مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوى

الانتقال بين جملة معادلتين ديكارتيتين و تمثيل وسيطي

🔊 La maîtresse lit pour toi
الحافّة التي يلتقي عندها جداران، و خطّ القمّة في سقف ذي مَيلين، و طيّة ورقة مطويّة: في الحالات الثلاث، مستقيم وُلد من التقاء سطحين مستويين. و في الرياضيات كذلك: كلّ مستو يُكتب بمعادلة ديكارتية واحدة، فمستويان متقاطعان يُكتبان بمعادلتين، و هما معا يعرّفان مستقيما. لكن كيف ننتقل من هاتين المعادلتين إلى تمثيل وسيطي يعطينا نقط المستقيم واحدة واحدة؟

الفكرة كلّها في سطر واحد: نختار أحد المجاهيل الثلاثة و نسمّيه وسيطا، ثمّ نعبّر عن المجهولين الآخرين بدلالته. المعادلتان تصيران عندئذ جملة عادية بمجهولين، من تلك التي تحلّها منذ سنوات. و ما نحصل عليه في النهاية هو تمثيل وسيطي للمستقيم.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • إدراك أنّ جملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين تعرّف مستقيما
  • اختيار الوسيط المناسب و الانتقال من جملة معادلتين إلى تمثيل وسيطي
  • استعمال الشعاعين الناظميين لإيجاد شعاع توجيه لمستقيم التقاطع
  • الانتقال في الاتّجاه العكسي: من تمثيل وسيطي إلى جملة معادلتين ديكارتيتين
  • قراءة نقطة و شعاع توجيه على التمثيل الوسيطي المحصّل عليه
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • المعادلة الديكارتية لمستو، و الشعاع الناظمي المقروء على معاملاتها
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم، و قراءة نقطة و شعاع توجيه عليه
  • شرط تواز مستويين: ارتباط شعاعيهما الناظميين خطّيا
  • حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين، بالتعويض أو بالجمع

1. مستقيم مكتوب بمعادلتين

رأيت أنّ مستويا في الفضاء يُكتب بمعادلة ديكارتية واحدة من الشكل ⁦a x + b y + c z + d = 0⁩. فماذا تعني معادلتان معا؟ تعني أنّ النقطة يجب أن تكون على المستوي الأوّل و على المستوي الثاني في آن واحد: أي أنّها من تقاطعهما.

خاصية. مستقيم في الفضاء يُعرَّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين.
جملة معادلتين ديكارتيتين: المستوي الأوّل
(P) : a x + b y + c z + d=0
جملة معادلتين ديكارتيتين: المستوي الثاني
(P') : a' x + b' y + c' z + d'=0
المستقيم المعرّف بالجملة
(D) = (P) ∩ (P')
⛔ كلمة «متقاطعين» في الخاصية ليست حشوا. إن كان المستويان متوازيين، فجملتهما إمّا لا تقبل أيّ حلّ (تقاطع خال) و إمّا تقبل حلول مستو بأكمله (منطبقان): في الحالتين لا تعرّف الجملة مستقيما. فقبل كلّ شيء، تأكّد من أنّ الشعاعين الناظميين غير مرتبطين خطّيا، و هذه أوّل خطوة في كلّ تمرين من هذا النوع.
⭐ كلّ نقطة من الخطّ الغليظ تحقّق المعادلتين معا؛ و الانتقال إلى التمثيل الوسيطي هو ما يسمح بتوليد هذه النقط واحدة واحدة بدل وصفها بشرطين.

2. الطريقة الأولى: نختار وسيطا و نحلّ

هذه الطريقة هي الأسرع لمّا تكون المعاملات بسيطة. نتّبع فيها ثلاث خطوات، دائما بنفس الترتيب.

