Sciences physiques🎓 objectif bac

تطور جملة ميكانيكية

إنجاز تجارب و/أو محاكاة للسقوط الشاقولي

🔊 La maîtresse lit pour toi

كرة تنس تُترك من نافذة عالية: نتوقّع أن تُسرع بلا توقّف، لكنّ قياس سرعتها يقول شيئا آخر بعد بضع ثوان. كيف نُثبت تجريبيّا أنّ للسقوط في الهواء سرعة حدّية، ونستخرج منها ثابت الاحتكاك ؟

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

أن تقرأ جدول قياسات السرعة وتمثّل البيان ⁦v = f(t)⁩
أن تُعيّن بيانيّا السرعة الحدّية والزمن المميّز
أن تُبرهن عدديّا أنّ دافعة أرخميدس مهملة أمام ثقل الكرة
أن تحسب ثابت الاحتكاك k انطلاقا من السرعة الحدّية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

القانون الثاني لنيوتن وتطبيقه على السقوط الشاقولي (المورد 5.4)
قراءة ميل المماس على بيان

❓إشكالية: في السقوط الحرّ تنمو السرعة بلا حدّ لأنّ الثقل وحده يعمل. أمّا في الهواء فقوّة احتكاك تنمو مع السرعة تعارض الثقل. فماذا يحدث حين تتساويان ؟

📌تجربة: متابعة سرعة كرة تنس أثناء سقوطها في الهواء

🧭الهدف: متابعة تطوّر سرعة مركز عطالة كرة تنس بدلالة الزمن أثناء سقوطها الشاقولي في الهواء، لإظهار السرعة الحدّية وتعيين ثابت الاحتكاك.

🧰الأدوات:

كرة تنس كتلتها ⁦m = 53 g⁩ وحجمها ⁦V = 1,6 × 10² cm³⁩
تركيب يسمح بتحديد سرعة مركز العطالة عند لحظات مختلفة
كرونومتر
ورقة ميليمترية

📌التجربة:

نترك الكرة تسقط شاقوليّا بدون سرعة ابتدائية.
بواسطة التركيب المناسب، نحدّد سرعة مركز عطالة الكرة عند لحظات مختلفة من الحركة.
نسجّل أزواج ⁦(t, v)⁩ في جدول القياسات.
نمثّل البيان ⁦v = f(t)⁩ على ورقة ميليمترية.

🔍الملاحظة: تنمو السرعة بسرعة في البداية، ثمّ يتباطأ نموّها، ثمّ تتوقّف عن التغيّر تماما: القيمتان المسجّلتان عند ⁦10,0 s⁩ و ⁦20,0 s⁩ متساويتان.

كرة أثناء السقوط، عليها شعاع الثقل نحو الأسفل وشعاع قوّة الاحتكاك نحو الأعلى وأقصر منه — حين يتساوى طولا الشعاعين، تتوقّف السرعة عن النموّ.

منحنى متزايد مقعّر يقترب من مستقيم أفقي عند خمسة وثلاثين، ومماس عند المبدأ يقطع هذا المستقيم — السرعة الحدّية تُقرأ، لا تُحسب.

تبلغ السرعة قيمة ثابتة لا تتجاوزها: هذه هي السرعة الحدّية. السقوط في الهواء ليس سقوطا حرّا.

📌المعطى: جدول القياسات

⁦t(s)⁩	⁦v(ms)⁩
0,0	0,0
0,50	4,9
1,0	9,5
2,0	18
3,0	25
5,0	31
10,0	35
20,0	35

سرعة مركز عطالة الكرة بدلالة الزمن — القيم منقولة عن الكتاب المدرسي، الصفحة 269.

🔍التّحليل: القيمتان الأخيرتان متساويتان، والقيمة الأولى بعد الانطلاق تكاد تطابق السقوط الحرّ. هذان الطرفان يقولان كلّ شيء عن الحركة.

عند ⁦t = 0,50 s⁩ نجد ⁦v = 4,9 m/s⁩، وهي بالضبط ⁦g×t = 9,81×0,50 = 4,905 m/s⁩: في البداية الاحتكاك مهمل والسقوط شبه حرّ.
عند ⁦t = 1,0 s⁩ نجد ⁦9,5 m/s⁩ بدل ⁦9,81 m/s⁩: الاحتكاك بدأ يُبطئ النموّ.
من ⁦t = 10,0 s⁩ فصاعدا لا تتغيّر السرعة: بلغت الجملة نظامها الدائم.

تعريف: السرعة الحدّية v_lim هي القيمة الثابتة التي تبلغها السرعة حين يتعادل الثقل وقوّة الاحتكاك. تُقرأ على البيان كمقارب أفقي، وهنا ⁦v_lim = 35 m/s⁩.

تعريف: الزمن المميّز τ هو فاصلة نقطة تقاطع المماس في المبدأ مع المقارب الأفقي. يقيس الزمن الذي تحتاجه الجملة لتقترب من نظامها الدائم.

مثال 1: هل دافعة أرخميدس مهملة أمام ثقل الكرة ؟

الكتلة الحجمية للهواء هي ⁦ρ = 1,3 × 10⁻³ g/cm³⁩، وحجم الكرة ⁦V = 1,6 × 10² cm³⁩ وكتلتها ⁦m = 53 g⁩.

