مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات

🔊 La maîtresse lit pour toi
في المستوي، لمستقيمين وضعان لا ثالث لهما: يتقاطعان أو يتوازيان. أمّا في الفضاء فتظهر حالة جديدة لا مثيل لها في المستوي: أنبوب ماء يمرّ تحت الأرض في اتّجاه، و كابل كهرباء يمرّ فوقه في اتّجاه آخر، فلا يلتقيان أبدا و ليسا متوازيين كذلك. فما هي كلّ الأوضاع الممكنة لمستقيمين، و لمستقيم و مستو، و لمستويين في الفضاء؟

الجواب في سطر واحد: أربعة أوضاع لمستقيمين، ثلاثة لمستقيم و مستو، ثلاثة لمستويين. و لن نحتاج إلى رسم لتحديد أيّها: يكفي شعاعان و نقطة واحدة. الطريقة واحدة في الحالات الثلاث و تجري في زمنين: ① ندرس الاتّجاهات أوّلا، ② ثمّ نأخذ نقطة لنفصل بين الحالتين اللتين يخلط بينهما الاتّجاه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعداد الأوضاع الأربعة الممكنة لمستقيمين في الفضاء و التمييز بينها
  • تحديد الوضع النسبي لمستقيمين انطلاقا من شعاعي توجيههما ثمّ من جملة
  • تحديد الوضع النسبي لمستقيم و مستو باستعمال الجداء السلّمي u.n
  • تحديد الوضع النسبي لمستويين انطلاقا من شعاعيهما الناظميين
  • إدراك أنّ مستقيمين غير متوازيين قد لا يلتقيان أبدا في الفضاء
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم، و قراءة نقطة و شعاع توجيه عليه
  • المعادلة الديكارتية لمستو، و الشعاع الناظمي المقروء على معاملاتها
  • الجداء السلّمي في الفضاء و معيار التعامد ⁦u.v = 0⁩
  • شرط ارتباط شعاعين خطّيا في الفضاء

1. الوضع النسبي لمستقيمين

ليكن ⁦( D )⁩ و ⁦( D' )⁩ مستقيمين موجّهين بالشعاعين u و u' على الترتيب. أوّل سؤال نطرحه: هل هما من نفس المستوي؟ إن كانا كذلك عدنا إلى هندسة المستوي و صارت الحالات ثلاثا؛ و إن لم يكونا، فحالة واحدة و هي الحالة الخاصّة بالفضاء.

✅النّتيجة: الأوضاع الأربعة لمستقيمين في الفضاء
الوضعما يميّزهالتقاطع
متقاطعانمن نفس المستوي، و اتّجاهاهما مختلفاننقطة واحدة
متوازيان و مختلفانمن نفس المستوي، و لهما نفس الاتّجاهخال
منطبقانلهما نفس الاتّجاه، و لهما نقطة مشتركةالمستقيم نفسه
ليسا من نفس المستوياتّجاهاهما مختلفان، و لا نقطة مشتركةخال
⭐ الوضع الرابع هو الجديد الذي يأتي به الفضاء: مستقيمان لا يتوازيان و مع ذلك لا يلتقيان أبدا، لأنّهما ببساطة ليسا في مستو واحد.
⭐ الرسوم الثلاثة الأولى تجري كلّها داخل لوح واحد يمثّل المستوي؛ الرابع وحده يخرج منه، و هذا بالضبط ما يعنيه «ليسا من نفس المستوي».