  1. نتحقّق من أنّ الشعاعين الناظميين غير مرتبطين خطّيا: عندئذ المستويان متقاطعان فعلا.
  2. نختار أحد المجاهيل و نجعله وسيطا، فتصير الجملة بمجهولين اثنين.
  3. نحلّ الجملة ذات المجهولين، ثمّ نكتب المعادلات الثلاث مع شرط الوسيط.
⭐ أيّ مجهول نختار وسيطا؟ الذي يجعل الحساب أبسط، لا غير. الشرط الوحيد هو أن تكون الجملة الباقية بمجهولين قابلة للحلّ بحلّ وحيد. جرّب أحدها ذهنيا: إن ظهرت كسور ثقيلة، غيّر المجهول. لا يوجد اختيار «صحيح» و آخر «خاطئ»، بل اختيار أسهل و آخر أثقل.
مثال 1: تقاطع مستويين، بأخذ الراقم وسيطا

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ اللذين معادلتاهما الديكارتيتان على الترتيب ⁦2 x − y − 2 z − 1 = 0⁩ و ⁦−x + 4 y + z − 3 = 0⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستويين يتقاطعان، ثمّ عيّن تمثيلا وسيطيا لمستقيم تقاطعهما ⁦( D )⁩.

🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاع الناظمي الأوّل مباشرة على معاملات المعادلة الأولى.

n1 = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

و الشعاع الناظمي الثاني على معاملات الثانية.

n2 = (−1 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 3: اختبار الارتباط الخطّي

⭐ نتحقّق من عدم الارتباط الخطّي: لو كانا مرتبطين لكانت النسب الثلاث متساوية. هنا النسبة الأولى تخالف الثانية، فالشعاعان غير مرتبطين، و المستويان متقاطعان.

2−1 = −2 ; −14 = −14
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

نختار الراقم وسيطا.

z = t
🔹الخطوة 5: المعادلة الأولى بمجهولين

نعوّض في المعادلة الأولى و ننقل الحدّ الذي يحمل الوسيط إلى الطرف الأيمن.

2 x − y = 1 + 2 t
🔹الخطوة 6: المعادلة الثانية بمجهولين

و نفعل نفس الشيء بالمعادلة الثانية.

−x + 4 y = 3 − t
🔹الخطوة 7: حذف الفاصلة

نحلّ الجملة: نضرب المعادلة الثانية في 2 ثمّ نجمعها إلى الأولى، فتُحذف الفاصلة.

2 x − y + 2(−x + 4 y)=(1 + 2 t) + 2(3 − t)
🔹الخطوة 8: التبسيط

نبسّط الطرفين: الحدود التي تحمل الوسيط تتلاشى هي أيضا.

7 y = 7
🔹الخطوة 9: قيمة الترتيبة

نقسم على 7: الترتيبة ثابتة على المستقيم كلّه.

y = 1
🔹الخطوة 10: العودة إلى الفاصلة

نعوّض هذه القيمة في المعادلة الأولى بمجهولين.

2 x − 1 = 1 + 2 t
🔹الخطوة 11: قيمة الفاصلة

ننقل ثمّ نقسم على 2.

x = t + 1
🔹الخطوة 12: الجملة المحصّلة

نجمع السطور الثلاثة، و لا ننسى شرط الوسيط.

t ∈ ℝ
🔹الخطوة 13: التحقّق في المستوي الأوّل

⭐ نتحقّق: نعوّض السطور الثلاثة في المعادلة الأولى، فيجب أن ينعدم الطرف الأيسر مهما كان الوسيط.

2(t + 1) − 1 − 2 t − 1=0
✅النّتيجة: التحقّق في المستوي الثاني

و في المعادلة الثانية كذلك.

−(t + 1) + 4 + t − 3=0
⭐ التحقّق في الخطوتين الأخيرتين مجّاني و لا يُهمَل أبدا. إن انعدم الطرفان مهما كان الوسيط، فالمستقيم كلّه في المستويين، و جوابك صحيح يقينا. و إن بقي حدّ بالوسيط، فالخطأ في الحلّ، لا في الكتابة.

نقرأ الآن على الجملة ما تعلّمناه في الدرس السابق: الحدود الثابتة تعطي نقطة، و معاملات الوسيط تعطي شعاع توجيه.

