مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء

تعيين تقاطع مستويين، مستقيم و مستو، و تقاطع ثلاثة مستويات

🔊 La maîtresse lit pour toi
زاوية الغرفة التي تجلس فيها: جداران و أرضية، ثلاثة أسطح مستوية تلتقي في نقطة واحدة. لكن لو أملتَ أحد الجدارين قليلا حتّى يوازي الآخر، لما بقيت تلك النقطة. و لو جعلت الثلاثة تمرّ كلّها بنفس الحافّة، لصار المشترك بينها مستقيما كاملا. فمتى يكون لثلاثة مستويات نقطة مشتركة واحدة، و متى لا يكون لها أيّ نقطة، و كيف نعيّنها؟

الجواب في كلمة واحدة: جملة. كلّ مستو معادلة، فثلاثة مستويات ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، و تقاطعها ليس إلّا مجموعة حلول تلك الجملة. و لأنّ الجمل هنا تكبر، نبدأ الدرس بأداة تُرتّب الحساب و لا تترك مجالا للارتباك: طريقة غوص.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • استعمال طريقة غوص لحلّ جملة معادلات خطّية و قراءة رتبتها
  • تعيين تقاطع مستقيم و مستو بالتعويض في المعادلة الديكارتية
  • تعداد الوضعيات الخمس لثلاثة مستويات و التمييز بينها
  • تعيين تقاطع ثلاثة مستويات: نقطة، أو مستقيم، أو مجموعة خالية
  • تفسير حلّ جملة ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل تفسيرا هندسيا
  • حساب بعد نقطة عن مستقيم بتوظيف التمثيل الوسيطي و التعامد
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم، و الانتقال بينه و بين جملة معادلتين
  • الأوضاع النسبية لمستقيمين، و لمستقيم و مستو، و لمستويين
  • المعادلة الديكارتية لمستو و الشعاع الناظمي المقروء على معاملاتها
  • الجداء السلّمي في الفضاء، و معيار التعامد
  • حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين

1. الأداة: طريقة غوص

طريقة غوص فكرة واحدة تتكرّر: نحذف مجهولا من كلّ سطر جديد، فتنزل الجملة درجة درجة حتّى تصير مثلّثية، أي يبقى في السطر الأخير أقلّ عدد ممكن من المجاهيل. عندئذ نحلّ من الأسفل إلى الأعلى، سطرا سطرا، بلا أيّ تخمين.

  1. نختار السطر الأوّل مرجعا، و نسمّي محورا معامل المجهول الأوّل فيه.
  2. نطرح من كلّ سطر آخر مضاعفا مناسبا للسطر المرجع، حتّى يختفي المجهول الأوّل منه.
  3. نعيد نفس العملية على الجملة الباقية، بالمجهول الثاني، ثمّ الثالث، و هكذا.
  4. نحلّ الجملة المثلّثية من السطر الأخير صعودا، بالتعويض.
⭐ الخانات الملوّنة على القطر هي المحاور، و كلّ ما تحتها صار معدوما: هذا هو معنى «جملة مثلّثية»، و منه يبدأ الحلّ بالصعود.
⛔ العمليات المسموح بها ثلاث لا غير، و هي وحدها التي لا تغيّر مجموعة الحلول: تبديل سطرين، ضرب سطر في عدد حقيقي غير معدوم، و إضافة مضاعف لسطر إلى سطر آخر. ⛔ الضرب في صفر ممنوع: هو يمحو معادلة، فيوسّع مجموعة الحلول و يجعل الجواب خاطئا.
مثال 1: جملة بثلاث معادلات و خمسة مجاهيل

نعتبر الجملة ⁦( S )⁩ المكوّنة من المعادلات ⁦a − 2 b + 2 c − 2 d + e = 1⁩ و ⁦2 a − b + c − d − e = 2⁩ و ⁦a − b + 2 c − d + e = 4⁩.

🎯المطلوب: حلّ الجملة ⁦( S )⁩ بطريقة غوص.

🔹الخطوة 1: العملية على السطر الثاني

نأخذ السطر الأوّل مرجعا، و نحذف المجهول الأوّل من السطر الثاني بطرح ضعفه.

L2 ⟵ L2 − 2 L1
🔹الخطوة 2: السطر الثاني الجديد

نحسب مركّبة بمركّبة: معامل المجهول الأوّل ينعدم كما أردنا.

