الهندسة في الفضاء › التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوى
المستقيمات و المستويات في الفضاء: التمثيلات الوسيطية
الجواب هو الوسيط: عدد حقيقي واحد، نسمّيه t، يكفي وحده لتوليد كلّ نقط المستقيم. نثبّت نقطة A من المستقيم و شعاعا u يحمله، ثمّ نجعل t يمسح ℝ كلّه: تمسح النقطة M المستقيم كلّه. و الجملة التي تربط إحداثيات M بالوسيط t هي ما نسمّيه التمثيل الوسيطي.
- كتابة تمثيل وسيطي لمستقيم انطلاقا من نقطة و شعاع توجيه
- كتابة تمثيل وسيطي لمستقيم معرّف بنقطتين
- التحقّق ممّا إذا كانت نقطة معطاة تنتمي إلى مستقيم ممثّل وسيطيا
- قراءة نقطة و شعاع توجيه انطلاقا من تمثيل وسيطي معطى
- التمييز بين شعاع التوجيه لمستقيم و الشعاع الناظمي لمستو
- الأشعّة في الفضاء و شرط تواز شعاعين (الارتباط الخطّي)
- المعلم المتعامد و المتجانس في الفضاء، و إحداثيات نقطة و شعاع
- حساب إحداثيات الشعاع AB بفرق إحداثيات النقطتين
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين
1. من الشعاع إلى الجملة
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. ليكن ( D ) مستقيما من الفضاء يشمل نقطة معلومة الإحداثيات، و ليكن u شعاعا غير معدوم يحمله، أي شعاع توجيه له.
⛔ انتبه جيّدا: هذا شعاع تـوجيه، لا شعاع ناظمي. الشعاع الناظمي يخصّ المستوي، و هو عمودي عليه؛ أمّا شعاع التوجيه فهو محمول على المستقيم نفسه، و السطر الموالي هو الذي يثبت ذلك.
نأخذ الآن نقطة M كيفيّة من الفضاء. متى تكون على المستقيم ( D )؟ بالضبط لمّا يكون الشعاع AM في نفس اتّجاه u، أي لمّا يكون مضاعفا له بعدد حقيقي.
⭐ هذا السطر وحده يفسّر كلّ شيء. لو كان u ناظميا للمستقيم لكان عموديا على AM، فيكون جداؤهما السلّمي معدوما؛ و بأخذ t = 1 نجد ‖u‖² = 0، أي u = 0، و هذا مستحيل لأنّ شعاع التوجيه غير معدوم. فالشعاع محمول على المستقيم، لا عمودي عليه.
نترجم الآن هذه المساواة الشعاعية إلى إحداثيات. إحداثيات AM هي فروق الإحداثيات، و إحداثيات t u هي مركبات u مضروبة في t. فنساوي مركّبة بمركّبة، فنحصل على ثلاث معادلات.
و بنقل الإحداثيات الثابتة إلى الطرف الآخر نحصل على الشكل الذي نستعمله دائما، لأنّه يعطي الإحداثيات جاهزة بدلالة الوسيط.
⛔ هذا السطر ليس زينة. الجملة وحدها لا تعني شيئا إن لم نقل إنّ t يمسح ℝ كلّه: هو الذي يجعل النقطة تمسح المستقيم بكامله، في الاتّجاهين.
2. المستقيم المعرّف بنقطتين
أكثر الحالات ورودا في التمارين: تُعطى نقطتان، و يُطلب تمثيل وسيطي للمستقيم الذي يشملهما. الحركة واحدة و لا تتغيّر: الشعاع الرابط بين النقطتين هو شعاع توجيه، ثمّ نطبّق التعريف.
النقطتان A و B على المستقيم، فالشعاع AB محمول عليه، و هو غير معدوم ما دامت النقطتان متمايزتين. فهو يصلح شعاع توجيه.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و نعتبر النقطتين A(2 ; 2 ; −3) و B(1 ; −1 ; 0).
🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ( AB ).
نحسب إحداثيات الشعاع AB بالفرق «نهاية ناقص بداية»، مركّبة بمركّبة.
نفس الحركة على المركّبة الثانية.
انتبه إلى طرح العدد السالب: طرح ناقص ثلاثة يعني إضافة ثلاثة.
نجمع المركبات الثلاث في شعاع واحد: هذا هو شعاع التوجيه.
نأخذ A نقطة الانطلاق، و نكتب المعادلة الأولى: الثابت إحداثية A، و معامل t المركّبة الأولى للشعاع.
