأ: الجداء السلمي سالب كلّما كانت الزاوية بين الشعاعين منفرجة. من قلب الإشارة ليجعلها موجبة أفسد الجواب.

5. طريقة: إثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو

هذه هي الطريقة التي تُطلب في الباكالوريا أكثر من غيرها، و هي قصيرة:

نختار في المستوي مستقيمين متقاطعين (لا مستقيما واحدا، و لا مستقيمين متوازيين).
نبرهن أنّ المستقيم المدروس عمودي على الأوّل، بجداء سلمي معدوم.
نبرهن أنّه عمودي على الثاني، بالطريقة نفسها.
نستنتج أنّه عمودي على المستوي كلّه.

⛔ مستقيمان متقاطعان، لا أيّ مستقيمين. لو كان المستقيمان المختاران متوازيين، لما أثبت البرهان شيئا: يمكن لمستقيم أن يكون عموديا على اتّجاه واحد دون أن يكون عموديا على المستوي. ذكر التقاطع في التحرير جزء من النقطة.

مثال 4: القطر عمودي على مستو المثلث

في المكعّب ذي الرؤوس الثمانية نفسها.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم الحامل لقطر المكعّب عمودي على المستوي المعيّن بالنقط C و F و H.

🔹الخطوة 1: اختيار مستقيمين متقاطعين

نختار في المستوي مستقيمين متقاطعين في F: الأوّل يحمل الشعاع الذاهب من F إلى H، و الثاني الشعاع الذاهب من F إلى C.

( FH ) ∩ ( FC ) = { F }

🔹الخطوة 2: تفكيك القطر

نفكّك قطر المكعّب مارّين بالنقطة E.

AG = AE + EG

🔹الخطوة 3: التوزيع

نوزّع الجداء السلمي على الحدّين.

AG.FH = AE.FH + EG.FH

🔹الخطوة 4: قطرا المربّع

الوجه العلوي مربّع، و قطراه متعامدان، فالحدّ الثاني معدوم.

EG.FH = 0

🔹الخطوة 5: الحرف العمودي على الوجه

و الحرف الذاهب من A إلى E عمودي على الوجه العلوي كلّه، فالحدّ الأوّل معدوم أيضا.

AE.FH = 0

🔹الخطوة 6: العمودية الأولى

و منه العمودية الأولى.

AG.FH = 0

🔹الخطوة 7: التفكيك الثاني

نعيد الحركة نفسها مع الشعاع الثاني، مفكّكين القطر هذه المرّة مارّين بالنقطة B.

AG.FC = AB.FC + BG.FC

🔹الخطوة 8: الحدّان المعدومان

الوجه الذي رؤوسه B و C و G و F مربّع، فقطراه متعامدان، و الحرف الذاهب من A إلى B عمودي على هذا الوجه.

BG.FC = 0 ; AB.FC = 0

🔹الخطوة 9: العمودية الثانية

فتنعدم العمودية الثانية كذلك.

AG.FC = 0

✅النّتيجة

القطر عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوي، إذن هو عمودي على المستوي.

( AG ) ⊥ ( CFH )

⭐ لاحظ أنّ التفكيك تغيّر بين الشطرين: مرّة نمرّ بالنقطة E و مرّة بالنقطة B. و القاعدة بسيطة: نمرّ دائما بالرأس الذي يجعل أحد الحدّين قطرَ مربّع، و الآخر حرفا عموديا على وجه.

مكعّب مرسوم في منظور، مثلّثه المائل ملوّن، و قطره مرسوما عموديا على ذلك المثلّث. — القطر يخترق المثلّث المائل عموديا: و هذا ما يبرهنه الجداءان السلميان المعدومان.

⛔ مستقيمان متعامدان في الفضاء ليسا بالضرورة متقاطعين. في المكعّب، الحرف الذاهب من A إلى E و الحرف الذاهب من C إلى D جداؤهما السلمي معدوم و هما لا يلتقيان أبدا: نقول إنّهما متعامدان، و لا نقول إنّهما متقاطعان عموديا. الجداء السلمي يقيس الاتّجاه، لا الالتقاء.

⛔ في الباكالوريا، أسئلة هذا الدرس تُطرح في المكعّب و في رباعي الوجوه أكثر من غيرها، و الحركة المنتظرة واحدة: علاقة شال، ثمّ التوزيع، ثمّ حذف الحدود المعدومة. و في أسئلة الإحداثيات، لا تنسَ أن تكتب صراحة أنّ المعلم متعامد و متجانس قبل أن تضرب الإحداثيات: نصف النقطة في التبرير.

الخلاصة: لكلّ شعاعين من الفضاء مستو يشملهما، و فيه يُحسب جداؤهما السلمي؛ و العبارة بالطوائل تُثبت أنّ النتيجة لا تتعلّق باختيار المستوي. الخواص الخمس هي أدوات العمل، و أهمّها أنّ جداء شعاع في نفسه هو مربّع طويلته. في معلم متعامد و متجانس يصير الجداء السلمي مجموع جداءات الإحداثيات، و منه تُحسب الطويلة و المسافة. و انعدام الجداء السلمي هو التعامد نفسه: به نُثبت تعامد مستقيمين، و به نُثبت أنّ مستقيما عمودي على مستو، شرط أن يكون عموديا على مستقيمين متقاطعين منه.

Page 1/10

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: لكلّ شعاعين من الفضاء مستو يشملهما، و فيه يُحسب جداؤهما السلمي؛ و العبارة بالطوائل تُثبت أنّ النتيجة لا تتعلّق باختيار المستوي. الخواص الخمس هي أدوات العمل، و أهمّها أنّ جداء شعاع في نفسه هو مربّع طويلته. في معلم متعامد و متجانس يصير الجداء السلمي مجموع جداءات الإحداثيات، و منه تُحسب الطويلة و المسافة. و انعدام الجداء السلمي هو التعامد نفسه: به نُثبت تعامد مستقيمين، و به نُثبت أنّ مستقيما عمودي على مستو، شرط أن يكون عموديا على مستقيمين متقاطعين منه.

عبارة لا تتعلّق بالمستوي المختار

u.v = ‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖² 2

التناظر

u.v = v.u

الجداء السلمي لشعاع في نفسه

u.u = ‖u‖²

التوزيعية بالنسبة للجمع

u.( v + w ) = u.v + u.w

التجانس بالنسبة للضرب في عدد

( k u ).v = u.( k v ) = k ( u.v )

مربّع مجموع شعاعين

‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u.v + ‖v‖²

العبارة التحليلية للجداء السلمي

u.v = x x' + y y' + z z'

x ; y ; zإحداثيات الشعاع الأوّلx' ; y' ; z'إحداثيات الشعاع الثاني

طويلة شعاع

‖u‖ = √( x² + y² + z² )