الطريقة، في زمنين

  1. زمن الاتّجاه. ندرس ارتباط u و u' خطّيا. إن كانا مرتبطين، فالمستقيمان متوازيان، و ننتقل إلى الزمن الثاني. و إن لم يكونا، فهما إمّا متقاطعان و إمّا ليسا من نفس المستوي.
  2. زمن النقطة. في حالة التوازي، نأخذ نقطة من الأوّل و نختبر انتماءها إلى الثاني: إن انتمت فالمستقيمان منطبقان، و إلّا فهما متوازيان و مختلفان.
  3. حالة الاتّجاهين المختلفين. نحلّ جملة معادلتين من الثلاث، ثمّ نعوّض في المعادلة الثالثة: إن تحقّقت فهما متقاطعان، و إن لم تتحقّق فهما ليسا من نفس المستوي.
⛔ الخطأ القاتل في هذا الدرس: حلّ الجملة على معادلتين ثمّ الاستنتاج مباشرة أنّ المستقيمين متقاطعان. لا. قد تعطي المعادلتان قيمتين للوسيطين حتّى لمّا لا يلتقي المستقيمان أبدا. المعادلة الثالثة هي وحدها التي تفصل بين «متقاطعان» و «ليسا من نفس المستوي»، و بدونها ليس لجوابك أيّ معنى.
⭐ لماذا تكفي معادلتان لإيجاد الوسيطين؟ لأنّ المجهولين اثنان لا ثلاثة: وسيط المستقيم الأوّل و وسيط الثاني. فمعادلتان تكفيان لتعيينهما، بشرط أن تختارهما بحيث لا تتناسب معاملات الوسيطين فيهما (و هذا ممكن دائما لمّا يكون شعاعا التوجيه غير مرتبطين خطّيا)، و تبقى المعادلة الثالثة شرطا زائدا: إمّا يتحقّق فيلتقي المستقيمان، و إمّا لا يتحقّق فلا يلتقيان.
مثال 1: مستقيمان متقاطعان

نعتبر المستقيمين d₁ و d₂ الممثّلين وسيطيا على الترتيب بالجملتين ⁦x = −2 + 5 t⁩ و ⁦y = −1 − t⁩ و ⁦z = 3 + 4 t⁩، ثمّ ⁦x = 1 − t'⁩ و ⁦y = 4 + 3 t'⁩ و ⁦z = 5 − t'⁩.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستقيمين d₁ و d₂، ثمّ عيّن تقاطعهما إن وجد.

🔹الخطوة 1: شعاع التوجيه الأوّل

نقرأ شعاع التوجيه الأوّل على معاملات الوسيط في الجملة الأولى.

u1 = (5 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 2: شعاع التوجيه الثاني

و الثاني بنفس القراءة على الجملة الثانية.

u2 = (−1 ; 3 ; −1)
🔹الخطوة 3: اختبار الارتباط الخطّي

⭐ نبدأ بزمن الاتّجاه: هل الشعاعان مرتبطان خطّيا؟ لو كانا كذلك لكانت النسب الثلاث متساوية، و هي ليست كذلك.

5−1 = −5 ; −13 = −13
🔹الخطوة 4: مساواة الفاصلتين

الشعاعان غير مرتبطين، فالمستقيمان غير متوازيين: إمّا متقاطعان و إمّا ليسا من نفس المستوي. ننتقل إلى الجملة.

−2 + 5 t = 1 − t'
🔹الخطوة 5: مساواة الترتيبتين

و مساواة الترتيبتين: هاتان معادلتان بمجهولين، هما الوسيطان.

−1 − t = 4 + 3 t'
🔹الخطوة 6: عزل الوسيط الأوّل

نعزل الوسيط الأوّل من المعادلة الثانية.

t = −5 − 3 t'
🔹الخطوة 7: التعويض

نعوّض في المعادلة الأولى.

−2 + 5(−5 − 3 t') = 1 − t'
🔹الخطوة 8: النشر

ننشر و نجمع الحدود المتشابهة.

−27 − 15 t' = 1 − t'
🔹الخطوة 9: قيمة الوسيط الثاني

ننقل و نحلّ.

t' = −2
🔹الخطوة 10: قيمة الوسيط الأوّل

نعود إلى السطر السادس.

t = 1
🔹الخطوة 11: التحقّق في المعادلة الثالثة

⭐ الخطوة التي بدونها لا يصحّ الجواب: نعوّض في المعادلة الثالثة، معادلة الراقمين.