نفس البناء على الترتيبة.
و على الراقم.
لا تنس شرط الوسيط: بدونه الجملة لا تصف مستقيما كاملا.
⭐ نتحقّق من عملنا: من أجل t = 0 يجب أن نجد A بالضبط.
و من أجل t = 1 يجب أن نجد B بالضبط. هذان تحقّقان مجّانيان، لا تتركهما أبدا.
3. هل تنتمي هذه النقطة إلى المستقيم؟
التمثيل الوسيطي يعطي طريقة آلية للحكم: النقطة M تنتمي إلى ( D ) إذا وجد عدد حقيقي t واحد يحقّق المعادلات الثلاث في آن واحد. فنحلّ كلّ معادلة على حدة، ثمّ نقارن القيم الثلاث للوسيط.
⭐ ثلاث قيم للوسيط، و شرط واحد: أن تتساوى الثلاث. يكفي اختلاف اثنتين منها لنستنتج أنّ النقطة ليست على المستقيم، و لا حاجة إلى حساب الثالثة.
نبقى على المستقيم ( AB ) من المثال الأوّل، الذي تمثيله الوسيطي هو x = 2 − t و y = 2 − 3 t و z = −3 + 3 t، و نعتبر النقطة C(1 ; 3 ; 2).
🎯المطلوب: هل تنتمي النقطة C إلى المستقيم ( AB )؟ علّل جوابك.
نكتب المعادلة الأولى بتعويض الفاصلة بفاصلة النقطة، ثمّ نحلّها في t.
نعزل الوسيط: هذه هي القيمة التي تفرضها الفاصلة.
ننتقل إلى الترتيبة، بنفس الطريقة تماما.
ننقل ثمّ نقسم على ناقص ثلاثة.
⭐ هنا يمكن التوقّف: قيمتان مختلفتان تكفيان للحكم. لكنّنا نكمل لنرى الثلاث.
ننقل ثمّ نقسم على ثلاثة.
نقارن القيم الثلاث: لا اثنتان منها متساويتان.
لا يوجد إذن وسيط واحد يحقّق المعادلات الثلاث معا.
نبقى على نفس المستقيم ( AB )، و نختبر هذه المرّة النقطة B(1 ; −1 ; 0). المثال السابق اختبر نقطة غير منتمية، و اختبار حالة ناجحة ضروري حتّى لا تظنّ أنّ الجواب دائما «لا».
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ النقطة B تنتمي إلى المستقيم ( AB ).
نبدأ دائما بالمعادلة التي فيها الحساب أبسط: هنا الفاصلة.
نعزل الوسيط.
ننتقل إلى الترتيبة بنفس القيمة المفترضة.
نحلّ: نجد نفس القيمة.
و أخيرا الراقم.
نحلّ: نفس القيمة مرّة ثالثة.
القيم الثلاث متساوية، فالشرط محقّق.
و هذا طبيعي تماما: النقطة B هي التي بنينا عليها المستقيم، فوسيطها هو 1.
4. من نقطة و شعاع توجيه مباشرة
الحالة الثالثة، و هي الأبسط: يُعطى شعاع التوجيه جاهزا مع نقطة، فلا يبقى إلّا الكتابة. و هي كذلك الحالة التي تلقاها في نهاية كلّ تمرين على تقاطع مستويين، لمّا يكون شعاع التوجيه قد حُسب في السؤال السابق.
نعتبر النقطة C(1 ; 3 ; 3) و الشعاع u(2 ; 0 ; −1)، و نسمّي ( Δ ) المستقيم الذي يشمل C و يوجّهه u.
🎯المطلوب: استنتج تمثيلا وسيطيا للمستقيم ( Δ ).
الثابت في كلّ معادلة هو إحداثية النقطة، و معامل الوسيط هو مركّبة الشعاع. نبدأ بالفاصلة: الإحداثية 1 و المركّبة 2.
⭐ المركّبة الثانية للشعاع معدومة: فالترتيبة ثابتة، لا k فيها. هذا يعني أنّ المستقيم كلّه محتوى في المستوي ذي المعادلة y = 3.
المركّبة الثالثة هي ناقص واحد، فمعامل الوسيط ناقص واحد.
و نضيف شرط الوسيط.
نتحقّق عند الوسيط المعدوم: يجب أن نجد النقطة المعطاة.
و نتحقّق من أنّ معاملات الوسيط هي فعلا مركبات الشعاع المعطى.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net