نقطة من مستقيم التقاطع
t = 0 ⟹ A(1 ; 1 ; 0)
شعاع توجيه لمستقيم التقاطع

المعاملات هي 1 أمام الوسيط في الفاصلة، و 0 في الترتيبة الثابتة، و 1 في الراقم. فالمستقيم محتوى في المستوي ذي المعادلة ⁦y = 1⁩.

u = (1 ; 0 ; 1)
مثال 2: تقاطع مستويين، بأخذ الفاصلة وسيطا

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ اللذين معادلتاهما الديكارتيتان على الترتيب ⁦4 x + y + z + 10 = 0⁩ و ⁦2 x + y + 3 = 0⁩.

🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦( D )⁩ تقاطع المستويين.

🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاعين الناظميين على المعاملات.

n1 = (4 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

الشعاع الناظمي الثاني: انتبه إلى أنّ الراقم غائب، فمركّبته معدومة.

n2 = (2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 3: عدم الارتباط الخطّي

الشعاعان غير مرتبطين خطّيا، لأنّ المركّبة الثالثة معدومة في أحدهما دون الآخر. فالمستويان متقاطعان.

1 ≠ k × 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

⭐ هنا نختار الفاصلة وسيطا، لا الراقم. و السبب حسابيّ محض: المعادلة الثانية لا تحوي الراقم، فبأخذ الفاصلة وسيطا تعطينا الترتيبة مباشرة، بلا كسور.

x = t
🔹الخطوة 5: المعادلة الثانية بعد التعويض

نعوّض في المعادلة الثانية: تصير معادلة بمجهول واحد هو الترتيبة.

2 t + y + 3 = 0
🔹الخطوة 6: قيمة الترتيبة

نعزل الترتيبة.

y = −3 − 2 t
🔹الخطوة 7: المعادلة الأولى بعد التعويضين

نعوّض الآن في المعادلة الأولى بالفاصلة و الترتيبة معا.

4 t + (−3 − 2 t) + z + 10=0
🔹الخطوة 8: تجميع الحدود

نجمع الحدود المتشابهة.

2 t + 7 + z = 0
🔹الخطوة 9: قيمة الراقم

نعزل الراقم.

z = −7 − 2 t
🔹الخطوة 10: شرط الوسيط

نضيف شرط الوسيط، فتكتمل الجملة.

t ∈ ℝ
🔹الخطوة 11: نقطة من المستقيم

نقرأ نقطة على الجملة بأخذ الوسيط معدوما.

t = 0 ⟹ A(0 ; −3 ; −7)
✅النّتيجة: شعاع توجيه للمستقيم

و نقرأ شعاع التوجيه على معاملات الوسيط.

u = (1 ; −2 ; −2)
⭐ قاعدة عملية لاختيار الوسيط: ابحث عن مجهول غائب من إحدى المعادلتين — هنا الراقم غائب من الثانية. اجعل الوسيط أحد المجهولين الباقيين في تلك المعادلة القصيرة، فتحصل على المجهول الثاني في سطر واحد بلا كسر.
⛔ الوسيط الذي تختاره ليس بالضرورة هو المجهول الذي يبقى بسيطا في النهاية. لاحظ أنّنا أخذنا هنا الفاصلة وسيطا، و مع ذلك ظهر الراقم في السطر الأخير بدلالته: ⁦z = −7 − 2 t⁩. لو أخذنا الراقم وسيطا لحصلنا على نفس المستقيم لكن بكسور: ⁦x = (−7 − t)/2⁩. المستقيم واحد، و الكتابة أثقل، فلا تُتعب نفسك بلا سبب.

3. الطريقة الثانية: من الشعاعين الناظميين

توجد طريقة ثانية، أقصر لمّا نملك نقطة من المستقيم مسبقا. مستقيم التقاطع محتوى في المستويين معا، فشعاع توجيهه عمودي على الشعاعين الناظميين في آن واحد. فنكتب الشرطين بالجداء السلّمي، و نحلّ الجملة التي يعطيانها في مركّبات هذا الشعاع، باختيار إحداها كما في الطريقة الأولى.