3 + 4 × 1 = 7
🔹الخطوة 12: الطرف الآخر

و في الطرف الآخر بالوسيط الثاني.

5 − (−2) = 7
🔹الخطوة 13: نقطة التقاء المستقيم الأوّل

الطرفان متساويان، فالمعادلة الثالثة محقّقة: المستقيمان يلتقيان فعلا.

t = 1 ⟹ (3 ; −2 ; 7)
✅النّتيجة: المستقيمان متقاطعان

و نتحقّق بالوسيط الثاني في الجملة الثانية: نفس النقطة بالضبط.

d1 ∩ d2 = {(3 ; −2 ; 7)}
⭐ الوسيطان يحملان حرفين مختلفين، و هذا إلزامي. لكلّ مستقيم وسيطه الخاصّ به، و لا سبب لأن يكونا متساويين عند نقطة اللقاء — هنا ⁦t = 1⁩ بينما ⁦t' = −2⁩ و مع ذلك النقطة واحدة. ⛔ استعمال نفس الحرف للمستقيمين خطأ يجعل الجملة مستحيلة الحلّ في أغلب الحالات.
مثال 2: مستقيمان ليسا من نفس المستوي

نبقى على المستقيم d₁ من المثال السابق، و نضيف إليه المستقيم d₃ الممثّل وسيطيا بالجملة ⁦x = −7 + 7 t''⁩ و ⁦y = −3 t''⁩ و ⁦z = 2 t''⁩.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستقيمين d₁ و d₃.

🔹الخطوة 1: شعاع التوجيه الثالث

نقرأ شعاع التوجيه الثالث على معاملات وسيطه.

u3 = (7 ; −3 ; 2)
🔹الخطوة 2: اختبار الارتباط الخطّي

نقارنه بشعاع التوجيه الأوّل: النسبتان الأوليان مختلفتان، فالشعاعان غير مرتبطين خطّيا و المستقيمان غير متوازيين.

57 ; −1−3 = 13
🔹الخطوة 3: مساواة الفاصلتين

نكتب مساواة الفاصلتين.

−2 + 5 t = −7 + 7 t''
🔹الخطوة 4: مساواة الترتيبتين

و مساواة الترتيبتين.

−1 − t = −3 t''
🔹الخطوة 5: عزل الوسيط الأوّل

نعزل الوسيط الأوّل من المعادلة الثانية.

t = 3 t'' − 1
🔹الخطوة 6: التعويض

نعوّض في المعادلة الأولى.

−2 + 5(3 t'' − 1) = −7 + 7 t''
🔹الخطوة 7: النشر

ننشر و نجمع.

15 t'' − 7 = 7 t'' − 7
🔹الخطوة 8: قيمة الوسيط الثالث

ننقل و نحلّ.

t'' = 0
🔹الخطوة 9: قيمة الوسيط الأوّل

نعود إلى السطر الخامس.

t = −1
🔹الخطوة 10: النقطة على المستقيم الأوّل

⭐ و هنا يظهر الفرق كلّه. نحسب النقطة على المستقيم الأوّل بهذا الوسيط.

t = −1 ⟹ (−7 ; 0 ; −1)
🔹الخطوة 11: النقطة على المستقيم الثالث

ثمّ النقطة على المستقيم الثالث بوسيطه.

t'' = 0 ⟹ (−7 ; 0 ; 0)
🔹الخطوة 12: باقي المعادلة الثالثة

الفاصلتان متساويتان و الترتيبتان كذلك، لكنّ الراقمين مختلفان: المعادلة الثالثة غير محقّقة.