3 b − 3 c + 3 d − 3 e=0
🔹الخطوة 3: العملية على السطر الثالث

و نحذف المجهول الأوّل من السطر الثالث بطرح السطر المرجع مرّة واحدة.

L3 ⟵ L3 − L1
🔹الخطوة 4: السطر الثالث الجديد

نحسب: هنا ينعدم معامل المجهول الثالث و الخامس أيضا، و هذه هدية.

b + d = 3
🔹الخطوة 5: السطر الأوّل، منقولا كما هو

⭐ السطر الأوّل لم تمسّه أيّ عملية: هو يُنقل كما هو، بإشاراته كما كانت.

a − 2 b + 2 c − 2 d + e=1
🔹الخطوة 6: تبسيط السطر الثاني

نبسّط السطر الثاني بقسمته على ثلاثة، ثمّ نضربه في ناقص واحد لنجعل محوره موجبا.

c − b − d + e=0
🔹الخطوة 7: عدد الوسائط الحرّة

الجملة صارت مثلّثية: ثلاث معادلات مستقلّة، خمسة مجاهيل. الفرق يساوي اثنين، فلنا مجهولان حرّان نختارهما وسيطين.

5 − 3 = 2
🔹الخطوة 8: اختيار الوسيطين

نسمّي المجهولين الحرّين بوسيطين.

d = k ; e = k'
🔹الخطوة 9: المجهول الثاني

نصعد: السطر الثالث يعطي المجهول الثاني مباشرة.

b = 3 − k
🔹الخطوة 10: المجهول الثالث

ثمّ السطر الثاني يعطي الثالث بدلالة ما سبق.

c=b + d − e=3 − k'
🔹الخطوة 11: المجهول الأوّل

و أخيرا السطر الأوّل يعطي المجهول الأوّل.

a = 1 + k'
✅النّتيجة: مجموعة الحلول

نجمع الحلّ في خماسية واحدة.

(a ; b ; c ; d ; e) = (1 + k' ; 3 − k ; 3 − k' ; k ; k')
⭐ التحقّق يأخذ ثلاثة أسطر و يستحقّها: عوّض الخماسية في المعادلات الثلاث الأصلية، مهما كان الوسيطان، و تأكّد من انعدام كلّ البواقي. ⛔ و انتبه إلى الخطوة الخامسة: السطر الأوّل يُنقل بإشاراته، و أشهر خطأ في هذه الطريقة هو قلب إشارة فيه سهوا أثناء النسخ.
مثال 2: جملة لا تقبل حلّا إلّا بشرط

نعتبر الجملة ⁦2 x + 3 y − 2 z = a⁩ و ⁦x − 2 y + 3 z = b⁩ و ⁦4 x − y + 4 z = c⁩، حيث a و b و c أعداد حقيقية معطاة.

🎯المطلوب: ناقش وجود حلول الجملة بدلالة a و b و c، ثمّ فسّر النتيجة هندسيا.

🔹الخطوة 1: معاملات السطر الأوّل

نضع الجملة على شكل جدول معاملات، ثمّ نبحث عن علاقة بين الأسطر قبل أن نحسب شيئا.

(2 ; 3 ; −2)
🔹الخطوة 2: معاملات السطر الثاني

معاملات السطر الثاني.

(1 ; −2 ; 3)
🔹الخطوة 3: معاملات السطر الثالث

معاملات السطر الثالث.

(4 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 4: العلاقة بين الأسطر

⭐ نلاحظ علاقة: السطر الثالث هو مجموع الأوّل و ضعف الثاني، معاملا بمعامل.

(2 ; 3 ; −2) + 2(1 ; −2 ; 3) = (4 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 5: العملية على السطر الثالث

نجري العملية الموافقة على الجملة كلّها: نطرح من السطر الثالث السطر الأوّل و ضعف الثاني. يختفي الطرف الأيسر كلّه.

L3 ⟵ L3 − L1 − 2 L2
🔹الخطوة 6: الطرف الأيسر بعد العملية

لا يبقى في الطرف الأيسر أيّ مجهول: كلّ المعاملات انعدمت.