شعاع توجيه لمستقيم التقاطع

شعاع التوجيه غير معدوم، و هو عمودي على الشعاعين الناظميين لأنّ المستقيم محتوى في المستويين معا: الشرطان أدناه يعطيان معادلتين في مركّباته الثلاث.

u(a ; b ; c) ≠ 0
uشعاع توجيه مستقيم التقاطعa ; b ; cمركّباته، و هي المجاهيل
الشرط الأوّل: العمودية على الناظمي الأوّل
u.n1 = 0
الشرط الثاني: العمودية على الناظمي الثاني
u.n2 = 0
مثال 3: شعاع التوجيه بالجداء السلّمي، ثمّ الجملة

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ بالمعادلتين ⁦x − 2 y + 2 z − 1 = 0⁩ و ⁦x − 3 y + 2 z + 2 = 0⁩، و نسمّي ⁦( Δ )⁩ تقاطعهما. و نعتبر النقطة ⁦C(1 ; 3 ; 3)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستويين يتقاطعان، تحقّق من أنّ C على ⁦( Δ )⁩، ثمّ استنتج تمثيلا وسيطيا لـ ⁦( Δ )⁩.

🔹الخطوة 1: الشعاعان الناظميان

نقرأ الشعاعين الناظميين على معاملات المعادلتين.

n1 = (1 ; −2 ; 2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

الثاني يختلف عن الأوّل في المركّبة الثانية وحدها.

n2 = (1 ; −3 ; 2)
🔹الخطوة 3: المستويان متقاطعان

المركّبتان الأولى و الثالثة متساويتان و الثانية مختلفة: لا نسبة واحدة تربطهما، فهما غير مرتبطين خطّيا و المستويان متقاطعان.

11 = 22 ≠ −2−3
🔹الخطوة 4: شرطا العمودية

نبحث عن شعاع توجيه ⁦u(a ; b ; c)⁩: نكتب ⁦u.n1 = 0⁩ و ⁦u.n2 = 0⁩ بالإحداثيات.

a − 2 b + 2 c = 0 , a − 3 b + 2 c = 0
🔹الخطوة 5: شعاع التوجيه

نطرح المعادلتين فتنعدم ⁦b⁩، و تصير الأولى ⁦a = −2c⁩: نختار ⁦c = −1⁩ فنحصل على شعاع غير معدوم.

b = 0 , c = −1 ⟹ u(2 ; 0 ; −1)
🔹الخطوة 6: النقطة في المستوي الأوّل

نحتاج الآن إلى نقطة. نجرّب النقطة C المعطاة في المعادلة الأولى.

1 − 2 × 3 + 2 × 3 − 1=0
🔹الخطوة 7: النقطة في المستوي الثاني

و في الثانية.

1 − 3 × 3 + 2 × 3 + 2=0
🔹الخطوة 8: انتماء النقطة

النقطة في المستويين معا، إذن هي على مستقيم تقاطعهما.

C ∈ (Δ)
🔹الخطوة 9: المعادلة الأولى

نكتب الجملة: الثوابت إحداثيات C، و معاملات الوسيط مركبات شعاع التوجيه.

x = 1 + 2 k
🔹الخطوة 10: المعادلة الثانية

المركّبة الثانية للشعاع معدومة، فالترتيبة ثابتة.

y = 3
🔹الخطوة 11: المعادلة الثالثة

و المركّبة الثالثة هي ناقص واحد.

z = 3 − k
✅النّتيجة: شرط الوسيط

و شرط الوسيط، بنفس الحرف المستعمل في السطور الثلاثة.

k ∈ ℝ
⭐ متى تختار هذه الطريقة؟ لمّا يعطيك التمرين نقطة جاهزة أو يطلب منك التحقّق من انتمائها: عندئذ لا يبقى إلّا الاتّجاه، و الشرطان بالجداء السلّمي يعطيانه في سطرين. أمّا إن لم تكن لك نقطة، فطريقة الوسيط أسرع لأنّها تعطي الاثنين معا.
مثال 4: العثور على نقطة و على شعاع توجيه معلنين مسبقا

نعتبر المستويين ⁦( P )⁩ و ⁦( R )⁩ بالمعادلتين ⁦x + y = −1⁩ و ⁦2 x + y + 2 z = 0⁩.