−1 − 0 = −1
✅النّتيجة: المستقيمان ليسا من نفس المستوي

الباقي غير معدوم، فلا نقطة مشتركة، مع أنّ الاتّجاهين مختلفان.

d1 ∩ d3 = ∅
⭐ قارن هذا المثال بالسابق سطرا سطرا: الطريقة واحدة تماما، و النتيجة مختلفة تماما، و الفارق كلّه في السطر الحادي عشر. ⛔ لا تحفظ الجواب، احفظ الحركة: نحلّ باثنتين، ثمّ نحكم بالثالثة.
⭐ مؤشّر يوفّر عليك حسابا كاملا: لمّا تصل إلى قيمتي الوسيطين، احسب النقطتين في الجملتين ثمّ قارنهما إحداثية بإحداثية. إن تطابقتا فالمستقيمان متقاطعان و النقطة بين يديك؛ و إن اختلفتا في إحداثية واحدة فهما ليسا من نفس المستوي. هذا أسرع من التعويض في المعادلة الثالثة، و يعطي الجواب و نقطة التقاطع في وقت واحد.

2. الوضع النسبي لمستقيم و مستو

ننتقل الآن إلى مستقيم ⁦( D )⁩ موجّه بالشعاع u، و مستو ⁦( P )⁩ ناظمه n. الأوضاع ثلاثة، و المفتاح هذه المرّة جداء سلّمي واحد.

✅النّتيجة: الأوضاع الثلاثة لمستقيم و مستو
الوضعما يميّزهالتقاطع
⁦( D )⁩ يوازي ⁦( P )⁩ و لا يقطعهالشعاعان متعامدان، و نقطة من ⁦( D )⁩ خارج ⁦( P )⁩خال
⁦( D )⁩ محتو في ⁦( P )⁩الشعاعان متعامدان، و نقطة من ⁦( D )⁩ داخل ⁦( P )⁩المستقيم نفسه
⁦( D )⁩ يقطع ⁦( P )⁩الشعاعان غير متعامديننقطة واحدة
⭐ السطران الأوّلان لهما نفس شرط الاتّجاه: لا يفصل بينهما إلّا اختبار نقطة واحدة. أمّا السطر الثالث فيُحسم بالجداء السلّمي وحده.
معيار التوازي بين مستقيم و مستو

⭐ انتبه إلى المفارقة الظاهرية: الجداء السلّمي معدوم يعني أنّ المستقيم يوازي المستوي، لا أنّه يعامده. و السبب أنّ n عمودي على المستوي: فإذا كان u عموديا على n، كان u محمولا في اتّجاه موازٍ للمستوي.

u.n = 0
uشعاع توجيه للمستقيمnشعاع ناظمي للمستوي
معيار التقاطع بين مستقيم و مستو

إن لم يكن شعاع التوجيه عموديا على الناظم، فالمستقيم لا يوازي المستوي، و لا يبقى إلّا أن يخترقه. و لأنّ اتّجاهه ثابت، فهو يخترقه في نقطة واحدة لا أكثر.

u.n ≠ 0
⭐ لاحظ الرسم الثالث: الجزء من المستقيم الواقع خلف المستوي مرسوم بخطّ متقطّع، و هي الحيلة التي تجعل الرسم المستوي يقول شيئا عن الفضاء.
مثال 3: مستقيم يوازي مستويا دون أن يكون محتوى فيه

نعتبر المستقيم ⁦( D )⁩ الممثّل وسيطيا بالجملة ⁦x = t⁩ و ⁦y = −3 − 2 t⁩ و ⁦z = −7 − 2 t⁩، و المستوي ⁦(P₃)⁩ الذي معادلته ⁦2 x − y + 2 z − 1 = 0⁩.

🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستقيم ⁦( D )⁩ و المستوي ⁦(P₃)⁩.

🔹الخطوة 1: شعاع التوجيه

نقرأ شعاع توجيه المستقيم على معاملات وسيطه.

u = (1 ; −2 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي

و نقرأ الشعاع الناظمي للمستوي على معاملات معادلته.

n3 = (2 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 3: الجداء الأوّل

نحسب الجداء السلّمي مركّبة بمركّبة: نبدأ بجداء المركّبتين الأوليين.

1 × 2 = 2
🔹الخطوة 4: الجداء الثاني

ثمّ جداء المركّبتين الثانيتين: سالب في سالب يعطي موجبا.