0 x + 0 y + 0 z = 0
🔹الخطوة 7: الطرف الأيمن بعد العملية

أمّا الطرف الأيمن فيبقى فيه ما تبقّى من الثوابت.

c − a − 2 b
🔹الخطوة 8: شرط وجود الحلول

⭐ فالجملة تحوي المعادلة «معدوم يساوي هذا العدد»: لا حلّ لها إن كان العدد غير معدوم.

c − a − 2 b = 0
🔹الخطوة 9: عدد الوسائط عند تحقّق الشرط

و متى تحقّق الشرط، بقيت معادلتان مستقلّتان بثلاثة مجاهيل: مجهول واحد حرّ، أي وسيط واحد.

3 − 2 = 1
✅النّتيجة: شرط التوافق

⭐ و التفسير الهندسي مباشر: ثلاثة مستويات لا يمرّ الثالث منها إلّا حيث يمرّ الأوّلان، فمشتركها مستقيم لا نقطة.

c = a + 2 b
⭐ قبل أن تحسب، انظر إلى الأسطر. علاقة خطّية بين أسطر الجملة تُختصر عليك كلّ الحساب و تكشف الوضعية الهندسية دفعة واحدة. ابحث دائما عن سطر يكون مجموع الآخرين أو مضاعفا لأحدهما: هذه ثوان تُوفّر صفحة.

2. تقاطع مستقيم و مستو

هذه أبسط الحالات و أكثرها ورودا. المستقيم يعطينا الإحداثيات الثلاث بدلالة وسيط واحد، فيكفي أن نعوّض بها في معادلة المستوي: نحصل على معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط، و هي التي تقول كلّ شيء.

  1. إن كان للمعادلة حلّ وحيد في الوسيط، فالمستقيم يقطع المستوي في نقطة واحدة، نحصل عليها بتعويض قيمة الوسيط في الجملة.
  2. إن كانت المعادلة مستحيلة (عدد غير معدوم يساوي صفرا)، فالتقاطع خال: المستقيم يوازي المستوي من خارجه.
  3. إن كانت المعادلة محقّقة دائما (صفر يساوي صفرا)، فالمستقيم محتو في المستوي، و التقاطع هو المستقيم نفسه.
مثال 3: مستقيم يقطع مستويا في نقطة

نعتبر المستويين ⁦( P )⁩ و ⁦( R )⁩ بالمعادلتين ⁦x + y = −1⁩ و ⁦2 x + y + 2 z = 0⁩، و نسمّي ⁦( D )⁩ تقاطعهما. و نعتبر المستوي ⁦( P' )⁩ الذي معادلته ⁦4 x + 4 y + z + 3 = 0⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم ⁦( D )⁩ و المستوي ⁦( P' )⁩ يتقاطعان، ثمّ عيّن نقطة تقاطعهما.

🔹الخطوة 1: الشعاعان الناظميان للمستويين الأوّلين

نبدأ بالتأكّد من أنّ المستويين الأوّلين متقاطعان: نقرأ ناظميهما.

nP = (1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

و الثاني.

nR = (2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 3: التمثيل الوسيطي للمستقيم، الفاصلة

غير مرتبطين خطّيا، فالمستويان يتقاطعان وفق مستقيم. نجعل الراقم وسيطا و نعبّر عن المجهولين الآخرين بدلالته.

x = 1 − 2 t
🔹الخطوة 4: التمثيل الوسيطي، الترتيبة

الترتيبة.

y = −2 + 2 t
🔹الخطوة 5: التمثيل الوسيطي، الراقم

و الراقم، و هو الوسيط نفسه.

z = t
🔹الخطوة 6: شعاع توجيه المستقيم

نقرأ شعاع التوجيه على معاملات الوسيط.

u = (−2 ; 2 ; 1)
🔹الخطوة 7: الشعاع الناظمي للمستوي الثالث

ندرس الآن وضع هذا المستقيم بالنسبة للمستوي الثالث: نقرأ ناظمه.

n = (4 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 8: الجداء السلّمي

نحسب الجداء السلّمي.

u.n=−8 + 8 + 1=1
🔹الخطوة 9: التعويض في معادلة المستوي

غير معدوم، فالمستقيم يقطع المستوي في نقطة واحدة. نعوّض السطور الثلاثة في معادلة المستوي الثالث.

4(1 − 2 t) + 4(−2 + 2 t) + t + 3=0
🔹الخطوة 10: النشر

ننشر: الحدود التي تحمل الوسيط في القوسين تتلاشى، و يبقى الوسيط الوحيد.