🎯المطلوب: تحقّق من أنّ المستويين يتقاطعان وفق مستقيم ⁦( D )⁩ يشمل النقطة ⁦A(1 ; −2 ; 0)⁩ و يوجّهه الشعاع ⁦u(−2 ; 2 ; 1)⁩.

🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاعين الناظميين. لاحظ غياب الراقم في المعادلة الأولى.

nP = (1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

و الشعاع الناظمي للمستوي الثاني.

nR = (2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 3: المستويان متقاطعان

نسبتا المركّبتين الأوليين مختلفتان: الشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيا، فالمستويان متقاطعان وفق مستقيم.

12 ≠ 11
🔹الخطوة 4: الشعاع المعلن عمودي على الناظميين

⭐ نتحقّق بالجداء السلّمي: ⁦−2 + 2 + 0 = 0⁩ و ⁦−4 + 2 + 2 = 0⁩. الشعاع المعلن عمودي على الشعاعين الناظميين معا، فهو يوجّه مستقيم التقاطع.

u.nP = 0 , u.nR = 0
🔹الخطوة 5: اختيار الوسيط

نجعل الراقم وسيطا.

z = t
🔹الخطوة 6: الترتيبة بدلالة الفاصلة

المعادلة الأولى لا تحوي الراقم أصلا، فهي تعطي الترتيبة بدلالة الفاصلة.

y = −1 − x
🔹الخطوة 7: التعويض في المعادلة الثانية

نعوّض في المعادلة الثانية.

2 x + (−1 − x) + 2 t=0
🔹الخطوة 8: تجميع الحدود

نجمع الحدود المتشابهة.

x − 1 + 2 t = 0
🔹الخطوة 9: قيمة الفاصلة

نعزل الفاصلة.

x = 1 − 2 t
🔹الخطوة 10: قيمة الترتيبة

نعود إلى السطر السادس بهذه القيمة.

y = −2 + 2 t
🔹الخطوة 11: الجملة كاملة

نضيف الراقم و شرط الوسيط.

t ∈ ℝ
🔹الخطوة 12: النقطة المقروءة

⭐ نقرأ الآن الثوابت: هي بالضبط إحداثيات النقطة المعلنة في النصّ.

t = 0 ⟹ A(1 ; −2 ; 0)
✅النّتيجة: شعاع التوجيه المقروء

و معاملات الوسيط هي بالضبط مركبات الشعاع المعلن.

u = (−2 ; 2 ; 1)
⭐ لمّا يعلن لك النصّ النتيجة مسبقا، فذلك تحقّق مجّاني، لا إهانة. اكتب حسابك كاملا ثمّ قارنه بالمعلن: إن وجدت شعاعا مضاعفا للمعلن فأنت على صواب، و إن وجدت شعاعا في اتّجاه آخر فراجع حسابك.

4. الاتّجاه العكسي: من التمثيل الوسيطي إلى معادلتين

و العكس ممكن كذلك: أن ننتقل من تمثيل وسيطي إلى جملة معادلتين ديكارتيتين. و الحركة أبسط ممّا تظنّ: نحذف الوسيط.

  1. نعزل الوسيط انطلاقا من إحدى المعادلات الثلاث، تلك التي معامله فيها أبسط.
  2. نعوّض بهذه العبارة في المعادلتين الأخريين.
  3. نرتّب كلّ واحدة منهما على شكل معادلة ديكارتية لمستو، فنحصل على معادلتين.
⭐ معادلة لا يظهر فيها الوسيط أصلا تُؤخذ كما هي: هي بذاتها معادلة مستو. في المثال الموالي، السطر ⁦y = 1⁩ ليس فيه وسيط، فهو معادلة أحد المستويين مباشرة، و لا يبقى إلّا إيجاد الثاني.
مثال 5: من الجملة الوسيطية إلى معادلتين ديكارتيتين

نعتبر المستقيم ⁦( D )⁩ الذي تمثيله الوسيطي ⁦x = t + 1⁩ و ⁦y = 1⁩ و ⁦z = t⁩، مع t حقيقي — و هو مستقيم التقاطع الذي حصلنا عليه في المثال الأوّل.