(−2) × (−1) = 2
🔹الخطوة 5: الجداء الثالث

ثمّ جداء المركّبتين الثالثتين.

(−2) × 2 = −4
🔹الخطوة 6: الجداء السلّمي

نجمع الثلاثة.

u.n3=2 + 2 − 4=0
🔹الخطوة 7: نقطة من المستقيم

الجداء معدوم، فالمستقيم يوازي المستوي. يبقى أن نفصل بين الحالتين: محتو فيه أم لا؟ نأخذ نقطة من المستقيم، تلك التي وسيطها معدوم.

t = 0 ⟹ A(0 ; −3 ; −7)
🔹الخطوة 8: التعويض في معادلة المستوي

نعوّض إحداثياتها في معادلة المستوي.

2 × 0 − (−3) + 2 × (−7) − 1
🔹الخطوة 9: قيمة الطرف الأيسر

نحسب.

0 + 3 − 14 − 1=−12
✅النّتيجة: التوازي مع تقاطع خال

الطرف غير معدوم، فالنقطة ليست من المستوي، فالمستقيم ليس محتوى فيه.

(D) ∩ (P3) = ∅
⛔ لا تتوقّف أبدا عند الجداء السلّمي المعدوم. هو يقول «موازٍ»، و «موازٍ» تشمل حالتين: خارج المستوي، أو داخله تماما. اختبار نقطة واحدة يفصل بينهما، و هو سطران لا أكثر. من يتوقّف قبل ذلك يفقد نصف نقطة السؤال.

3. الوضع النسبي لمستويين

و أخيرا مستويان ⁦( P )⁩ و ⁦( P' )⁩ ناظماهما n و n'. الأوضاع ثلاثة كذلك، و الطريقة هي نفسها في زمنين: الاتّجاه أوّلا، ثمّ نقطة.

✅النّتيجة: الأوضاع الثلاثة لمستويين
الوضعما يميّزهالتقاطع
متقاطعانالشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيامستقيم
منطبقانالناظميان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل داخل الثانيمستو
متوازيان و مختلفانالناظميان مرتبطان خطّيا، و نقطة من الأوّل خارج الثانيخال
⭐ لا يوجد هنا وضع رابع: مستويان في الفضاء لا يمكن أن «يتفاديا» بعضهما كما يفعل مستقيمان. فإن لم يتوازيا، تقاطعا حتما وفق مستقيم.
⭐ في الحالة الأولى، الخطّ الغليظ هو مستقيم التقاطع، و هو بالضبط المستقيم الذي يعرّفه نظام المعادلتين في درس الانتقال إلى التمثيل الوسيطي.
مثال 4: مستويان متوازيان و مختلفان

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₃)⁩ اللذين معادلتاهما الديكارتيتان على الترتيب ⁦2 x − y − 2 z − 1 = 0⁩ و ⁦4 x − 2 y − 4 z − 5 = 0⁩.

🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₃)⁩.

🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نقرأ الشعاع الناظمي الأوّل على معاملات المعادلة الأولى.

n1 = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثالث

و الثالث على معاملات المعادلة الثالثة.

n3 = (4 ; −2 ; −4)
🔹الخطوة 3: الارتباط الخطّي

⭐ نلاحظ أنّ كلّ مركّبة من الثاني هي ضعف نظيرتها في الأوّل: الشعاعان مرتبطان خطّيا.

n3 = 2 n1
🔹الخطوة 4: البحث عن نقطة من المستوي الأوّل

الاتّجاهان متطابقان إذن، فالمستويان متوازيان. يبقى الفصل بين «منطبقان» و «متوازيان و مختلفان». نختار نقطة من المستوي الأوّل: نجعل فاصلتها و راقمها معدومين.

2 × 0 − y − 2 × 0 − 1=0
🔹الخطوة 5: نقطة من المستوي الأوّل

نحلّ في الترتيبة.