4 − 8 t − 8 + 8 t + t + 3=0
🔹الخطوة 11: معادلة من الدرجة الأولى

نجمع: معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط.

t − 1 = 0
🔹الخطوة 12: قيمة الوسيط

نحلّها.

t = 1
✅النّتيجة: نقطة التقاطع

نعوّض في الجملة الوسيطية للحصول على النقطة.

t = 1 ⟹ (−1 ; 0 ; 1)
⭐ الجداء السلّمي في الخطوة الثامنة ليس ترفا. هو يقول لك مسبقا إن كانت المعادلة في الوسيط ستقبل حلّا وحيدا أم لا، فتعرف نتيجتك قبل أن تحسبها. و إن وجدته معدوما، لا تعوّض: اذهب مباشرة إلى اختبار نقطة.
⭐ و هذا هو الجواب على السؤال الثالث في آن واحد: النقطة التي وجدناها تنتمي إلى المستويات الثلاثة، فهي الحلّ الوحيد للجملة المكوّنة من معادلاتها الثلاث. و لاحظ: ثلاثة مستويات تلتقي في نقطة، و قد برهنّا على ذلك هنا بتقاطع مستقيم و مستو.

3. تقاطع ثلاثة مستويات: الوضعيات الخمس

ننتقل الآن إلى الحالة الكبرى. نعتبر ثلاثة مستويات ناظماتها ثلاثة أشعّة. لتصنيف الوضعيات نبدأ بالمستويين الأوّلين، فنحن نعرف وضعهما منذ الدرس السابق، ثمّ نضيف الثالث.

✅النّتيجة: الوضعيات الخمس لثلاثة مستويات
حالة المستويين الأوّلينموقع المستوي الثالثالتقاطع
متوازيانيوازيهما كذلكخال
متوازيانيقطعهماخال
يتقاطعان وفق ⁦( D )⁩⁦( D )⁩ يقطعهنقطة واحدة
يتقاطعان وفق ⁦( D )⁩⁦( D )⁩ يوازيه من خارجهخال
يتقاطعان وفق ⁦( D )⁩⁦( D )⁩ محتو فيهالمستقيم ⁦( D )⁩
⭐ ثلاث وضعيات من الخمس تعطي تقاطعا خاليا، و واحدة فقط تعطي نقطة: فالنقطة المشتركة ليست القاعدة، بل الحالة الخاصّة التي يجب البرهان عليها.
⭐ في الرسم الثالث وحده تظهر نقطة مُسمّاة: هي النقطة I، و هي المشترك الوحيد بين الثلاثة. في البقيّة، إمّا لا مشترك و إمّا مستقيم كامل.

و لتعيين التقاطع عمليا، الطريق واحد: نحلّ الجملة ذات المعادلات الثلاث. و ما نجده يقرأ هندسيا مباشرة، بلا حاجة إلى الرسم.

📌المعطى: قراءة حلّ الجملة قراءة هندسية
ما نجده عند حلّ الجملةالتفسير الهندسي
ثلاثية وحيدةالمستويات الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة
حلول بوسيط واحدالمستويات الثلاثة تشترك في مستقيم
معادلة مستحيلةلا نقطة مشتركة بين الثلاثة
⛔ لا تكتب أبدا «الجملة تقبل حلّا» و تتوقّف: السؤال هندسي، فأنهِ دائما بجملة تقول ما يمثّله هذا الحلّ.
⭐ مؤشّر يوفّر عليك حلّ الجملة كاملة: عيّن أوّلا مستقيم تقاطع مستويين منها، إن كان شعاعاهما الناظميان غير مرتبطين خطّيا، ثمّ احسب الجداء السلّمي لشعاع توجيهه مع الشعاع الناظمي للثالث. إن كان غير معدوم، فالمستقيم يقطع المستوي الثالث، و المستويات تلتقي حتما في نقطة واحدة: الجملة تقبل حلّا وحيدا. و إن كان معدوما، فالمستقيم يوازي المستوي الثالث: التقاطع إمّا خال و إمّا المستقيم نفسه، و يفصل بينهما اختبار نقطة.
المؤشّر: شعاع توجيه تقاطع الأوّلين و ناظمي الثالث

⁦u⁩ يوجّه مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين. إن كان الجداء غير معدوم فالمستقيم يقطع المستوي الثالث في نقطة واحدة؛ و إن انعدم فالمستقيم يوازيه، فلا يمكن أن تحصر المستويات الثلاثة نقطة واحدة.

u.n3
uشعاع توجيه مستقيم تقاطع المستويين الأوّلينn3شعاع ناظمي للمستوي الثالث
مثال 4: ثلاثة مستويات تقاطعها خال

نعتبر المستويات ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ و ⁦(P₃)⁩ بالمعادلات الديكارتية على الترتيب ⁦4 x + y + z + 10 = 0⁩ و ⁦2 x + y + 3 = 0⁩ و ⁦2 x − y + 2 z − 1 = 0⁩.