🎯المطلوب: قارن دافعة أرخميدس بثقل الكرة، واستنتج هل يمكن إهمالها

🔹الخطوة 1: كتلة الهواء المُزاح

لأنّ دافعة أرخميدس تساوي ثقل الهواء المُزاح، فيكفي حساب كتلة هذا الهواء

m_air=ρ × V=1,3 × 10^-3 × 1,6 × 10²

🔹الخطوة 2: نسبة الدافعة إلى الثقل

لأنّ النسبة بين قوّتين لهما نفس عامل g تختصر إلى نسبة الكتلتين: لا حاجة لحساب أيّ قوّة

F_AP=m_air / m=0,20853

✅النّتيجة

لأنّ النسبة أصغر من ⁦1 %⁩ بكثير، فالخطأ المرتكب بإهمال الدافعة أصغر من دقّة القياس نفسها

F_AP=3,9 × 10^-3=0,39 %

لا تحسب القوّتين ثمّ تقسّم: اختصر g من البداية. تربح خطوة، وتتجنّب خطأ التحويل بين الغرام والكيلوغرام مرّتين بدل مرّة.

المطلوب الآن هو ترجمة هذه النتيجة إلى معادلة. بما أنّ الدافعة مهملة، لا تبقى على الكرة إلا قوّتان: الثقل وقوّة الاحتكاك ⁦f = k·v²⁩.

المعادلة التفاضلية للحركة

القانون الثاني لنيوتن على محور شاقولي موجّه نحو الأسفل: الثقل يُسرّع، والاحتكاك يعارض.

m × dvdt=m × g − k × v²

مثال 2: حساب ثابت الاحتكاك k انطلاقا من السرعة الحدّية

🎯المطلوب: استخرج العلاقة بين v_lim و k، ثمّ احسب قيمة k عدديّا

🔹الخطوة 1: شرط النظام الدائم

لأنّ السرعة ثابتة عند النظام الدائم، فمشتقّها معدوم: هذا ما يجعل المعادلة التفاضلية تتحوّل إلى معادلة جبرية بسيطة

dvdt = 0

🔹الخطوة 2: العلاقة بين v_lim و k

لأنّ التعويض في المعادلة التفاضلية يعطي مباشرة تعادل القوّتين

k = m × gv_lim²

🔹الخطوة 3: التطبيق العددي

لأنّ الكتلة تُعطى بالغرام والنتيجة تُطلب في الجملة الدولية: ⁦53 g = 0,053 kg⁩

k = 0,053 × 9,8135²

✅النّتيجة

لأنّ وحدة k هي ⁦kg/m⁩، وهو ما يوافق قوّة بالنيوتن حين تُضرب في مربّع سرعة

k = 4,2 × 10^-4 kgm

السرعة الحدّية لا تُحسب، تُقرأ: هي القيمة التي يتوقّف الجدول عندها عن التغيّر. إن أخذتَ آخر قيمة دون التأكّد أنّ ما قبلها يساويها، فقد تأخذ نقطة لم تبلغ الحدّ بعد.

المطلوب الأخير هو تقدير المسافة المقطوعة خلال ⁦20 s⁩. المسافة هي المساحة تحت البيان ⁦v = f(t)⁩: نقدّرها بشبه المنحرف بين نقاط الجدول.

المسافة المقطوعة خلال ⁦20 s⁩

مجموع مساحات أشباه المنحرفات بين نقاط الجدول؛ وهي قيمة تقريبية لأنّ الجدول لا يعطي إلا ثماني نقاط.

d = 6,1 × 10² m

انتبه: لا تحسب ⁦d = v_lim × 20 s⁩. ذلك يفترض أنّ الكرة بلغت السرعة الحدّية منذ اللحظة صفر، وهو خطأ يعطي ⁦700 m⁩ بدل ⁦610 m⁩.

و يبقى سؤال مفتوح: « اقترح الطريقة التجريبية التي سمحت بإنجاز هذه الدراسة ». فكّر في ما يلزم لقياس سرعة لحظية: تصوير متتابع أو خليّتان كهروضوئيتان متقاربتان، لا كرونومتر واحد.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في صورة تمرين تجريبيّ: جدول قياسات أو بيان ⁦v = f(t)⁩ لجسم يسقط في الهواء، ويُطلب: «عيّن السرعة الحدّية والزمن المميّز»، و«احسب التسارع الابتدائي»، و«استنتج ثابت الاحتكاك»، و«قدّر المسافة المقطوعة». جهّز ثلاثة عناصر: ① القراءات البيانية: السرعة الحدّية من ثبات السرعة في الأخير، والتسارع من ميل البيان (وهو عند الانطلاق يقارب g)، والزمن المميّز ⁦τ = v_lim/a₀⁩ من تقاطع المماس عند المبدأ مع المستقيم الأفقي ؛ ② ثابت الاحتكاك من السرعة الحدّية وحدها: في النظام الدائم ينعدم التسارع، فمن ⁦m × g = k × v_lim²⁩ يُستخرج k ؛ ③ المسافة: المساحة تحت البيان، تُقدَّر بطريقة أشباه المنحرف. ⚠️ الخطأ الشائع: تطبيق قاعدة ⁦«63 %⁩ من السرعة الحدّية عند الزمن المميّز» والاحتكاك متناسب مع مربّع السرعة ؛ هذه القاعدة خاصّة بالحلّ الأسّي حين يتناسب الاحتكاك مع السرعة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: إهمال دافعة أرخميدس دون برهان عدديّ.

خلاصة: السقوط في الهواء ليس سقوطا حرّا. تنمو السرعة أوّلا كما في السقوط الحرّ، ثمّ تنمو قوّة الاحتكاك حتّى تعادل الثقل، فتثبت السرعة عند قيمة حدّية v_lim. وقراءة v_lim على البيان تكفي وحدها لحساب ثابت الاحتكاك k.

Page 1/4