A(0 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 6: التعويض في المستوي الثالث

نعوّض إحداثياتها في معادلة المستوي الثالث.

4 × 0 − 2 × (−1) − 4 × 0 − 5
🔹الخطوة 7: قيمة الطرف الأيسر

نحسب.

0 + 2 − 0 − 5=−3
🔹الخطوة 8: النقطة ليست مشتركة

غير معدوم، فالنقطة ليست من المستوي الثالث، فالمستويان غير منطبقين.

A ∉ (P3)
🔹الخطوة 9: الفرق بين المعادلتين

و إليك برهانا ثانيا، أعمّ و بلا اختيار نقطة: نطرح ضعف المعادلة الأولى من الثالثة، فتتلاشى كلّ المجاهيل و يبقى عدد.

P3 − 2 P1 = −3
✅النّتيجة: التوازي التامّ

الفرق ثابت غير معدوم، فلا نقطة في الفضاء تحقّق المعادلتين معا: التقاطع خال مهما كانت النقطة.

(P1) ∩ (P3) = ∅
⭐ الخطوة التاسعة هي حركة تستحقّ أن تُحفظ: لمّا يكون الناظمان مرتبطين خطّيا، اطرح مضاعف إحدى المعادلتين من الأخرى. يبقى عدد: إن كان معدوما فالمستويان منطبقان، و إن كان غير معدوم فهما متوازيان و مختلفان. تُغني عن البحث عن نقطة.
⛔ لا تخلط بين الشعاعين: المستقيم يوصف بشعاع توجيه محمول عليه، و المستوي يوصف بشعاع ناظمي عمودي عليه. و لذلك تنقلب المعايير: مستقيمان متوازيان لمّا يكون شعاعا توجيههما مرتبطين خطّيا؛ و مستقيم يوازي مستويا لمّا يكون جداء شعاعه الموجّه بالناظم معدوما. نفس الكلمة «يوازي»، و شرطان مختلفان تماما: انتبه إلى طبيعة كلّ شعاع قبل أن تكتب أيّ معيار.
⭐ و ماذا عن ثلاثة مستويات؟ لثلاثة مستويات خمس وضعيات، لا ثلاث، و هي موضوع الدرس الموالي، درس تعيين التقاطعات. الأدوات هي نفسها تماما — ناظم لكلّ مستو، و جملة تُحلّ — لكنّ الجملة تصير بثلاث معادلات، و هناك تدخل طريقة غوص.
⛔ في البكالوريا، سؤال الوضع النسبي يُنقّط على البنية لا على الكلمة الأخيرة: ① اكتب الشعاعين صراحة، ② أعلن نتيجة اختبار الاتّجاه في سطر مستقلّ، ③ ثمّ اختبر النقطة أو المعادلة الثالثة، ④ و اختم بجملة تسمّي الوضع و التقاطع. ⚖️ و لا تكتب أبدا «المستقيمان متوازيان» دون أن تضيف «و مختلفان» أو «و منطبقان»: الكلمة وحدها ناقصة، و التصحيح يطلب الحالة بالضبط.
الخلاصة: كلّ دراسة وضع نسبي تجري في زمنين، و في الحالات الثلاث. مستقيمان: أربعة أوضاع؛ ندرس ارتباط شعاعي التوجيه خطّيا، ثمّ نحلّ بمعادلتين و نحكم بالثالثة — و هي التي تفصل بين «متقاطعان» و «ليسا من نفس المستوي»، الوضع الذي لا وجود له في المستوي. مستقيم و مستو: ثلاثة أوضاع؛ الجداء u.n معدوم يعني التوازي، ثمّ نقطة تفصل بين «محتو» و «خارج»، و الجداء غير المعدوم يعني التقاطع في نقطة. مستويان: ثلاثة أوضاع؛ ارتباط الناظمين خطّيا يعني التوازي، ثمّ نقطة تفصل بين «منطبقان» و «مختلفان»، و عدم الارتباط يعني تقاطعا وفق مستقيم.

Page 1/9

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net