🎯المطلوب: أدرس تقاطع المستويات الثلاثة.

🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الأشعّة الناظمية الثلاثة على المعاملات. الأوّل.

n1 = (4 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني

الثاني: المعادلة لا تحوي الراقم، فمركّبته الثالثة معدومة.

n2 = (2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 3: الشعاع الناظمي الثالث

و الثالث.

n3 = (2 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 4: الأوّلان متقاطعان

⚖️ نطبّق المؤشّر الذي ذكرناه: نحتاج أوّلا إلى مستقيم تقاطع الأوّلين. الشعاعان ⁦n1⁩ و ⁦n2⁩ غير مرتبطين خطّيا: المركّبة الثالثة معدومة في الثاني دون الأوّل.

1 ≠ k × 0
🔹الخطوة 5: الخطّة

نكتب تمثيلا وسيطيا لهذا المستقيم، ثمّ ندرس وضعه بالنسبة للمستوي الثالث بالجداء السلّمي ⁦u.n3⁩.

(D) = (P1) ∩ (P2)
🔹الخطوة 6: التمثيل الوسيطي لمستقيم تقاطع الأوّلين

نكتب مستقيم تقاطع الأوّلين، الذي حسبناه في درس الانتقال، بأخذ الفاصلة وسيطا.

x = t
🔹الخطوة 7: الترتيبة

الترتيبة.

y = −3 − 2 t
🔹الخطوة 8: الراقم

و الراقم.

z = −7 − 2 t
🔹الخطوة 9: شعاع التوجيه

نقرأ شعاع التوجيه.

u = (1 ; −2 ; −2)
🔹الخطوة 10: الجداء السلّمي مع الناظم الثالث

ندرس وضع هذا المستقيم بالنسبة للمستوي الثالث بالجداء السلّمي.

u.n3=2 + 2 − 4=0
🔹الخطوة 11: نقطة من مستقيم التقاطع

معدوم، فالمستقيم يوازي المستوي الثالث. يبقى الفصل: محتو فيه أم خارجه؟ نأخذ نقطة منه بأخذ الوسيط معدوما.

t = 0 ⟹ A(0 ; −3 ; −7)
🔹الخطوة 12: التعويض في المستوي الثالث

نعوّض إحداثياتها في معادلة المستوي الثالث.

0 + 3 − 14 − 1=−12
✅النّتيجة: التقاطع خال

غير معدوم، فالنقطة خارج المستوي الثالث، فالمستقيم خارجه كلّه.

(P1) ∩ (P2) ∩ (P3) = ∅
⭐ هذا المثال هو الوضعية الرابعة من الجدول: المستويان الأوّلان يتقاطعان وفق مستقيم، و هذا المستقيم يوازي الثالث من خارجه. ⛔ و انتبه: الجداء السلّمي المعدوم لا يعني أنّ التقاطع خال، بل يعني فقط أنّ المستقيم يوازي المستوي الثالث: التقاطع ليس نقطة واحدة. الفصل بين «خال» و «مستقيم» يحتاج دائما إلى اختبار نقطة.
مثال 5: ثلاثة مستويات تلتقي في نقطة واحدة

نعتبر ثلاثة مستويات: ⁦( P )⁩ الذي معادلته ⁦4 x − 4 y − 10 z − 13 = 0⁩، و المستوي الذي معادلته ⁦2 x − 10 y − 6 z − 7 = 0⁩، و المستوي الذي معادلته ⁦3 x − 3 y + 2 z − 5 = 0⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ تقاطع هذه المستويات الثلاثة نقطة E، و عيّن إحداثياتها.

🔹الخطوة 1: السطر الأوّل

نكتب المعادلات الثلاث على شكل «طرف أيسر يساوي عددا»، لأنّه الشكل الملائم لطريقة غوص. السطر الأوّل.

4 x − 4 y − 10 z = 13
🔹الخطوة 2: السطر الثاني

السطر الثاني.

2 x − 10 y − 6 z = 7
🔹الخطوة 3: السطر الثالث

و السطر الثالث.