🎯المطلوب: اكتب جملة معادلتين ديكارتيتين تعرّف المستقيم ⁦( D )⁩.

🔹الخطوة 1: المستوي الأوّل

نبدأ بالمعادلة التي لا وسيط فيها: هي جاهزة، و هي معادلة مستو.

y − 1 = 0
🔹الخطوة 2: عزل الوسيط

نبحث الآن عن الثاني. نعزل الوسيط من السطر الذي معامله فيه هو 1 بالضبط.

t = z
🔹الخطوة 3: التعويض في السطر الباقي

نعوّض بهذه العبارة في السطر الباقي.

x = z + 1
🔹الخطوة 4: المستوي الثاني

نرتّب على شكل معادلة ديكارتية بنقل كلّ شيء إلى طرف واحد.

x − z − 1 = 0
🔹الخطوة 5: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاع الناظمي للمستوي ⁦x − z − 1 = 0⁩ الذي حصلنا عليه في الخطوة 4.

n1 = (1 ; 0 ; −1)
🔹الخطوة 6: الشعاع الناظمي الثاني

و الشعاع الناظمي للمستوي ⁦y − 1 = 0⁩ الذي حصلنا عليه في الخطوة 1.

n2 = (0 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 7: التحقّق من التقاطع

⭐ التحقّق الواجب: هل هما غير مرتبطين خطّيا؟ نعم، فالمركّبة الأولى معدومة في الثاني دون الأوّل، و الجملة تعرّف فعلا مستقيما.

1 ≠ k × 0
🔹الخطوة 8: شعاع التوجيه عمودي على الناظميين

و شعاع التوجيه الذي انطلقنا منه، ⁦u(1 ; 0 ; 1)⁩، عمودي على الشعاعين الناظميين معا: الدائرة تُغلق.

u.n1 = 0 , u.n2 = 0
✅النّتيجة: التحقّق

نتحقّق أخيرا بتعويض السطور الثلاثة في المعادلة الثانية.

(t + 1) − t − 1=0
⭐ الجواب ليس وحيدا، و هذا طبيعي. المستقيم الواحد محتوى في عدد لا نهائي من المستويات، فيمكن أن تختار منها اثنين بطرق مختلفة. المهمّ أن يكون المستويان اللذان اخترتهما متقاطعين، و أن يحتوي كلّ منهما المستقيم — و هذا ما يثبته التحقّق الأخير.
⛔ في البكالوريا، هذا الانتقال هو حلقة الوصل بين سؤالين: سؤال يعطي مستويين، و سؤال يطلب بعد نقطة عن مستقيم أو تقاطعا ثالثا. لا تدخل السؤال الثاني بمعادلتين: حوّلهما أوّلا إلى تمثيل وسيطي، فكلّ ما بعده يصير حسابا في مجهول واحد. ⚖️ و اكتب دائما شرط الوسيط بنفس الحرف المستعمل في السطور الثلاثة: مصحّح البكالوريا يقرأ هذا السطر، و حرف مخالف يُقرأ خطأ في الفهم لا سهوا في النسخ.
الخلاصة: مستويان متقاطعان يعرّفان بمعادلتيهما مستقيما، و هي الخاصية التي تسمح بكتابة مستقيم بمعادلتين بدل ثلاث. للانتقال إلى تمثيل وسيطي، طريقان: إمّا نجعل أحد المجاهيل وسيطا و نحلّ الجملة الباقية بمجهولين — و نختار المجهول الذي يجعل الحساب بلا كسور — و إمّا نبحث عن شعاع توجيه عمودي على الشعاعين الناظميين بجداءين سلّميين معدومين، ثمّ نضمّ إليه نقطة نتحقّق من انتمائها إلى المستويين معا. و في الاتّجاه العكسي نحذف الوسيط: نعزله من سطر و نعوّض به في السطرين الآخرين. و في كلّ الحالات، الخطوة الأولى واحدة: التأكّد من أنّ الشعاعين الناظميين غير مرتبطين خطّيا.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net