3 x − 3 y + 2 z = 5
🔹الخطوة 4: السطر المحوري

نحتفظ بالسطر الأوّل كما هو: به نحذف المجهول الأوّل من السطرين الآخرين.

L1 ⟵ L1
🔹الخطوة 5: العملية الأولى

نبدأ الحذف: نضرب السطر الثاني في اثنين ثمّ نطرح منه الأوّل.

L2 ⟵ 2 L2 − L1
🔹الخطوة 6: السطر الثاني الجديد

نحسب: معامل المجهول الأوّل ينعدم.

−16 y − 2 z = 1
🔹الخطوة 7: العملية الثانية

ثمّ نضرب السطر الثالث في أربعة و نطرح منه ثلاثة أمثال الأوّل.

L3 ⟵ 4 L3 − 3 L1
🔹الخطوة 8: السطر الثالث الجديد

نحسب: ⭐ هنا ينعدم معامل المجهول الثاني أيضا، فنصل مباشرة إلى معادلة بمجهول واحد.

38 z = −19
🔹الخطوة 9: قيمة المجهول الثالث

نحلّ في المجهول الثالث. ⭐ الجملة صارت مثلّثية و معاملاتها القطرية غير معدومة: كلّ مجهول يأخذ قيمة واحدة، فللجملة حلّ وحيد، و المستويات الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة.

z=−1938=−12
🔹الخطوة 10: التعويض في السطر الثاني الجديد

نصعد إلى السطر السادس و نعوّض.

−16 y − 2 × (−12)=1
🔹الخطوة 11: تبسيط

نبسّط: يبقى معامل المجهول الثاني وحده.

−16 y + 1 = 1
🔹الخطوة 12: قيمة المجهول الثاني

نحلّ.

y = 0
🔹الخطوة 13: التعويض في السطر الأوّل

نصعد إلى السطر الأوّل و نعوّض بالقيمتين.

4 x − 0 − 10 × (−12)=13
🔹الخطوة 14: تبسيط

نبسّط.

4 x + 5 = 13
🔹الخطوة 15: قيمة المجهول الأوّل

نحلّ.

x = 2
🔹الخطوة 16: التحقّق في المستوي الأوّل

⭐ التحقّق إلزامي هنا: نعوّض النقطة في المعادلات الثلاث الأصلية. الأولى.

8 − 0 + 5 − 13=0
🔹الخطوة 17: التحقّق في المستوي الثاني

الثانية.

4 − 0 + 3 − 7=0
🔹الخطوة 18: التحقّق في المستوي الثالث

و الثالثة.

6 − 0 − 1 − 5=0
✅النّتيجة: نقطة التقاطع

النقطة تحقّق المعادلات الثلاث، فهي المشترك الوحيد بينها.

E(2 ; 0 ; −12)
⛔ إشارة الإحداثية الثالثة هي كلّ شيء في هذا التمرين. لو أخطأت فيها لصار كلّ ما يبنى عليها خاطئا. ⭐ و التحقّق في الخطوات الثلاث الأخيرة هو الذي يقطع الشكّ: نقطة تحقّق المعادلات الثلاث لا يمكن أن تكون خاطئة.
⭐ ما فائدة نقطة مشتركة بين ثلاثة مستويات محاور؟ كلّ نقطة من المستوي محور قطعة تبعد نفس البعد عن طرفيها. فالنقطة المشتركة بين المستويات المحاور للقطع ⁦[AB]⁩ و ⁦[AC]⁩ و ⁦[AD]⁩ تبعد نفس البعد عن النقط الأربع A و B و C و D، أي أنّها مركز كرة تشملها كلّها. هكذا يتحوّل تقاطع ثلاثة مستويات إلى إنشاء كرة محيطة، و هو تمرين بكالوريا كلاسيكي.
مثال 6: جملة حلّها نقطة، و ما تمثّله هندسيا

نعتبر الجملة المكوّنة من المعادلات ⁦x = 0⁩ و ⁦4 y − 3 z = 0⁩ و ⁦20 x + 9 y + 12 z − 180 = 0⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الجملة تقبل حلّا وحيدا، ثمّ بيّن ماذا يمثّل هذا الحلّ.

🔹الخطوة 1: المعادلة الأولى

نلاحظ أنّ المعادلة الأولى تعطي مجهولا جاهزا: هذا يبسّط كلّ ما بعده.

x = 0
🔹الخطوة 2: التعويض في المعادلة الثالثة

نعوّض في المعادلة الثالثة: الحدّ الأوّل يختفي.

9 y + 12 z − 180 = 0
🔹الخطوة 3: عزل المجهول الثاني

نبقي المعادلة الثانية كما هي، و نعزل منها المجهول الثاني.

y = (34) z
🔹الخطوة 4: التعويض

نعوّض في المعادلة المحصّل عليها في الخطوة الثانية.

9 × (34) z + 12 z=180
🔹الخطوة 5: جمع المعاملين

نحسب المعامل: نجمع الكسر مع العدد الصحيح.

274 + 12 = 754
🔹الخطوة 6: المعادلة بمجهول واحد

فتصير المعادلة بمجهول واحد.

(754) z = 180
🔹الخطوة 7: قيمة المجهول الثالث

نحلّ بضرب الطرفين في أربعة ثمّ القسمة على المعامل.

z = 485
🔹الخطوة 8: قيمة المجهول الثاني

نعود إلى الخطوة الثالثة.

y = 365
🔹الخطوة 9: التحقّق في المعادلة الثالثة

⚖️ نتحقّق بالتعويض في المعادلة الثالثة، و الأولى و الثانية محقّقتان بالبناء.

9 × 365 + 12 × 485=180
🔹الخطوة 10: الثلاثية الوحيدة

كلّ مجهول أخذ قيمة واحدة: الحلّ وحيد.

H(0 ; 365 ; 485)
✅النّتيجة: ما يمثّله الحلّ

و التفسير الهندسي هو الجواب المطلوب على السؤال الثاني.

(P1) ∩ (P2) ∩ (P3) = {H}
⭐ كلّ معادلة من هذه الجملة مستو، و لكلّ منها معنى: الأولى هي المستوي الذي فواصله معدومة، و الثالثة مستو يقطع المحاور في النقط ⁦(9 ; 0 ; 0)⁩ و ⁦(0 ; 20 ; 0)⁩ و ⁦(0 ; 0 ; 15)⁩. ⛔ فلا تعامل الجملة كتمرين حساب مغلق: السؤال «ماذا يمثّل هذا الحلّ» يُنقّط، و جوابه أنّ النقطة هي المشترك الوحيد بين ثلاثة مستويات.

4. تطبيق: بعد نقطة عن مستقيم

التمثيل الوسيطي لا يخدم التقاطعات وحدها: هو يعطي كذلك أقصر مسافة بين نقطة و مستقيم. الفكرة أنّ النقطة الأقرب على المستقيم هي التي يكون فيها الشعاع الرابط عموديا على شعاع التوجيه. فنكتب نقطة كيفيّة من المستقيم بدلالة الوسيط، و نفرض التعامد.

شرط النقطة الأقرب

الشعاع AM يتغيّر لمّا يتغيّر الوسيط، و طوله أصغر ما يكون لمّا يصير عموديا على المستقيم: تلك هي المسقط العمودي للنقطة على المستقيم، و البعد هو طول ذلك الشعاع.

AM.u = 0
Mنقطة كيفيّة من المستقيم، ذات الوسيطuشعاع توجيه للمستقيم
مثال 7: بعد نقطة عن مستقيم بتوظيف الوسيط

نعتبر النقطة ⁦A(1 ; 2 ; 3)⁩ و المستقيم ⁦( Δ )⁩ الممثّل وسيطيا بالجملة ⁦x = 2 k + 1⁩ و ⁦y = 3⁩ و ⁦z = −k + 3⁩، الموجّه بالشعاع ⁦u(2 ; 0 ; −1)⁩.

🎯المطلوب: عيّن قيمة الوسيط حتّى يكون الشعاعان متعامدين، ثمّ استنتج بعد النقطة A عن المستقيم ⁦( Δ )⁩.

🔹الخطوة 1: نقطة كيفيّة من المستقيم

نكتب نقطة كيفيّة من المستقيم بدلالة الوسيط: هي بالضبط سطور التمثيل الوسيطي.

M(2 k + 1 ; 3 ; −k + 3)
🔹الخطوة 2: المركّبة الأولى للشعاع

نحسب المركّبة الأولى للشعاع الرابط: فاصلة النقطة ناقص فاصلة الأصل.

(2 k + 1) − 1 = 2 k
🔹الخطوة 3: المركّبة الثانية للشعاع

المركّبة الثانية.

3 − 2 = 1
🔹الخطوة 4: المركّبة الثالثة للشعاع

و المركّبة الثالثة.

(−k + 3) − 3=−k
🔹الخطوة 5: الشعاع الرابط

نجمعها في شعاع واحد.

AM = (2 k ; 1 ; −k)
🔹الخطوة 6: الجداء السلّمي

نحسب الجداء السلّمي مع شعاع التوجيه، مركّبة بمركّبة.

AM.u = 4 k + 0 + k
🔹الخطوة 7: تبسيط الجداء

نجمع.

AM.u = 5 k
🔹الخطوة 8: شرط التعامد

نفرض التعامد، فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط.

5 k = 0
🔹الخطوة 9: قيمة الوسيط

نحلّ.

k = 0
🔹الخطوة 10: المسقط العمودي

نعوّض في السطر الأوّل: هذه هي المسقط العمودي للنقطة على المستقيم.

k = 0 ⟹ M(1 ; 3 ; 3)
🔹الخطوة 11: الشعاع الرابط عند الحلّ

نحسب الشعاع الرابط عند هذه القيمة.

AM = (0 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 12: طويلة الشعاع

البعد هو طول هذا الشعاع.

‖AM‖ = √(0 + 1 + 0)
🔹الخطوة 13: مربّع المسافة بدلالة الوسيط

⚖️ و نتحقّق بطريق ثان مستقلّ تماما: البعد هو أصغر مسافة بين A و نقطة من المستقيم. نحسب مربّع المسافة AM بدلالة الوسيط، من الشعاع الرابط في الخطوة 5.

AM²=(2 k)² + 1² + (−k)²
🔹الخطوة 14: تبسيط

نجمع الحدود.

AM² = 5 k² + 1
🔹الخطوة 15: أصغر قيمة

المربّع موجب: أصغر قيمة هي 1، و تُبلغ عند ⁦k = 0⁩ بالضبط.

5 k² + 1 ≥ 1
✅النّتيجة: البعد

أصغر مسافة هي الجذر التربيعي لـ 1: الطريقان يتّفقان.

d = 1
⭐ حرف الوسيط هنا هو k، فاكتب شرطه بالحرف k. ⛔ و انتبه إلى أنّ حرف الوسيط في تمرين ما لا علاقة له بحرف الوسيط في تمرين آخر: ما يهمّ هو أن يكون نفس الحرف في سطور الجملة الثلاثة و في شرطها و في كلّ حساب يليها.
⛔ في البكالوريا، تمرين الهندسة الفضائية يتدرّج دائما بنفس الترتيب: تمثيل وسيطي، ثمّ وضع نسبي، ثمّ تقاطع، ثمّ سؤال متري (بعد أو حجم). فإن تعثّرت في التقاطع، لا تترك ما بعده: كثيرا ما يمكن الجواب عن السؤال المتري بمعطيات السؤال السابق وحدها. ⚖️ و في كلّ سؤال على ثلاثة مستويات، ابدأ بجملة واحدة تقول أيّ وضعية من الخمس أنت فيها: هذه الجملة تُنقّط وحدها، حتّى قبل الحساب. ⭐ و أنهِ كلّ حلّ جملة بالتحقّق في المعادلات الثلاث الأصلية: سطران يحوّلان جوابا محتملا إلى جواب مؤكّد.
الخلاصة: تعيين تقاطع مستويات ليس إلّا حلّ جملة، و طريقة غوص هي الأداة التي ترتّبها: نحذف مجهولا من كلّ سطر حتّى تصير الجملة مثلّثية، ثمّ نصعد بالتعويض. مستقيم و مستو: نعوّض التمثيل الوسيطي في معادلة المستوي، فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط — حلّ وحيد يعني نقطة، معادلة مستحيلة تعني تقاطعا خاليا، و معادلة محقّقة دائما تعني أنّ المستقيم محتو في المستوي. ثلاثة مستويات: خمس وضعيات، و التقاطع إمّا نقطة و إمّا مستقيم و إمّا خال؛ و الجداء السلّمي غير المعدوم لشعاع توجيه تقاطع مستويين منها مع ناظمي الثالث يضمن النقطة الوحيدة. و في كلّ الحالات، لا ينتهي الجواب بعدد: ينتهي بجملة تقول ما يمثّله هذا العدد هندسيا.

Page 1/12

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net